2022届高中物理新教材同步必修第二册 第6章 圆周运 2 第2课时 向心力的分析和向心力公式的应用

第2课时 向心力的分析和向心力公式的应用
[学习目标] 1.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能用来进行计算.2.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点．
一、向心力的大小
向心力的大小可以表示为F n ＝mω2r 或F n ＝m v 2
r
. 二、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1．变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图1所示．
图1
(1)跟圆周相切的分力F t ：改变线速度的大小．
(2)指向圆心的分力F n ：改变线速度的方向．
2．一般的曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动．
(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理．
1．判断下列说法的正误．
(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力．( × )
(2)向心力和重力、弹力一样，都是根据力的性质命名的．( × )
(3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力．( √ )
(4)变速圆周运动的向心力并不指向圆心．( × )
2．一辆质量为1 000 kg 的汽车，为测试其性能，在水平地面上沿半径r ＝50 m 的圆，以10 m/s 的速度做匀速圆周运动，汽车没有发生侧滑，________对汽车提供向心力，此力大小为________ N.
答案 侧向摩擦力 2 000
一、向心力的来源分析和计算
导学探究 如图2所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体．
图2
(1)物体需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？
(2)当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受的摩擦力大小怎样变化？ 答案 (1)物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力．
(2)当物体转动的角速度变大后，由F n ＝mω2r ，需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大．
知识深化
1．向心力的大小：F n ＝mω2r ＝m
v 2r ＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r . 2．向心力的来源分析
在匀速圆周运动中，由合力提供向心力．
3．几种常见的圆周运动向心力的来源
实例分析
图例 向心力来源 在匀速转动的圆筒内壁上，
有一物体随圆筒一起转动
而未发生滑动
弹力提供向心力 用细绳拴住小球在光滑的
水平面内做匀速圆周运动
绳的拉力(弹力)提供向心力 物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止
静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平
面内做圆周运动，当小球经
过最低点时 拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力
[深度思考]做圆周运动的物体其合力方向一定指向圆心吗？
答案不一定．
做匀速圆周运动的物体合力指向圆心；做非匀速圆周运动的物体合力不是始终指向圆心．如图3所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在转筒内壁上随转筒一起转动而不滑落．则下列说法正确的是()
图3
A．小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4个力的作用
B．小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大
D．筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大
答案 D
解析小物体随转筒一起做圆周运动，受重力、弹力和静摩擦力共3个力的作用，故选项A 错误．水平方向上，弹力指向圆心，提供向心力，据牛顿第二定律有：F N＝mω2r，又ω＝2πn，可知转速越大，角速度越大，小物体所受的弹力就越大，故选项B错误，D正确；在竖直方向上，小物体所受的重力和静摩擦力平衡，静摩擦力大小不变，故选项C错误．
针对训练1(多选)如图4所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是()
图4
A．小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B．向心力是细线对小球的拉力和小球所受重力的合力
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D ．向心力的大小等于mg tan θ
答案 BCD
解析 对小球受力分析可知，小球受到重力、细线的拉力两个力，这两个力的合力提供向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如图所示，A 错误，B 、C 正确；向心力的大小F n ＝mg tan θ，D 正确．
一个质量为0.1 kg 的小球，用一长0.45 m 的细绳拴着，绳的另一端系在O 点，让小球从图5所示位置从静止开始释放，运动到最低点时小球的速度为3 m/s.(小球视为质点，绳不可伸长，取g ＝10 m/s 2)
图5
(1)分析小球运动到最低点时向心力的来源，画出小球受力示意图；
(2)小球到达最低点时绳对小球的拉力的大小．
答案 (1)见解析 (2)3 N
解析 (1)由题意可知，当小球运动到最低点时，小球受重力和绳的拉力2个力的作用，绳的拉力和重力的合力提供向心力，小球受力示意图如图所示；
(2)由(1)可知，小球到达最低点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，F T －mg ＝m v 2
r
则F T ＝mg ＋m v 2
r
＝3 N. 二、变速圆周运动和一般的曲线运动
导学探究 荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千由上向下荡时：
(1)此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式F n ＝m v 2
r
＝mω2r 还适用吗？ 答案 (1)小朋友做的是变速圆周运动．
(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，合力不指向悬
挂点．运动过程中，公式F n ＝m v 2
r
＝mω2r 仍然适用于向心力的求解．
知识深化
1．变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F 产生改变线速度大小和方向两个作用效果．
(2)某一点的向心力仍可用公式F n ＝m v 2
r
＝mω2r 求解． 2．一般的曲线运动
曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理．
(1)合力方向与速度方向夹角为锐角时，力为动力，速率越来越大．
(2)合力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小．
如图6所示，物块P 置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c 方向沿半径指向圆心，a 方向与c 方向垂直．当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是( )
图6
A ．当转盘匀速转动时，P 所受摩擦力方向为c
B ．当转盘匀速转动时，P 不受转盘的摩擦力
C ．当转盘加速转动时，P 所受摩擦力方向可能为a
D ．当转盘减速转动时，P 所受摩擦力方向可能为b
答案 A
解析 转盘匀速转动时，物块P 所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向为c ，A 项正确，B 项错误；当转盘加速转动时，物块P 做加速圆周运动，不仅有沿c 方向指向圆心的向心力，还有指向a 方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b 方向，不可能沿a 方向，C 项错误；当转盘减速转动时，物块P 做减速圆周运动，不仅有沿c 方向指向圆心的向心力，还有与a 方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d 方向，不可能沿b 方向，D 项错误．
针对训练2 如图7所示，某物体沿14
光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速
率逐渐增大，则()
图7
A．物体的合力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合力就是向心力
D．物体的合力方向始终不与其运动方向垂直(最低点除外)
答案 D
解析物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心(最低点除外)，合力沿半径方向的分力等于向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向的夹角始终为锐角，合力与速度不垂直，B、C错误，D正确．
考点一向心力的来源分析及计算
1．下列对圆锥摆的受力分析正确的是()
答案 D
2．甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相等时间内甲转过60°，乙转过45°，则它们所受外力的合力之比为()
A．1∶4 B．2∶3 C．4∶9 D．9∶16
答案 C
3.(2021·山东滨州市高一期中)如图1所示为蒙晋边界的黄河大峡谷，河水沿着河床做曲线运动．图中A、B、C、D四处，受河水冲击最严重的是()
图1
A ．A 处
B ．B 处
C ．C 处
D ．D 处
答案 B
解析 可看作河水沿着河道做圆周运动，根据运动路径可知，在B 处的河床要提供做圆周运动的向心力，故B 处的河床受河水的冲击最严重．
4．(2020·北京市东城区高一上期末)如图2所示，把一个长为20 cm ，劲度系数为360 N/m 的弹簧一端固定，作为圆心，弹簧的另一端连接一个质量为0.50 kg 的小球，当小球以360π
r/min 的转速在光滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧的伸长量应为( )
图2
A ．5.2 cm
B ．5.3 cm
C ．5.0 cm
D ．5.4 cm
答案 C
解析 小球转动的角速度ω＝2πn ＝12 rad/s ，弹簧的弹力为小球做圆周运动提供向心力，即kx ＝mω2(x 0＋x )，解得x ＝mω2x 0k －mω2＝0.5×122×0.2360－0.5×122 m ＝0.05 m ＝5.0 cm ，选项C 正确． 考点二 变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
5．(2020·莲塘第一中学期中)如图所示，在“神舟十一号”沿曲线从M 点到N 点的飞行过程中，速度逐渐增大．在此过程中“神舟十一号”所受合力F 的方向可能是( )
答案 B
解析 做曲线运动的物体所受合力的方向总是指向曲线凹侧，A 、D 错误；由于速度逐渐增大，故合力F 的方向沿切线方向的分力与速度方向相同，B 正确，C 错误．
6.“歼－20”是我国自主研发的一款新型隐形战机，图3中虚曲线是某次“歼－20”离开跑道加速起飞的轨迹，虚直线是曲线上过飞机所在位置的切线，则空气对飞机作用力的方向可
能是( )
图3
A ．沿F 1方向
B ．沿F 2方向
C ．沿F 3方向
D ．沿F 4方向
答案 C
解析 飞机向上加速，空气作用力与重力的合力应指向曲线的凹侧，同时由于飞机加速起飞，故空气对飞机的作用力与速度的夹角应为锐角，故只有C 选项符合题意．
7.(多选)质量为m 的小球用长为L 的轻质细线悬挂在O 点，在O 点的正下方L 2
处有一光滑小钉子P ，把细线沿水平方向拉直，如图4所示，无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬间(瞬时速度不变)，设细线没有断裂，则下列说法正确的是( )
图4
A ．小球的角速度突然增大
B ．小球的角速度突然减小
C ．小球对细线的拉力突然增大
D ．小球对细线的拉力保持不变
答案 AC
解析 根据题意，细线碰到钉子的瞬间，小球的瞬时速度v 不变，但其做圆周运动的半径从
L 突变为L 2，由ω＝v r 可知小球的角速度突然增大，选项A 正确，B 错误；根据F T －mg ＝m v 2r
可知小球受到的拉力增大，由牛顿第三定律知，小球对细线的拉力增大，选项C 正确，D 错误．
8.如图5所示，一圆柱形容器绕其竖直轴线匀速转动，内部有A 、B 两个物体，均与容器的接触面始终保持相对静止．当转速增大后(A 、B 与容器接触面间仍相对静止)，下列说法正确的是( )
图5
A．两物体受到的摩擦力都增大
B．两物体受到的摩擦力大小都不变
C．物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变
D．物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大
答案 D
解析容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供A做圆周运动的向心力；在竖直方向上，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变；以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由F f＝F n＝mω2r＝4π2mn2r知其受到的摩擦力随着转速的增大而增大，故D 正确．
9.(多选)如图6所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．重力加速度为g，则在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下列分析正确的是()
图6
A．螺丝帽受到的重力与最大静摩擦力平衡
B．螺丝帽受到塑料管的弹力方向水平向外，背离圆心
C．此时手转动塑料管的角速度ω＝g μr
D．若塑料管转动加快，螺丝帽有可能相对塑料管发生运动
答案AC
解析螺丝帽恰好不下滑，则螺丝帽受到的重力和最大静摩擦力平衡，故A正确；螺丝帽在水平方向受到的弹力提供向心力，弹力的方向指向圆心，故B错误；根据mg＝F f＝μF N，
F N＝mω2r，解得ω＝g
μr，故C正确；若塑料管转动加快，则所需向心力增大，弹力增大，
最大静摩擦力增大，螺丝帽受到的重力和静摩擦力仍然平衡，故D错误．
10.如图7所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向右匀速
运动的小车顶部，两球分别与小车前、后壁接触．由于某种原因，小车突然停止运动，求此时细绳的拉力大小之比F B ∶F A .(g 取10 m/s 2)
图7
答案 1∶3
解析 设两小球A 、B 的质量均为m .
小车突然停止运动时，小球B 相对于小车静止，竖直方向上受力平衡，则有F B ＝mg ；
小球A 绕悬点以速度v 做圆周运动，此时有F A －mg ＝m v 2
L
， 得F A ＝mg ＋m v 2
L
， 联立可得F B ∶F A ＝1∶3.
11.如图8所示，有一质量为m 1的小球A 与质量为m 2的物块B 通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板绕O 点做半径为r 的匀速圆周运动时，物块B 刚好保持静止．求：(重力加速度为g )
图8
(1)轻绳的拉力大小；
(2)小球A 做匀速圆周运动的线速度大小．
答案 (1)m 2g (2)m 2gr m 1
解析 (1)物块B 受力平衡，故轻绳拉力大小F T ＝m 2g
(2)小球A 做匀速圆周运动的向心力由轻绳拉力F T 提供，
根据牛顿第二定律有：
m 2g ＝m 1v 2
r
解得v ＝
m 2gr m 1.
12.在光滑水平杆上穿着两个小球m 1、m 2，且m 1＝2m 2，用水平细线把两球连起来，当支架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图9所示．此时两小球到转轴的距离
r1与r2之比为()
图9
A．1∶1 B．1∶4
C．2∶1 D．1∶2
答案 D
解析由题图可知，两球均由所受细线的拉力提供向心力，所以向心力相等，角速度也相等，则有：m1ω2r1＝m2ω2r2，m1＝2m2，联立解得：r1∶r2＝1∶2.
13.如图10所示，质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时，求杆的OA段及AB段对球的拉力大小之比．
图10
答案3∶2
解析球所受的重力和水平面的支持力在竖直面内，且是一对平衡力，故球的向心力由杆的OA段和AB段的拉力提供．
分别隔离A、B受力分析，如图所示．A、B固定在同一根轻杆上，所以A、B的角速度相同，设角速度为ω，则由向心力公式可得：
对A：F OA－F AB＝mrω2，
对B：F AB′＝2mrω2
又F AB＝F AB′，
联立三式，解得F OA∶F AB＝3∶2.。