怎样证明两线段相等

怎样证明两线段相等
求证两线段相等是平面几何中的重要题型，其证明方法较多。

为帮助初三学生掌握一些常见的证法，本文在《几何》第二、三册知识范围内，归类总结若干方法如下，供初三学生复习时参考。

证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：
1.三角形
①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；
②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；
③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；
④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；
⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；
⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；
2.证特殊四边形
①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；
②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；
③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；
3.圆
①同圆或等圆的半径相等；
②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；
③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；
④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；
4. 等量代换：若a=b，b=c，则a=c；
等式性质：若a=b ，则
a －c=
b －
c ；若c b c a
，则
a=b.
此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等。

一、利用全等三角形的对应边相等证明
例1、如图1，已知C 在BD 上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，BE 、AD 分别与AC 、CE 交于P 、Q 。

求证：CP=CQ 。

证明：因为△ABC 和△CDE 都是等边三角形，所以在△ACD 与△BCE 中， AC=BC ，CD=CE 。

因为∠1=∠2=60°，
所以∠ACD=∠BCE=60°+∠3=120°， 所以△ACD ≌△BCE （SAS ）， 所以∠4=∠5。

在△ACQ 与△BCP 中，AC=BC ，∠4=∠5，又知∠3=60°=∠1， 所以△ACQ ≌△BCP （ASA ），所以CP=CQ 。

二、利用等腰三角形定理及逆定理证明
例2、如图2，已知：在△ABC 中，AB=AC ，在AB 、AC 上的线段AD=AE 。

求证：FB=FC ，FE=FD 。

证明：在△ABC 中，因为AB=AC ，AD=AE ，所以DB=EC 。

在△EBC 与△DCB 中，因为DB=EC ，BC=BC ， 又∠ABC=∠ACB （等腰三角形的底角相等），
所以△EBC ≌△DCB （SAS ），所以BE=CD ，∠EBC=∠DCB ， 所以△FBC 是等腰三角形，所以FB=FC ， 故
，即FE=FD 。

证法2：也可以△ACD ≌△ABE （SAS ），从而得到∠ABE=∠ACD ，证得△FBC 为等腰三角形，再通过平行线内错角相等证明△FDE 为等腰三角形。

三、利用等腰三角形“三线合一”定理证明
例3、如图3，已知△ABC 为Rt △，D 为斜边AB 的中点，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F 。

求证：AE=CE ，BF=CF 。

证明：因为D 是Rt △ABC 的斜边AB 的中点， 所以连CD 后，则AD=CD=BD 。

所以△CDA 与△CDB 均为等腰三角形， 另外DE ⊥AC ，DF ⊥BC ， 所以AE=CE ，BF=CF 。

（等腰三角形底边上的高平分底边）。

证法2：可直接用三角形中位线定理或平行线截取线段成比例证明。

四、利用角平分线上的点到这个角两边等距离证明
例4、如图4，已知：△ABC 中，AB=AC ，AD 是底边BC 上的中线，∠B 、∠C 的平分线交于I ，
求证：I 到AB 、BC 、CA 的距离相等。

证明：因为AB=AC ，AD 是BC 边的中线，所以AD 平分∠BAC 且AD ⊥BC ，而∠B 、∠C 的平分线交于I ，
所以AD 过I 点，即I 是△ABC 的内心，作IE ⊥AC 于E ，IF ⊥AB 于F ，故ID=IE=IF 。

所以I 到AB 、BC 、CA 的距离相等。

五、利用垂直平分线上的点到该线段两端等距离证明 例5、如图5，已知：△ABC 中，∠A=90°，D 为△ABC 内一
点，且AB=AC=BD ，∠ABD=30° 求证：AD=DC
证明：作AG ⊥BD 于G ，作DH ⊥AC 于H ，
因为∠ABD=30°，所以在Rt △AGB 中，。

又∠DAG=∠DAB －∠GAB=75°－60°=15°，且∠DAC=90°－75°=15°，
而AD=AD ，所以Rt △AGD ≌Rt △AHD （AAS ），所以
，
因为DH 为AC 的垂直平分线，所以AD=DC 。

六、利用两三角形面积相等，等底必等高，等高必等底证明 例6、求证：等腰三角形两腰上的高相等。

证明：如图6，在等腰△ABC 中，作BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ， 因为S △ABC =BD ·AC/2=CE ·AB/2 而AB=AC ，所以BD=CE ，命题得证。

证明2：也可以用全等三角形证明。

七、利用等量公理：证明它们等于同一线段或分别等于两条相等线段 例7、如图7，锐角△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，延长AB 到E ，BE=BD ，连结ED 并延长交AC 于F 。

求证：AF=FC 。

证明：因为BE=BD ，所以∠E=∠1，
而∠ABC=∠E+∠1=2∠E ，又∠ABC=2∠C ，所以∠C=∠E 。

因为∠1=∠2，所以∠2=∠C ，所以FC=FD 。

另外，∠2+∠3=∠C+∠4=90°，所以∠3=∠4，所以FD=AF ，故AF=FC 。

八、利用中心对称证明
例8、如图8，已知AT 为△ABC 的内角平分线，M 为BC 中点， ME ∥AT ，交AB 、AC 或其延长线于D 、E ， 求证：BD=CE 。

思路：设法把已知量待求量转化到一个完形中（这里：同一个三
角形，转化为等腰△问题）。

证明：以M 为对称中心，则B 、C 互为对称点，取D 关于M 的对称点R ，连CR ， 则CR ∥BD ，且相等，所以∠R=∠3=∠2=∠1=∠E ，所以CE=CR=BD 。

九、利用勾股定理证明
例9、如图9，已知：M 为△ABC 内一点，MD 、ME 、MF 分别和BC 、CA 、AB 垂直，BF=BD ，CD=CE 。

求证：AE=AF 。

证明：根据勾股定理及题设可知：
AF 2=FG 2+AM 2-GM 2=AM 2+ FG 2-（BM 2-BG 2）=AM 2-BM 2+（FG 2+BG 2）=AM 2-BM 2+BF 2
=AM 2-BM 2+BD 2=AM 2-（BH 2+MH 2）+（BH 2+DH 2）=AM 2+DH 2-MH 2=AM 2+CD 2-CH 2-（CM 2-CH 2） =AM 2+CD 2-CM 2
同理，可得AE 2= AM 2+CD 2-CM 2 所以AF 2= AE 2，所以AF=AE
十、利用比例证明
例10、如图10，已知△ABC 中，中线BE 与角平分线AD 交于点K ，BL ∥KC ，交AC 的延长线于点L ，求证：LC=AB 。

证明：因为BL ∥KC ，所以
， ①
因为AD 平分∠BAC ，所以
， ②
所以由①、②得。

又因为CE=AE ，所以LC=AB 。

十一、利用圆幂定理证明
例11、如图11，已知：PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBD 是圆O 的割线，弦DE
∥AP，PE的延长线交圆O于C，CB的延长线交PA于F。

求证：PF=FA。

证明：因为DE∥AP，
所以∠APD=∠D=∠C，
所以FP是圆PBC的切线（弦切角定理的逆定理），
所以FP2=FB·FC（切割线定理）。

又FA2=FB·FC（切割线定理），
所以FP2=FA2，所以PF=FA。

十二、利用平行四边形性质证明
例12、如图12，已知Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E，交高线AD于O，过O 引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF。

证明：因为CE平分∠C，
所以∠2=90°∠C，
∠3=90°∠C，
所以∠3=∠2=∠1，
从而AE=AO，作EK⊥BC，连OK，
则EK=AE=AO，
又AO∥EK，故AOKE是平行四边形，AE∥OK，且AE=OK，
而OKBF也是平行四边形，
所以BF=KO=AE。

十三、利用三角知识证明
例13、如图13，已知四边形ABCD内接于⊙O，且AC、BD垂直相交于G，又E、F 分别是AB、CD的中点。

求证：OF=GE。

证明：设⊙O的半径为R，因为F是弦CD的中点，所以OF⊥CD。

所以在Rt△OFD中，
OF=ODsin∠1=Rsin∠1。

①
又GE=AB（因为E是Rt△AGB的斜边AB的中点），而由正弦定理知
AB=2Rsin∠2，所以GE=Rsin∠2。

②
因为OF⊥CD，所以∠DOF==∠DAC，
于是∠1=90°－∠DOF=90°－∠DAC=∠2，③
由①、②、③知：OF=GE。

练习题：
1、在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B的平分线和AC交于D，BC边上的高AF和BD 交于E。

求证：AD=AE。

（提示：应用两角互余及三角形外角定理证∠ADB=∠AED）
2、在△ABC中，AB=AC，在底边BC两端分别向腰和腰的延长线上截取BE=CD，连结D、E交BC于G，求证：EG=DG。

（提示：过E作EF∥AD交BC于F，证△EFG≌△DCG，或在△DGC和△BEG中用正弦定理证）
3、△ABC中，D、E为BC上的任意两点，DD
1⊥AB，DD
2
⊥AC，EE
1
⊥AB，EE
2
⊥AC，
且DD
1+DD
2
=EE
1
+EE
2
，求证：AB=AC。

（提示：S
△ABD +S
△ADC
=S
△ABE
+S
△AEC
）
4、已知AD是△ABC的∠BAC的平分线，E是DC上的一点，DE=BD，EF∥CA，和AD交于F。

求证：EF=AB。

（提示：）
5、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E
是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。

求证：AF=EF。

6、如图，△ABC中，∠C为直角，∠A=30°，分别
以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE与正△ACD，
DE与AB交于F。

求证：EF=FD。

7、如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：AG=AD。