复变函数积分计算公式

l
值只跟起点与终点有关,而与路径无关,因 此当起点z0固定时,这个不定积分就定义了 单值函数,记作：F ( z ) = ∫ f (ζ )dζ
Z0 Z
若F ( z )在B上解析,且F ( z ) = f ( z ), 则F ( z )
/
是f ( z )的一个原函数。
∫
Z2
Z1
f (ζ )dζ = F ( z2 ) F ( z1 )
B
A
(4)全路径上的积分等于各段上积分之和；
l1+ l 2
f ( z )dz = ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz
l1 l2
例：计算以下积分： （1）I1 = ∫ Re zdz ,
L1
（2）I 2 = ∫ Re zdz
L2
L2
1+i
o
L1
I1 = ∫ [u ( x, y )dx v( x, y )dy ]
∫ cf ( z )dz = c ∫
l l 1 2
l
f ( z )dz f1 ( z )dz ± ∫ f 2 ( z )dz
l
(2)函数的和的积分等于各个函数积分的和；
∫ [ f ( z ) ± f ( z )]dz = ∫
l
(3)反转积分路径，积分变号；
∫ ∫
B
A
f ( z )dz = ∫ f ( z )dz
例：计算下式积分： I = ∫ (z-α ) dz
l
n
分析：若l不包含α点，则积分值为零，若 包含α点，则当n ≥ 0时，被积函数在l所围 区域内仍解析，只有当n < 0时才成为奇点， 现做一圆将α点包围，圆心为α，半径为C， 则在圆周上，z-α =Re
i
I=
∫
=
l
( z α ) dz
n
=
∫ π R e Re id ∫
v u u v = ∫∫ ( + )dxdy + i ∫∫ ( )dxdy x y x y S S u u v u 按照C R条件， = ， = ， x y x y 所以积分项为零。
（2）闭复通区域情形 ） 所谓复通区域， 所谓复通区域，即函数在其中某些 点处并不解析，这些点称为奇点， 点处并不解析，这些点称为奇点，为 了将这些点排除在外， 了将这些点排除在外，常做一些适当 的闭合曲线将这些奇点挖去， 的闭合曲线将这些奇点挖去，形成带 的区域，即复通区域。 “孔”的区域，即复通区域。
（1）单通区域情况 ） 所谓单通区域， 所谓单通区域，即在其中作任何简 单的闭和围线， 单的闭和围线，围线内的点都属于 该区域内的点。如果f（ ） 该区域内的点。如果 （z）在单通 区域上解析， 区域上解析，则沿该区域内任一光 滑闭合曲线积分有： 滑闭合曲线积分有：
∫
l
f ( z )dz = 0
证明：
y
B
zn
ζK ζ 1 z1
A z0 0
zK
x
于n → ∞而且每一小段都无限缩短 时,如果这个和的极限存在,而且其 值与各个ζ K的选取无关,则这个和 的极限称为函数f ( z )沿曲线l从A到B 的路积分,记作： f ( z )dz,即: ∫
l
∫
l
f ( z )dz = lim ∑ f (ζ K ) ( z K z K 1 )
l
A 来自百度文库 B
l1
B
l2
D C D C
复通区域内虽然包含奇点，但是 已经用闭合的曲线将这些奇点挖 去，所以，原来的复通区域已经 变成了单通区域，那么按单通区 域的柯西定理有：
∫ ∫ ∫
l
l
f ( z )dz + ∫
AB
f ( z )dz + ∫ f ( z )dz + ∫
l1 DC
/ /
B A
/
根据柯西定理的推论： n! f (ζ ) (n) f = d ζ ，可有 ∫l (ζ z )n+1 2π i ψ n t
n
t =0
n! = 2π i
∫
l
e 1 ζ dζ n +1 (ζ )
xζ ( ) 1ζ
1
可见,复变函数的积分值 可见 复变函数的积分值 不仅和积分的起点与终点有关 而且与积分路径有关， ，而且与积分路径有关，可以 用柯西定理来描述积分值与路 径的关系。 径的关系。
柯西定理
（1）闭单通区域上的解析函数沿境界线的积 ） 分值为零。 分值为零。 （2）闭复通区域上的解析函数沿所有内外境 ） 界线正方向的积分和为零。 界线正方向的积分和为零。 （3）闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆 ） 时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时 针方向积分之和。 针方向积分之和。
/
f ( z )dz + =0
CD
f ( z )dz + ∫ f ( z )dz + ∫
l2
f ( z )dz + =0
其中，沿割线两条边上的积分值相互抵消，故： f ( z )dz + ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz +
l1 l2
2-3
不定积分
由柯西定理可知：若函数f ( z )在单通区域B 上解析，则沿B上任一路径l的积分∫ f ( z )dz
第二章
复变函数的积分
设在复数平面的某分段光滑曲线l上 定义了连续函数f ( z )在l上取一系列 的分点z0 (即起点A)，z1 z2 zn (即终 点B), 把l分成 n 个小段,在每个小段
[ zK 1 , zK ] 上任取一点ζ K ,作和:
∑ f (ζ ) ( z
K =1 K
n
K
z K 1 )
∫
l
f ( z )dz =
∫ + i ∫ [v( x, y )dx + u ( x, y )dy ]
l l
[u ( x, y )dx v( x, y )dy ]
应用格林公式： Q P Pdx + Qdy = ∫ ( + )dxdy ∫l S x y
故将回路的积分，转化成面积分：
∫
l
f ( z )dz
n →∞ K =1
n
把z K 和f ( z )都用实部和虚部表示出来： z K = xK + iyK , f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 则：
∫
l
f ( z )dz = ∫ [u ( x, y )dx v( x, y )dy ]
l
+ i ∫ [v( x, y )dx + u ( x, y )dy ]
C 2 n in i 0 n +1
R e d (α + Re )
n in i
= iR
∫
2π
0
e
i ( n +1)
d
I = iR n +1 ei ( n +1) d = 0 (n ≠ 1) (1) ∫0 2π I = i ∫ d = 2π i (n = 1) (2) 0
2π
综上所述: (1)n=-1且不包围a点时,则 ∫ 1 也可以写成 2π i
l
复变函数积分计算公式
∫
l
f ( z )dz = ∫ [u ( x, y )dx v( x, y )dy ]
l
+ i ∫ [v( x, y )dx + u ( x, y )dy ]
l
该公式将复变函数的路积分转 化为两个实变函数的线积分. 化为两个实变函数的线积分
一些常用的性质： (1)常数因子可以移到积分号外；
l
+ i ∫ [v( x, y )dx + u ( x, y )dy ]
l
1 = ∫ xdx + i ∫ 1dy = + i 0 0 2
1 1
I 2 = ∫ [u ( x, y )dx v( x, y )dy ]
l
+ i ∫ [v( x, y )dx + u ( x, y )dy ]
l
1 = ∫ xdx = 0 2
l
dz =0 z α
∫
l
dz =0 z α
l
(2)n=-1且包围a点时,则 ∫ 1 即 2π i
dz = 2π i z α
∫
l
dz =1 z α
(3)n ≠ -1,则 ∫ ( z α ) dz = 0
n l
1 也可以写成 2π i 总结起来： 1 2π i 1 2π i
∫
l
dz =0 z α (l不包围α ) (l包围α )
∫ ∫
l
0 dz = z α 1
n
l
( z α ) dz = 0 （n ≠ -1）
2-4
柯西公式
若（z）在闭单通区域 B 上解析， f l为B的境界线，α 为B内任一点， 则有柯西公式： 1 f ( z) f ( z )= dz ∫l z α 2π i
-
-
柯西定理的重要推论： n! f (ζ ) (n) f = dζ ∫l (ζ z )n+1 2π i 即解析函数可以求导任意多次。