指派问题的匈牙利法
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◎
0 5 1 Ø 0
4 ◎ 0 3 1 Ø 2 3 0 5 4 Ø 0 ◎ 0 3 2 3 1 5
√
√
√ l =m=4 < n=5
2 2 4 4 ◎ 0
◎
0 5 1 Ø 0
4 ◎ 0 3 1 Ø 2 3 0 5 4 Ø 0 ◎ 0 3 2 3 1 5
0 4 3 0
4 0 2 3
5 1 0 7
4 0 4 1
0 4 3 0
第二步,试指派:
-5
4 ◎ 2 3
5 4 ◎ 1 Ø 4 ◎ 4 3 找到 3 个独立零元素 Ø 但 m =3 < n= 4 7 1
第三步,作最少的直线覆盖所有0元素:
5 9 8 11 5 7 12 7 11 9 5 4 6 94 3 6 9 63 6 7 5 11 4
2 2 4 4 0
0 5 1 0
6 2 5 3 2 3 1 7 4 0 0 3 3 4 2 6
-1 -2
2 2 4 4 0
第一步:变换指派问题的系数矩阵(cij )为(bij),使 在(bij)的各行各列中都出现0元素,即 (1) 从(cij)的每行元素都减去该行的最小元素; (2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最 小元素。
第二步:进行试指派,以寻求最优解。 在(bij)中找尽可能多的独立0元素,若能找出n个独 立0元素,就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的元 素为1,其余为0,这就得到最优解。找独立0元素,常 用的步骤为: (1)从只有一个0元素的行(列)开始,给这个0元素加 圈,记作◎ 。然后划去◎ 所在列(行)的其它0元素,记 作Ø ;这表示这列所代表的任务已指派完,不必再考 虑别人了。 (2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈,记作 ◎;然后划去◎ 所在行的0元素,记作Ø . (3)反复进行(1),(2)两步,直到尽可能多的0元素都 被圈出和划掉为止。
0 0 1 0
最小总时间为22。
再看一例
请求解如下矩阵表达的指派问题
12 7 9 7 9 8 9 6 6 6 7 17 12 14 9 15 14 6 6 10 4 10 7 10 9
减去最小元素
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 9 8 0 0 10 0 6 3 6 5
(4)若仍有没有划圈的0元素,且同行(列)的0元素至 少有两个,则从剩有0元素最少的行(列)开始,比较这 行各0元素所在列中0元素的数目,选择0元素少的那列 的这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性 少的)。然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行, 直到所有0元素都已圈出和划掉为止。
(5)若◎ 元素的数目m 等于矩阵的阶数n,那么这指 派问题的最优解已得到。若m < n, 则转入下一步。
指派问题
指派问题是一种特殊的整数规划问题 一、问题的提出 设有m个工人,能做n件事,但效率不 同,并规定每个工人做且只能做一件事, 每件事有且只能有一个工人做,问应该如 何安排他们的工作,使花费的总时间(成 本)最少或效率最高?
二、指派问题的数学模型
设第i个工人做第j件事的时间是 cij ,决策 变量是
0 13 11 2 6 0 10 11 0 5 7 4 0 1 4 2
4 2
0 13 7 0 6 0 6 9 0 5 3 2 0 1 0 0
Ø 0 0 13 7 ◎ 6 0 6 9 ◎ ◎ 0 5 3 2 ◎ Ø 0 0 1 0 Ø
圈零划零
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 9 8 0 0 10 0 6 3 6 5
打勾划线确定调整行和列
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 √ 9 8 0 0 10 0 6 3 6 5 √
例一:
任务
人员
A 2
10 9 7
B 15
4 14 8
C 13
14 16 11
D 4
15 13 9
甲Baidu Nhomakorabea
乙 丙 丁
2 10 9 7
15 4 14 8
13 14 16 11
4 15 13 9
2 4
9
7
0 13 11 2 6 0 10 11 0 5 7 4 0 1 4 2
4 ◎ 2 3
5 4 ◎ √ Ø 4 1 ◎ 4 3 √ 7 1 Ø √
3 ◎ 2 2
4 3 ◎ 1 Ø 5 ◎ 4 4 6 0 Ø
3 4 3 0 0 1 0 5 2 0 4 4 2 6 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0
1 2 4 3 0
0 6 2 0
3 0 3 0 3 3 0 5 3 0 0 2 1 3 1 4
1 2 4 3 0
0 6 2 0
3 0 3 0 3 3 0 5 3 0 0 2 1 3 1 4
1 2 4 3 ◎ 0
4 ◎ 2 3 5 4 ◎ √ 1 Ø 4 ◎ 4 3 √ 7 1 Ø √
独立零元素的个数m等于最少直线数l,即l=m=3<n=4; 第四步,变换矩阵(bij)以增加0元素:没有被直线 覆盖的所有元素中的最小元素为1,然后打√各行都减 去1;打√各列都加上1,得如下矩阵,并转第二步进 行试指派:
B
7 5 1
C
11 9 10
D
2 8 4
甲 乙 丙
丁
5
9
8
2
求解过程如下:
第一步,变换系数矩阵:
6 4 (cij ) 3 5 7 11 2 2 4 5 9 8 1 10 4 1 9 8 2 2
4 0 2 3
5 1 0 7
9 5 9 6
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
例二、 有一份中文说明书,需译成英、日、德、俄四种
文字,分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四 人,他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时 间如下表所示,问如何分派任务,可使总时间最少?
任务
人员
A
6 4 3
时间矩阵
8 0 3 3
0 9 4 8
5 4 0 5
圈零划零
0 11 2 0
8 0 3 3
0 9 4 8
5 4 0 5
得最优解
将圈起的零改为1,其它元素改为0,即得 最优解如下
0 0 (xij ) 0 1
0 1 0 0
1 0 0 0
得最优解
0 0 ( xij ) 0 0 1
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
另一最优解
0 0 ( xij ) 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
15
3 ◎ 2 2
4 3 1 Ø ◎ 4 6 ◎
◎
5 4 Ø
得到4个独 立零元素, 所以最优解 矩阵为:
练习:
费 工作 用 人员
A
7
B
5
C
9
D
8
E
11
甲
乙
丙 丁 戊
9
8 7 4
12
5 3 6
7
4 6 7
11
6 9 5
9
8 6 11
7 9 8 7 4
◎
0 6 2 Ø 0
3 √ √ Ø 0 3 √ √ ◎ 0 3 3 Ø 5 0 3 ◎ 0 Ø 0 2 1 3 1 4
确定调整行和列
在没有圈起的零所在行上打“√”; 在打“√”行中所有零所在的列打“√”; 在打“√”列中含有圈起零的行上打“√”, 反复执行2)和3)两步,直到不能打“√”为止; 用直线划去打“√”的列和不打“√”的行,没 有划去的行构成调整的行,划去的列构成调整 列。
调整可行解的方法
0 5 1 0
4 0 3 1 2 3 0 5 4 0 0 3 2 3 1 5
2 2 4 4 ◎ 0
◎
0 5 1 Ø 0
4 ◎ 0 3 1 Ø 2 3 0 5 4 Ø 0 ◎ 0 3 2 3 1 5
2 2 4 4 ◎ 0
第三步:作最少的直线覆盖所有0元素。 (1)对没有◎的行打√号; (2)对已打√号的行中所有含Ø元素的列打√号; (3)再对打有√号的列中含◎ 元素的行打√号;
(4)重复(2),(3)直到得不出新的打√号的行、列为止; (5)对没有打√号的行画横线,有打√号的列画纵线, 这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 l 。l 应等于m, 若不相等,说明试指派过程有误,回到第二步(4),另 行试指派;若 l=m < n,须再变换当前的系数矩阵, 以找到n个独立的0元素,为此转第四步。 第四步:变换矩阵(bij)以增加0元素。 在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素,然后 打√各行都减去这最小元素;打√各列都加上这最小元 素(以保证系数矩阵中不出现负元素)。新系数矩阵 的最优解和原问题仍相同。转回第二步。
√
调整可行解
7 4 0 11 0
0 2 0 3 0 0 8 3 5 8 0 0 4 1 4
2 0 0 10 3
再圈零划零
7 4 0 11 0
0 2 0 3 0 0 8 3 5 8 0 0 4 1 4
2 0 0 10 3
最小时间(成本)min z=32
匈牙利算法示例
(二)、解题步骤: 指派问题是0-1 规划的特例,也是运输问题的特例, 当然可用整数规划,0-1 规划或运输问题的解法去求 解,这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算 的。利用指派问题的特点可有更简便的解法,这就是 匈牙利法,即系数矩阵中独立 0 元素的最多个数等于 能覆盖所有 0 元素的最少直线数。
在调整行中寻找最小的元素,将它作为调 整量; 将调整行各元素减去调整量,对调整列中 各元素加上调整量。 再次执行“圈零”和“划零”的操作,并 循环以上的步骤,直到圈起的零数等于n 为止。
匈牙利法解例3.3
2 10 3 7 15 4 14 8 13 14 16 11 4 7 13 9 0 各行各列减去最小元素后得 11 2 0
举例说明 1)表上作业法 2)匈牙利法
例 有四个工人和四台不同的机床,每位工人在不 同的机床上完成给定的任务的工时如表5.12所示, 问安排哪位工人操作哪一台机床可使总工时最少?
任务1 工人1 工人2 工人3 工人4 2 15 13 4
任务2 10 4 14 7
任务3 3 14 16 13
任务4 7 8 11 9
1, 第i个工人做第j件事 xij j 0, 第i个工人不做第 件事
则数学模型如下
min z cij xij
j 1 i 1
n
m
n xij 1, i 1,2, , m jm1 xij 1, j 1,2, , n i 1 xij 0,1; i 1,2, , m; j 1,2, , n
获得初始解:圈零/划零操作
将时间矩阵C的每一行都减去相应行的最小元素 和每一列都减去相应列的最小元素,使每一行 和每一列都含有零; 从最少零数的行或列开始,将“零”圈起来, 并划去它所在行和所在列的其它零; 反复做2),直到所有零被圈起或被划掉为止。 得到初始解。 判断是否为最优解:圈起的零的个数是否等于n。