专题训练(五) 三种特殊的等腰三角形的运用

专题训练(五)三种特殊的等腰三角形的运用

有三种等腰三角形比较特殊：等腰直角三角形、等边三角形和含36°角的等腰三角形．下面分类进行训练，帮助同学们进一步掌握这些特殊的等腰三角形的性质和判定．

►类型一等腰直角三角形

定义：有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．

性质：(1)两条直角边相等；(2)顶角是90°，底角是45°.

判定：利用定义．

1．如图5－ZT－1，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，C，D在同一条直线上．求证：BD＝CE.

图5－ZT－1

2．如图5－ZT－2，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BE⊥AC，垂足为E，∠ABE的平分线交AD于点F.判断△DBF的形状，并证明你的结论．

图5－ZT－2

3．如图5－ZT－3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角尺ADE按如图所示的方式放置，使三角尺斜边的两个端点分别与A，D重合，连结BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

图5－ZT－3

►类型二等边三角形

定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形．

性质：(1)三边都相等；(2)三个角都是60°.

判定：(1)定义；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

图5－ZT－4

4．如图5－ZT－4，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，则∠2的度数为()

A．60°B．45°

C．40°D．30°

5．如图5－ZT－5，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝6 cm，DE＝2 cm，求BC的长．

图5－ZT－5

6．如图5－ZT－6，B是AC上一点，△ABD和△DCE都是等边三角形，求证：AC＝BE.

图5－ZT－6

7．如图5－ZT－7，△ABC是等边三角形，E是BC边上任意一点，∠AEF＝60°，EF 交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.

求证：AE＝EF.

图5－ZT－7

►类型三有一角是36°的等腰三角形

有一角是36°的等腰三角形包括两种情况：(1)顶角是36°的等腰三角形，此时底角是72°；(2)底角是36°的等腰三角形，此时顶角是108°.这两类等腰三角形具有一些共性．

8．如图5－ZT－8，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为()

A．30°B．36°C．38°D．45°

5－ZT－8

图5－ZT－9

.如图5－ZT－9，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝________°.

10．如图5－ZT－10，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC 的度数为________．

5－ZT－10

5－ZT－11

11．如图5－ZT－11所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且AB＝BD，AD＝DC，则∠BAC＝________°.

12．如图5－ZT－12，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：(画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形的个数均不包括△ABC)

(1)在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是________度和________度；

(2)在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；

(3)继续按以上操作发现：在图③中画n条线段，使图中有2n个等腰三角形，其中有________个黄金等腰三角形．

图5－ZT－12

详解详析

1．证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AD＝AE，AB＝AC.

∵∠EAC＝90°＋∠CAD，∠DAB＝90°＋∠CAD，

∴∠DAB＝∠EAC.

在△ADB和△AEC中，

∵AD＝AE，∠DAB＝∠EAC，AB＝AC，

∴△ADB≌△AEC(S.A.S.)，

∴BD＝CE.

2．解：△DBF是等腰直角三角形．

证明：∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，

∴AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC .

∵BF 平分∠ABE ，AC ⊥BE ，

∴∠DFB ＝∠DAB ＋∠ABF ＝12(∠BAE ＋∠ABE )＝12

(180°－∠AEB )＝45°， ∴∠DBF ＝90°－∠DFB ＝45°，

∴DB ＝DF ，

∴△DBF 是等腰直角三角形．

3．解：数量关系：BE ＝EC ，位置关系：BE ⊥EC .

证明：∵△AED 是等腰直角三角形，

∴∠AED ＝90°，∠EAD ＝∠EDA ＝45°，AE ＝DE .

∵∠BAC ＝90°，

∴∠EAB ＝∠EAD ＋∠BAC ＝45°＋90°＝135°，∠EDC ＝180°－∠EDA ＝180°－45°＝135°，

∴∠EAB ＝∠EDC .

∵D 是AC 的中点，

∴AC ＝2CD .

又∵AC ＝2AB ，

∴AB ＝CD ，

∴△EAB ≌△EDC ，

∴EB ＝EC ，且∠AEB ＝∠DEC ，

∴∠BEC ＝∠BED ＋∠DEC ＝∠BED ＋∠AEB ＝∠AED ＝90°，即BE ⊥EC .

4．C

5．解：延长AD 交BC 于点M ，由AB ＝AC ，AD 平分∠BAC 可得AM ⊥BC ，BM ＝MC ＝12

BC .