狄拉克方程
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因为量子力学标准波动方人程删要除。求的是能量的一次项，但 是
(2)式包含有根号，如果直接作算符代换，动量算符将出 现在根号内：
对自由粒子，有
（3.1） （3.2）
对力场中的粒子，有（注意，因为有势能项V，光速c不能 放到等号左边）
（3.3）
与薛定谔方程相比，(3.2)式和(3.3)式的潜在问题是动量 算符在根号内，这不是量子力学标准波动方程形式。
玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本 人删除。
注意
粒子在t时刻r点出现的几率
(1)
概率振幅
(2) 归一化条件 (3) 态叠加、干涉
干涉项
薛定谔方程 文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本 人删除。
薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学，1933年获诺贝尔物理 学奖。
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本 人删除。
内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程 3.狄拉克方程
相对论的
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本
一、波函数人和删除。薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
二、克莱因人删-除戈。尔登方程
1. 简介
克莱因-戈尔登方程（Klein-Gordon equation） 是相对论量子力学和量子场论中的最基本方程， 它是薛定谔方程的相对论形式，可用来描述自 旋为零的粒子。
克莱因-戈尔登方程是由瑞典理论物理学家 奥斯卡·克莱因和德国人沃尔特·戈尔登于 二是世纪二三十年代分别独立推导得出的。
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1933年、狄拉克和薛定谔共同获得了诺贝尔物理学奖。
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三、狄拉克方程
薛定谔方程因为不是相对论性的，它必然要向 相对论扩展。克莱因-戈登方程就是第一个相对论性 的波动方程，然而却不能计算氢原子，且一直为负 能态和负概率所困扰，所以长期不被物理学家所接 受。狄拉克方程正是在这种困境中应运而生的。它 融合了狭义相对论、海森伯矩阵力学、薛定谔波动 力学三方理论，能够计算氢原子光谱的精细结构， 并且自动产生电子的自旋量子数。更巧妙的是，狄 拉克认为负能态对应着一种电子的反粒子，由此预 言了正电子的存在，并避免了负概率的困难。下面 详细介绍狄拉克方程的建立过程。
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2. 玻恩统计解释 人删除。
电子源 感 光 屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概 念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个 函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波 函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。 这样描写粒子的波叫几率波。
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第一步：建立相对论方程的条件
与建立薛定谔方程类似，我们也是先建立自由粒子的狄
拉克方程，然后建立力场中的狄拉克方程。这里先列出
建立狄拉克方程的两个假设条件：
第一、方程具有量子力学标准波动方程
仅哈密顿算符 Hˆ 不一样。 Pˆ
形式，
第二、方程必须满足相对论的一次能量动量关系，所以
应该是(2)式，而不是(1)式。
这两个条件归结为要确定一个合适的、满足相对论能量
动量关系的哈密顿算符Hˆ ，这是建立狄拉克方程的关键。 因为波动方程左边是能量算符，所以右边的哈密顿算符 Hˆ
中就应该包含动量算符Pˆ 。
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2. 克莱因-戈尔登方程的获得
（1）
自由粒子薛定谔Fra Baidu bibliotek程
KG方程
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3. 自由粒子解
人删除。
t22c22m22c4
Aie(k r t)
“+” 相对论
“-” 量子力学、负能量
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保罗·狄拉人克删：除。 英国理论物理学家，量子力学奠基者之一。
虽然已经有了克莱因-戈尔登方程，但狄拉克认 为问题并未被解决。这个方程可能给出负值的概 率，量子力学对概率的诠释无法解释。
1928年狄拉克提出了描述电子的相对论性方程： 狄拉克方程。并独立于泡利的工作发现了描述自 旋的2x2矩阵。然而狄拉克方程与克莱因-戈登方 程有相同的问题，存在无法解释的负能量解。 这促使狄拉克预测电子的反粒子（正电子）的存 在。正电子于1932年由安德森在宇宙射线中观察 到而证实。狄拉克方程同时能够解释自旋是 作为一种相对论性的现象。
质点运动、电磁波(光学) 牛顿方程、麦克斯韦方程
物质波函数满足的规律 薛定谔方程
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薛定谔方程的引入 人删除。
1. 单色平面波（德布罗意波）
(取实部) 2. 薛定谔方程(一维)
寻求波函数随时间空间变化的规律 从自由粒子平面单色波出发
2 c2(kk)m22c4
文档仅供参考，不能作为科学k依 据P，人请删勿除模。仿；E如有不当之处，请联系网站或本
Aie(k r t)
德布罗意波
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Ae
2 c2(kk)m22c4
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E c2p2m2c4 （2）
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随空间的变化：
(1)
(2)
随时间的变化：
(2), (3) (3)
薛定谔方程
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3.薛定谔方程(三维) 人删除。
4.算符
拉普拉斯算符
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(2)式包含有根号，如果直接作算符代换，动量算符将出 现在根号内：
对自由粒子，有
（3.1） （3.2）
对力场中的粒子，有（注意，因为有势能项V，光速c不能 放到等号左边）
（3.3）
与薛定谔方程相比，(3.2)式和(3.3)式的潜在问题是动量 算符在根号内，这不是量子力学标准波动方程形式。
玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本 人删除。
注意
粒子在t时刻r点出现的几率
(1)
概率振幅
(2) 归一化条件 (3) 态叠加、干涉
干涉项
薛定谔方程 文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本 人删除。
薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学，1933年获诺贝尔物理 学奖。
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内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程 3.狄拉克方程
相对论的
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一、波函数人和删除。薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
二、克莱因人删-除戈。尔登方程
1. 简介
克莱因-戈尔登方程（Klein-Gordon equation） 是相对论量子力学和量子场论中的最基本方程， 它是薛定谔方程的相对论形式，可用来描述自 旋为零的粒子。
克莱因-戈尔登方程是由瑞典理论物理学家 奥斯卡·克莱因和德国人沃尔特·戈尔登于 二是世纪二三十年代分别独立推导得出的。
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1933年、狄拉克和薛定谔共同获得了诺贝尔物理学奖。
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本 人删除。
三、狄拉克方程
薛定谔方程因为不是相对论性的，它必然要向 相对论扩展。克莱因-戈登方程就是第一个相对论性 的波动方程，然而却不能计算氢原子，且一直为负 能态和负概率所困扰，所以长期不被物理学家所接 受。狄拉克方程正是在这种困境中应运而生的。它 融合了狭义相对论、海森伯矩阵力学、薛定谔波动 力学三方理论，能够计算氢原子光谱的精细结构， 并且自动产生电子的自旋量子数。更巧妙的是，狄 拉克认为负能态对应着一种电子的反粒子，由此预 言了正电子的存在，并避免了负概率的困难。下面 详细介绍狄拉克方程的建立过程。
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本
2. 玻恩统计解释 人删除。
电子源 感 光 屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概 念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个 函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波 函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。 这样描写粒子的波叫几率波。
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第一步：建立相对论方程的条件
与建立薛定谔方程类似，我们也是先建立自由粒子的狄
拉克方程，然后建立力场中的狄拉克方程。这里先列出
建立狄拉克方程的两个假设条件：
第一、方程具有量子力学标准波动方程
仅哈密顿算符 Hˆ 不一样。 Pˆ
形式，
第二、方程必须满足相对论的一次能量动量关系，所以
应该是(2)式，而不是(1)式。
这两个条件归结为要确定一个合适的、满足相对论能量
动量关系的哈密顿算符Hˆ ，这是建立狄拉克方程的关键。 因为波动方程左边是能量算符，所以右边的哈密顿算符 Hˆ
中就应该包含动量算符Pˆ 。
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2. 克莱因-戈尔登方程的获得
（1）
自由粒子薛定谔Fra Baidu bibliotek程
KG方程
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3. 自由粒子解
人删除。
t22c22m22c4
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“+” 相对论
“-” 量子力学、负能量
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保罗·狄拉人克删：除。 英国理论物理学家，量子力学奠基者之一。
虽然已经有了克莱因-戈尔登方程，但狄拉克认 为问题并未被解决。这个方程可能给出负值的概 率，量子力学对概率的诠释无法解释。
1928年狄拉克提出了描述电子的相对论性方程： 狄拉克方程。并独立于泡利的工作发现了描述自 旋的2x2矩阵。然而狄拉克方程与克莱因-戈登方 程有相同的问题，存在无法解释的负能量解。 这促使狄拉克预测电子的反粒子（正电子）的存 在。正电子于1932年由安德森在宇宙射线中观察 到而证实。狄拉克方程同时能够解释自旋是 作为一种相对论性的现象。
质点运动、电磁波(光学) 牛顿方程、麦克斯韦方程
物质波函数满足的规律 薛定谔方程
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本
薛定谔方程的引入 人删除。
1. 单色平面波（德布罗意波）
(取实部) 2. 薛定谔方程(一维)
寻求波函数随时间空间变化的规律 从自由粒子平面单色波出发
2 c2(kk)m22c4
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德布罗意波
i (rPEt)
Ae
2 c2(kk)m22c4
E2c2p2m2c4
E c2p2m2c4 （2）
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随空间的变化：
(1)
(2)
随时间的变化：
(2), (3) (3)
薛定谔方程
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3.薛定谔方程(三维) 人删除。
4.算符
拉普拉斯算符
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