动态规划与回溯法解决背包问题(终审稿)
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动态规划与回溯法解决
背包问题
公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
0-1背包动态规划解决问题
一、问题描述:
有n个物品,它们有各自的重量和价值,现有给定容量的背包,如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和
二、总体思路:
根据动态规划解题步骤(问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成)找出01背包问题的最优解以及解组成,然后编写代码实现。三、动态规划的原理及过程:
number=4,capacity=7
原理:
动态规划与分治法类似,都是把大问题拆分成小问题,通过寻找大问题与小问题的递推关系,解决一个个小问题,最终达到解决原问题的效果。但不同的是,分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次,而动态规划则具有记忆性,通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来,在新问题里需要用到的子问题可以直接提取,避免了重复
计算,从而节约了时间,所以在问题满足最优性原理之后,用动态规划解决问题的核心就在于填表,表填写完毕,最优解也就找到。
过程:
a)把背包问题抽象化(X 1,X 2,…,Xn ,其中 Xi 取0或1,表示第 i 个物品选或不选),V i 表示第 i 个物品的价值,W i 表示第 i 个物品的体积(重量);
b)建立模型,即求max(V 1X 1+V 2X 2+…+VnXn); c)约束条件,W 1X 1+W 2X 2+…+WnXn d)定义V(i,j):当前背包容量 j ,前 i 个物品最佳组合对应的价值; e) 最优性原理是动态规划的基础,最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质:不论初始状态和初始决策如何,对于前面决策所造成的某一状态而言,其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。判断该问题是否满足最优性原理,采用反证法证明: 假设(X 1,X 2,…,Xn)是01背包问题的最优解,则有(X 2,X 3,…,Xn)是其子问题的最优解, 假设(Y 2,Y 3,…,Yn)是上述问题的子问题最优解,则理应有(V 2Y 2+V 3Y 3+…+V nYn)+V 1X 1?> (V 2X 2+V 3X 3+…+VnXn)+V 1X 1; 而(V 2X 2+V 3X 3+…+VnXn)+V 1X 1=(V 1X 1+V 2X 2+…+VnXn),则有(V 2Y 2+V 3Y 3+…+VnYn)+V 1X 1?>( V 1X 1 +V 2 X 2 +…+VnXn); 该式子说明(X 1 ,Y 2 ,Y 3, …,Yn)才是该01背包问题的最优解, 这与最开始的假设(X 1,X 2 ,…,Xn)是01背包问题的最优解相矛盾,故 01背包问题满足最优性原理; f)寻找递推关系式,面对当前商品有两种可能性: 第一,包的容量比该商品体积小,装不下,此时的价值与前i-1个的价值是一样的,即V(i,j)=V(i-1,j); 第二,还有足够的容量可以装该商品,但装了也不一定达到当前最优价值,所以在装与不装之间选择最优的一个,即V(i,j)=max { V(i-1,j),V(i-1,j-w(i))+v(i) } 其中V(i-1,j)表示不装,V(i-1,j-w(i))+v(i)表示装了第i个商品,背包容量减少w(i)但价值增加了v(i); 由此可以得出递推关系式: 1)j 2)j>=w(i) V(i,j)=max{V(i-1,j),V(i-1,j-w(i))+v(i)} number=4,capacity=7 四、构造最优解: 最优解的构造可根据C列的数据来构造最优解,构造时从第一个物品开始。从i=1,j=c即m[1][c]开始。 1、对于m[i][j],如果m[i][j]==m[i+1][j],则物品i没有装入背包,否则物品i装入背包; 2、为了确定后继即物品i+1,应该寻找新的j值作为参照。如果物品i已放入背包,则j=j-w[i];如果物品i未放入背包,则j=j。 3、重复上述两步判断后续物品i到物品n-1是否放入背包。 4、对于物品n,直接通过m[n][j]是否为0来判断物品n是否放入背包。 从表格中可以看出背包的最大价值value=20,即当X1=1,X2=0,X3=1,X4=1。 五、算法测试代码: #include<> #include<> #include #include #include #include using namespace std; const int c = 8; //背包的容量 const int w[] = {0,3,5,2,1}; //物品的重量,其中0号位置不使用。 const int v[] = {0,9,10,7,4}; //物品对应的待加,0号位置置为空。 const int n = sizeof(w)/sizeof(w[0]) - 1 ; //n为物品的个数 int x[n+1]; void package0_1(int m[][11],const int w[],const int v[],const int n)//n代表物品的个数 { //采用从底到顶的顺序来设置m[i][j]的值 //首先放w[n] for(int j = 0; j <= c; j++) if(j < w[n]) m[n][j] = 0; //j小于w[n],所对应的值设为0,否则就为可以放置 else m[n][j] = v[n]; //对剩下的n-1个物品进行放置。 int i; for(i = n-1; i >= 1; i--) for(int j = 0; j <= c; j++)