解直角三角形复习课件ppt
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北师大版九年级下册1.4解直角三角形课件
c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角 形的其他元素.
我们已知三角形的三边， 需要求角.直角三角形三边与 它的角有什么关系呢？它们通 过什么可以联系起来？
A
？
b5
C
c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角 形的其他元素.
解：在Rt△ABC中， ∠C=90°， A
∠B=25° ，∴ ∠A=65°.
？
sin B = b ，b = 30，
c
c
=
b sin B
=
sin3205°
71.
b 30 C
c？
25°
a？ B
tan
B
=
b ，b a
=
30， a
=
b tan
Bபைடு நூலகம்
=
tan3025°
64.
讲授新课
思考4：例2中已知元素是一锐角与一直角边，如 果已知的是一锐角与斜边，能解直角三角形吗？
思考5：已知元素是两锐角，能解直角三角形吗？ A
65°
c？ b？
25°
C
a？ B
小结：解直角三角形最少需除直角外的两个元 素，且这两个元素中至少有一条边.
巩固练习
➢ 随堂练习 在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠A，∠B，∠C所
对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形 的其他元素（结果精确到1°）:
18、解直角三角形及其应用PPT课件
中考新突破 · 数学(江西)
知识要点 · 归纳
三年中考 · 讲练
202X权威 · 预测
第一部分 教材同步复习
6
已知条件 已知两直角边(a，b) 已知斜边和一条直角边(c，a)
图形
解法 c＝ a2＋b2，由 tanA＝ab求∠A，∠ B＝90°－∠A b＝ c2－a2，由 sinA＝ac求∠A，∠ B＝90°－∠A
202X权威 · 预测
第一部分 教材同步复习
12
(2)∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝45＝BAEE， ∴设 BE＝4x，则 AE＝5x，得 AB＝3x， ∴3x＝6，得 x＝2，∴BE＝8，AE＝10， ∴tanE＝ABBE＝68＝CDDE＝D4E， 解得，DE＝136， ∴AD＝AE－DE＝10－136＝134，即 AD 的长是134.
第一部分 教材同步复习
4
►知识点二 解直角三角形
1．解直角三角形的定义及依据 (1)定义：在直角三角形中，除直角外，由已知元素求未知元素的过程就是解直 角三角形； (2)依据：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c， 则①边角关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab；②三边之间的关系：a2＋b2＝c2；③锐 角之间的关系：∠A＋∠B＝∠C； 1 (3)面积公式：S△ABC＝12ab＝①__2_c_h_____.(h 为斜边 c 上的高)
中考新突破 · 数学(江西)
知识要点 · 归纳
三年中考 · 讲练
202X权威 · 预测
第一部分 教材同步复习
11
【思路点拨】 本题考查解直角三角形．(1)要求BC的长，只要求出BE和CE的 长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题得以解决；(2)要求AD的长，只要求出 AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解决．
26.4 解直角三角形的应用 - 第1课时仰角、俯角、方位角问题课件(共23张PPT)
解：如图，α = 30° ， β= 60°，AD＝120． ∵ , ∴BD=AD·tanα=120×tan30︒, =120× =40 . CD=AD·tanβ=120×tan60︒, =120× =120 . ∴BC=BD+CD=40 +120 =160 ≈277(m).答：这栋楼高约为277m.
例1 如图，小明在距旗杆4.5 m的点D处，仰视旗杆顶端A，仰角（∠AOC）为50°；俯视旗杆底部B，俯角（∠BOC）为18°.求旗杆的高.(结果精确到0.1 m)
例题示范
知识点2 方向角方位角：由正南或正北方向线与目标方向线构成的锐角叫做方位角．如下图中的目标方向OA,OB,OC,OD的方向角分别表示________60°，________45°(或__________)，_________80°及_________30°.
拓展提升
1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？
分析：如图，α=30°，β=60°.在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
第二十六章 解直角三角形
26.4 解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角、方位角问题
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.巩固解直角三角形有关知识，了解仰角、俯角、方向角的概念.2.运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.
回顾复习
例1 如图，小明在距旗杆4.5 m的点D处，仰视旗杆顶端A，仰角（∠AOC）为50°；俯视旗杆底部B，俯角（∠BOC）为18°.求旗杆的高.(结果精确到0.1 m)
例题示范
知识点2 方向角方位角：由正南或正北方向线与目标方向线构成的锐角叫做方位角．如下图中的目标方向OA,OB,OC,OD的方向角分别表示________60°，________45°(或__________)，_________80°及_________30°.
拓展提升
1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？
分析：如图，α=30°，β=60°.在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
第二十六章 解直角三角形
26.4 解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角、方位角问题
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.巩固解直角三角形有关知识，了解仰角、俯角、方向角的概念.2.运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.
回顾复习
解直角三角形PPT课件
2024/1/25
正切定理
在直角三角形中，锐角的正切值等于其对边比邻边，即 tanα = a/b。
6
02
勾股定理及其逆定 理
2024/1/25
7
勾股定理内容及证明
2024/1/25
勾股定理内容
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理证明
可以通过相似三角形、面积法、 向量法等多种方法进行证明。
2024/1/25
正弦、余弦定理
已知任意两边和夹角，可以利用正弦定理$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$或余弦定理$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$求出第三边和角度。
16
已知一边一角求其他元素
正弦、余弦函数
已知一条边和一个锐角，可以利用正弦或余弦函数求出另一条直角边和斜边。例如，已知直角边$a$和锐角$A$ ，则可以利用$sin A = frac{a}{c}$求出斜边$c$，再利用勾股定理求出另一条直角边$b$。
正切函数
正切（tangent）是一个 角的对边长度与邻边长度 的比值，即 tan(θ) = 对边 / 邻边。
12
特殊角度三角函数值
0°、30°、45°、60°、90°等特殊角 度的三角函数值，如 sin(30°) = 1/2 ，cos(45°) = √2/2，tan(60°) = √3 等。
特殊角度三角函数值的推导过程及其 在解题中的应用。
2024/1/25
13
三角函数图像与性质
正弦、余弦、正切函数的图像及其周期性、奇偶性、单调性等性质。 利用三角函数图像解决相关问题的思路和方法。
2024/1/25
正切定理
在直角三角形中，锐角的正切值等于其对边比邻边，即 tanα = a/b。
6
02
勾股定理及其逆定 理
2024/1/25
7
勾股定理内容及证明
2024/1/25
勾股定理内容
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理证明
可以通过相似三角形、面积法、 向量法等多种方法进行证明。
2024/1/25
正弦、余弦定理
已知任意两边和夹角，可以利用正弦定理$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$或余弦定理$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$求出第三边和角度。
16
已知一边一角求其他元素
正弦、余弦函数
已知一条边和一个锐角，可以利用正弦或余弦函数求出另一条直角边和斜边。例如，已知直角边$a$和锐角$A$ ，则可以利用$sin A = frac{a}{c}$求出斜边$c$，再利用勾股定理求出另一条直角边$b$。
正切函数
正切（tangent）是一个 角的对边长度与邻边长度 的比值，即 tan(θ) = 对边 / 邻边。
12
特殊角度三角函数值
0°、30°、45°、60°、90°等特殊角 度的三角函数值，如 sin(30°) = 1/2 ，cos(45°) = √2/2，tan(60°) = √3 等。
特殊角度三角函数值的推导过程及其 在解题中的应用。
2024/1/25
13
三角函数图像与性质
正弦、余弦、正切函数的图像及其周期性、奇偶性、单调性等性质。 利用三角函数图像解决相关问题的思路和方法。
2024/1/25
26.3 解直角三角形课件(共16张PPT)
第二十六章 解直角三角形
26.3 解直角三角形
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解直角三角形的五个元素的关系．2.会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．3.掌握直角三角形的解法．
直角三角形的解法.
三角函数在解直角三角形中的灵活运用.
回顾复习
直角三角形ABC中，∠C＝90°，a,b,c,∠A,∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？解：(1)边角之间关系sinA＝ ，cosA＝ ，tanA＝ ；(2)三边之间关系a2＋b2＝c2(勾股定理);(3)锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°.
解：作AD⊥BC于D，在Rt △ABD中， ，AD＝AB·sinB =6×sin45°
随堂练习
1.在Rt △ABC中，∠C=90︒， ，c=2,则∠A=____.b=_____.2.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=30︒,∠C=60︒,AD=4,AB=3 ,则下底BC的长为_____.
∠A的对边
斜边
∠B的对边
斜边
∠A的邻边
斜边
∠B的邻边
斜边
∠A的对边
∠A的邻边
∠B的对边Байду номын сангаас
∠B的邻边
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
c
a
c
b
b
a
在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角共五个元素.由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素过程，叫做解直角三角形．
事实上，在直角三角形的这五个元素中，如果再知道两个元素（至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
探索新知
26.3 解直角三角形
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解直角三角形的五个元素的关系．2.会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．3.掌握直角三角形的解法．
直角三角形的解法.
三角函数在解直角三角形中的灵活运用.
回顾复习
直角三角形ABC中，∠C＝90°，a,b,c,∠A,∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？解：(1)边角之间关系sinA＝ ，cosA＝ ，tanA＝ ；(2)三边之间关系a2＋b2＝c2(勾股定理);(3)锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°.
解：作AD⊥BC于D，在Rt △ABD中， ，AD＝AB·sinB =6×sin45°
随堂练习
1.在Rt △ABC中，∠C=90︒， ，c=2,则∠A=____.b=_____.2.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=30︒,∠C=60︒,AD=4,AB=3 ,则下底BC的长为_____.
∠A的对边
斜边
∠B的对边
斜边
∠A的邻边
斜边
∠B的邻边
斜边
∠A的对边
∠A的邻边
∠B的对边Байду номын сангаас
∠B的邻边
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
c
a
c
b
b
a
在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角共五个元素.由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素过程，叫做解直角三角形．
事实上，在直角三角形的这五个元素中，如果再知道两个元素（至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
探索新知
解直角三角形-ppt课件
，∴
∴CH = ，
∴AH=
∴AB=2AH=
−
.
=
，∵∠B=30°，
=
，
26.3 解直角三角形
重 ■题型 解双直角三角形
难
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是 AC 上一
题
型
点，BD=10
，∠BDC=45°，sinA=
，求 AD 的长．
突
∴S
AB·AE= ×4×4 =8 ，
CD·DE= ×5 ×15=
四边形 ABDC=S△CDE-S△ABE=
，
．
（方法二）如图 2，过点 A 作 AF⊥CD 于点 F，过点
B 作 BG⊥AF 于点 G，则∠ABG=30°，
∴AG=
AB=2，BG= − =2 ，
况讨论，求出不同情况下的答案.
26.3 解直角三角形
■方法：运用割补法求不规则图形的面积
方
法
割补法是求不规则图形面积问题的最常用方法，割补法
技
巧 包含三个方面的内容：一是分割原有图形成规则图形；二
点
拨 是通过作辅助线将原有图形补为规则图形；三是分割和补
形兼而有之.
26.3 解直角三角形
例 如图，在四边形 ABDC 中，∠ABD=120°，AB⊥AC，
＝
2
＝25
26.3 解直角三角形
变式衍生 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 是 AB
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
北师大版九年级下册数学《解直角三角形》直角三角形的边角关系研讨说课复习课件
能求出其他的元素?
知道一个元素行不行？
知道两个角行不行？
A
c
b
C
a
B
合作探究
1.在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形
的其他元素吗？
能
B
6
BC
sin A
BC AB sin A 6 sin 75
AB
cos A
AC
AC AB cos A 6 cos 75
）
(2)R t△A B C 中,
因为 A B =
6米
AC
= 4 3 米,
sin 60
所以 A D - A B = 12- 4 3 ≈5.1 米.
所以改善后的滑梯会加长 5.1 m .
D
300
600
B
C
拓展探究
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形
为“好玩三角形”,在Rt△ABC中,∠C=90°,若Rt△ABC是“好玩三角
解直角三角形
九年级下册
课件
学习目标
1
理解解直角三角形的含义。
掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定
2
3
理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.
通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学
生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力.
自主学习
直角三角形共6个元素：三条边三个角，那么之间有哪些关系：
25°
∵∠B=25°，∴∠A=65°
b
b
30
71
又∵sinB=
，∴c=
0
sin B sin 25
c
知道一个元素行不行？
知道两个角行不行？
A
c
b
C
a
B
合作探究
1.在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形
的其他元素吗？
能
B
6
BC
sin A
BC AB sin A 6 sin 75
AB
cos A
AC
AC AB cos A 6 cos 75
）
(2)R t△A B C 中,
因为 A B =
6米
AC
= 4 3 米,
sin 60
所以 A D - A B = 12- 4 3 ≈5.1 米.
所以改善后的滑梯会加长 5.1 m .
D
300
600
B
C
拓展探究
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形
为“好玩三角形”,在Rt△ABC中,∠C=90°,若Rt△ABC是“好玩三角
解直角三角形
九年级下册
课件
学习目标
1
理解解直角三角形的含义。
掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定
2
3
理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.
通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学
生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力.
自主学习
直角三角形共6个元素：三条边三个角，那么之间有哪些关系：
25°
∵∠B=25°，∴∠A=65°
b
b
30
71
又∵sinB=
，∴c=
0
sin B sin 25
c
解直角三角形的应用(19张ppt)课件
选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。
解直角三角形复习课课件
解直角三角形在测量中应用广泛 ，如测量高度、距离等。通过已 知的直角三角形角度和一边长度
，可以计算出其他边的长度。
建筑问题
在建筑领域中，解直角三角形可 用于计算建筑物的角度、高度和 斜边长度等。例如，在计算建筑 物倾斜角度时，可以利用直角三
角形的正、距离和位置 等。通过测量船只与陆地之间的 角度和距离，可以确定船只的位
三角形的两边长度和夹角时，可以利用余弦定理来计算第三边的长度，
从而得到三角形的周长。
三角函数问题
正弦函数
解直角三角形与正弦函数密切相关。在直角三角形中，对 边长度与正弦函数值成正比，可以用于计算对边的长度。
余弦函数
余弦函数在解直角三角形中也有应用。例如，在计算角度 时，可以利用余弦函数来求解。
正切函数
正切函数在解直角三角形中也有应用。例如，在计算斜边 长度时，可以利用正切函数来求解。同时，正切函数还可 以用于计算角度，如锐角或钝角。
04
解直角三角形的注意事项
单位统一
总结词
在进行解直角三角形时，必须确保所有的单 位都是统一的，否则会导致计算错误。
详细描述
在解直角三角形时，常常涉及到长度和角度 两个量。这两个量必须使用相同的单位，如 米、厘米、毫米等。如果单位不统一，计算 结果将失去实际意义。例如，如果一边长度 是10米，而对应的锐角是60度，如果单位 不统一，计算出的另一边长度可能是10米 或10厘米，这将导致问题无法解决。因此 ，在解题前，需要先统一单位。
置。
几何问题
01
角度计算
解直角三角形可用于计算角度，如直角三角形中的锐角或钝角。通过已
知的边长和角度，可以计算出其他角度的大小。
02
面积计算
直角三角形的面积可以通过已知的边长来计算。例如，直角三角形的面
，可以计算出其他边的长度。
建筑问题
在建筑领域中，解直角三角形可 用于计算建筑物的角度、高度和 斜边长度等。例如，在计算建筑 物倾斜角度时，可以利用直角三
角形的正、距离和位置 等。通过测量船只与陆地之间的 角度和距离，可以确定船只的位
三角形的两边长度和夹角时，可以利用余弦定理来计算第三边的长度，
从而得到三角形的周长。
三角函数问题
正弦函数
解直角三角形与正弦函数密切相关。在直角三角形中，对 边长度与正弦函数值成正比，可以用于计算对边的长度。
余弦函数
余弦函数在解直角三角形中也有应用。例如，在计算角度 时，可以利用余弦函数来求解。
正切函数
正切函数在解直角三角形中也有应用。例如，在计算斜边 长度时，可以利用正切函数来求解。同时，正切函数还可 以用于计算角度，如锐角或钝角。
04
解直角三角形的注意事项
单位统一
总结词
在进行解直角三角形时，必须确保所有的单 位都是统一的，否则会导致计算错误。
详细描述
在解直角三角形时，常常涉及到长度和角度 两个量。这两个量必须使用相同的单位，如 米、厘米、毫米等。如果单位不统一，计算 结果将失去实际意义。例如，如果一边长度 是10米，而对应的锐角是60度，如果单位 不统一，计算出的另一边长度可能是10米 或10厘米，这将导致问题无法解决。因此 ，在解题前，需要先统一单位。
置。
几何问题
01
角度计算
解直角三角形可用于计算角度，如直角三角形中的锐角或钝角。通过已
知的边长和角度，可以计算出其他角度的大小。
02
面积计算
直角三角形的面积可以通过已知的边长来计算。例如，直角三角形的面
解直角三角形(共30张)PPT课件
比例性质应用
利用相似三角形中对应边 之间的比例关系进行计算。
实际应用举例
测量问题
利用相似三角形原理解决 测量中的实际问题，如测 量建筑物高度、河宽等。
航海问题
在航海中，利用相似三角 形原理解决船只定位、航 向确定等问题。
物理问题
在物理实验中，利用相似 三角形原理解决光学、力 学等问题，如光的折射、 力的合成与分解等。
利用相似三角形求边长
通过已知边长和相似比，可以求出未知边长。
利用相似三角形求角度
通过已知角度和相似关系，可以求出未知角度。
利用相似三角形求面积
通过已知面积和相似比，可以求出未知面积。
相似比计算方法和技巧
01
02
03
直接计算法
根据已知条件直接计算相 似比。
间接计算法
通过引入辅助线或构造特 殊图形来计算相似比。
解直角三角形(共30张)PPT课 件
目录
• 直角三角形基本概念与性质 • 解直角三角形方法论述 • 三角函数在解直角三角形中应用 • 相似三角形在解直角三角形中作用
目录
• 复杂图形中解直角三角形策略探讨 • 拓展延伸：非直角三角形解法探讨
01
直角三角形基本概念与性 质
直角三角形定义及特点
有一个角为90度的三角形称为直角三角形。
案例三
在三角形中解直角三角形问题。 通过作高线构造直角三角形，并
结合相似性质进行求解。
总结归纳与提高建议
总结归纳
在复杂图形中解直角三角形的关键在于构造直角三角形并利用 已知条件进行推理和计算。通过添加辅助线、利用相似性质和 三角函数关系等方法，可以有效地解决这类问题。
提高建议
为了更好地掌握解直角三角形的技巧和方法，建议多做相关练 习题并总结归纳经验。同时，也可以学习一些高级的数学知识 和技巧，如三角函数恒等式、极坐标等，以便更好地应对复杂 的数学问题。
浙教版九年级下册 1.3 解直角三角形 课件(共42张PPT)
3.5 5
＝0.7,
∴α≈350.
答:斜面钢条a的长度约为6.1米,坡角约为350.
特别强调：
在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计
算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数 字，角度精确到1′.
解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角 （必须有一个条件是边）
钢条的长度a和倾角a 吗？
L
变化：已知平顶屋面的宽度
L和坡顶的设计倾角α（如
述例题中，我们都是利用直角三角 形中的已知边、角来求出另外一些的边角. 像这样，
******************************** 在直角三角形中，由已知的一些
因此 AB＝AE＋EF＋BF
≈6.72＋12.51＋7.90 ≈27.13（米）．
图 19.4.6
答：路基下底的宽约为27.13米．
如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两 米,坡度由原来的1:2改成1:2.5,已知原背水坡 长BD=13.4米,
求: (1)原背水坡的坡角 和加宽后的背水
坡的坡角
（1）c=10，∠A=30°
B
（2）b=4，∠B=72°
（3）a=5， c=7
C
A
（4）a=20，sinＡ= 1
2
应用练习
如图东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌 舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B 测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.
（精确到1米）
本题是已知
面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝ h = tan a. l
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
试一试
1、如图
1）若h=2cm， l=5cm，则i= 2 ； 5
第23章解直角三角形期末复习PPT课件(沪科版)
(2)过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F， C
求sin∠BCF的值.
E A
B F
D
解：(1)在Rt△CDE中，
∵
cos∠D
=
DE CD
DE=30，
cos∠D
=
3 5
∴
30 CD
=
3 5
C
∴CD=50
E A
∵B点是CD的中点，
B F
∴BE=
1 2
CD
=25
D
∴AB=BE－AE=25－8.3 =18.7 (海里) ．
例4 如图，已知斜坡 AB长为80米，坡角为30°，
现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)，修
建一个平行于水平线 CA的平台 DE 和一条新的斜坡
BE.若修建的斜坡 BE的坡角为45°，求平台 DE 的长.
解： ∵修建的斜坡 BE的坡角为45°，
∴ ∠BEF=45°.
∵ ∠DAC=∠BDF=30°， AD=BD=40米，
A
D 54°
30
EC B
解：过D点作DF⊥AB，交AB于点F． A 在Rt△ECD中，CD=6，∠ECD=30°，
∴DE=3=FB， EC= 3 3
∴DF=CB＋EC =8＋3 3 ．
D 54°
在Rt△ADF中，tan∠ADF=
AF DF
，3E0°
C
F B
∴AF=DF×tan54°．
∴AF= (8＋3 3 )×1.38 ≈18.20．
∠ACD=23.5°，则山峰AD的高度为 480 米.
(参考数据:sin23.5°≈0.40,cos23.5°=0.92,tan23.5°=0.43)
A B
沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形复习课件
B
FE
A
FE
B
DC
B
FE
近几年安徽中考真题
202X年15题： 202X年15题： 2013年15题：
2013年第19题：如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中 AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背 水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．( 结果保留根号)
独立完成作业的良好习惯，是成长过程中的良师益友。
边角之间的关系：
B
c
a
┏ bC
sin A a ,cos A b ,tan A a ；
c
c
b
正切值随着锐角的度数的增大而_增__大__； 正弦值随着锐角的度数的增大而_增__大__； 余弦值随着锐角的度数的增大而_减__小__.
特殊角的三角函数值表
三角函 数
正弦
锐角α sinα
30°
1 2
45°
∵DF⊥AF，
∴∠DFB=90°，
∴AC∥DF，
由已知l1∥l2，
∴CD∥AF， ∴四边形ACDF为矩形， CD=AF=AE+EF=30， 答：C、D两点间的距离为30m．
∵四边形BCEF是矩形， ∴EF=BC=156， ∴DE=DF+EF=423+156=579m． 答：DE的长为579m．
方法小结：
2 2
60°
3
2
余弦 cosα
3 2 2 2 1 2
正切 tanα
3 3 1
3
几个常见的应用
1.仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
解直角三角形的复习课件
邻边
与直角相邻的两条边，其中 一条是直角三角形的底边。
对边
与直角相对的边，位于直角 的旁边。
直角三角形的角
1 直角
一个90度的角，位于直 角三角形的顶点。
2 锐角
小于90度的角，位于直 角的左侧。
3 钝角
大于90度但小于180度 的角，位于直角的右侧。
相关定理
1
勾股定理
直角三角形的斜边的平方等于两条邻
解直角三角形的复习ppt 课件
本课件将帮助您复习解直角三角形的基础知识，了解相关定理和解题方法， 并应用于常见场景和问题。
定义直角三角形
直角三角形的定义
一种具有一个直角（90度）的三角形。
直角三角形的特点
拥有一个90度角和两个其它角的和为90度的 特点。
直角三角形的边
斜边
直角三角形的最长边，位于 直角的对面。
了解直角三角形的定义、边和 角的特点，以及相关的定理。
解题方法和常见应用
学会根据已知条件确定解题方 式，并应用知识解决测量和斜 面问题。
注意事项和练习建议
强调注意事项，如单位转换和 精确度，并提供练习建议来加 深理解和提高技巧。
利用直角三角形的性质和定 理进行测量，如测算山的高 度、大楼的高度以及两个物 体间的距离。
斜面问题
应用直角三角形的知识解决 斜面问题，如评估滑雪道斜 度、计算坡道的高度等。
三角函数应用
利用正弦、余弦和正切等三 角函数关系进行问题求解， 例如求解航空、航海以及工 程测量等。
总结
直角三角形的概念和性质
余弦定理
2
边的平方和。
用于求解直角三角形中的边长和角度
的关系定理。
3
正弦定理
解直角三角形(复习课)课件
分析多个直角三角形之间的关系，解 决较为复杂的几何问题。
结合勾股定理和三角函数计算直角三 角形中的未知量。
利用给定的条件，设计合理的方案解 决实际问题，如设计桥梁、建筑等结 构的支撑体系。
06
复习与总结
重点回顾
直角三角形的定义与性质
回顾直角三角形的定义、性质和判定条件，理解其在几何图形中 的重要地位。
求解角度。
常见错误分析
混淆边和角
在解题过程中，有时会混淆边和角，导致计算错误。
忽视勾股定理的条件
在使用勾股定理时，需要确保三角形是直角三角形，否则会导致错 误。
角度范围错误
在计算角度时，需要注意角度的范围，避免出现负角度或超过180 度的角度。
解题方法总结
勾股定理法
适用于已知两边长度， 求第三边长度的情况。
船只安全航行。
物理实验
测量角度
在物理实验中，经常需要测量各 种角度。解直角三角形的方法可 以用来计算这些角度，确保实验
结果的准确性。
计算力的大小
在物理实验中，经常需要计算力的 大小。通过解直角三角形，可以精 确地计算出力的大小，确保实验结 果的可靠性。
确定物体的位置
在物理实验中，物体的位置是非常 重要的。通过解直角三角形，可以 计算出物体的位置，确保实验的准 确性和可靠性。
04
解题技巧与策略
解题思路
01
02
03
04
明确问题要求
首先需要理解题目的要求，确 定需要求解的是什么。
选择合适的三角形
根据问题描述，选择一个合适 的直角三角形来解决问题。
利用勾股定理
在直角三角形中，勾股定理是 一个重要的工具，可以帮助我
们求解边长。
结合勾股定理和三角函数计算直角三 角形中的未知量。
利用给定的条件，设计合理的方案解 决实际问题，如设计桥梁、建筑等结 构的支撑体系。
06
复习与总结
重点回顾
直角三角形的定义与性质
回顾直角三角形的定义、性质和判定条件，理解其在几何图形中 的重要地位。
求解角度。
常见错误分析
混淆边和角
在解题过程中，有时会混淆边和角，导致计算错误。
忽视勾股定理的条件
在使用勾股定理时，需要确保三角形是直角三角形，否则会导致错 误。
角度范围错误
在计算角度时，需要注意角度的范围，避免出现负角度或超过180 度的角度。
解题方法总结
勾股定理法
适用于已知两边长度， 求第三边长度的情况。
船只安全航行。
物理实验
测量角度
在物理实验中，经常需要测量各 种角度。解直角三角形的方法可 以用来计算这些角度，确保实验
结果的准确性。
计算力的大小
在物理实验中，经常需要计算力的 大小。通过解直角三角形，可以精 确地计算出力的大小，确保实验结 果的可靠性。
确定物体的位置
在物理实验中，物体的位置是非常 重要的。通过解直角三角形，可以 计算出物体的位置，确保实验的准 确性和可靠性。
04
解题技巧与策略
解题思路
01
02
03
04
明确问题要求
首先需要理解题目的要求，确 定需要求解的是什么。
选择合适的三角形
根据问题描述，选择一个合适 的直角三角形来解决问题。
利用勾股定理
在直角三角形中，勾股定理是 一个重要的工具，可以帮助我
们求解边长。
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斜三角形，要化成直角三角形
概念反馈
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念 （1）仰角和俯角 （2）坡度
i＝
视线 铅 垂 线
仰角 水平线 俯角
北 A
h l
=tan
α
α为坡角
视线
h α
（3）方位角
西
30°
l
B
O 45° 南
东
例1：山坡上种树，要求株距（相临两树间的水平
距离）是5.5米，测的斜坡倾斜角是30º ，求斜坡上相 邻两树间的坡面距离是多少米（精确到0.1米）
复习课
三角函数定义
定义 函数值 互余关系 函数关系
解 直 角 三 角 形
锐角三 角函数
特殊角的三角函数值 互余两角三角函数关系 同角三角函数关系
两锐角之间的关系
解直角 三角形
三边之间的关系 边角之间的关系
定 义
斜边
注意：三角函数的定义，必须在直角三角形中. B
∠A的对边 斜边
sinA
∠A的对边
cosA tanA
例：如图,某货船以20海里/时的速度将一批重要物资 由A处运往正西方向的B处,经16小时的航行到达,到达 后必须立即卸货.此时,接到气象部门通知,一台风正以 40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动.距台风中 心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.
(1)问:B处是否受到台风的 影响?请说明理由.
BD=160海里＜200海里
北
(2)为避免受到台风的影响, 该船应在多少小时内卸完货物? AC= 160 3 120
160
D
120 200
C
60°
160 3 120 4 3 3 3.8小时 40
B
320
A
课堂小结
1 、理解锐角三角形函数的概念及特殊角的 三角函数的值； 2 、会由已知锐角求它的三角函数，由已知 三角函数值求它对应的锐角 ； 3 ．会运用三角函数解决与直角三角形有关 的简单实际问题。
图7-3-3
450 300
D
例3. 如图所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡 13 度i=1∶1.5，且AB= m.
C
图7-3-4
例4、一艘船由A港沿北偏东600方向航行10km至B 港，然后再沿北偏西300方向10km方向至C港，求
(1)A,C两港之间的距离(结果精确到0.1km); (2)确定C港在A港什么方向. M N Ｃ 答（1） 14.1km 10 (2) 北偏东１５° Ｂ
b
1.两锐角之间的关系:
∠A+∠B=900
解 直 角 三 角 形
2.三边之间的关系:
Ｂ
c a
Ａ
a +b =c
2 2
2
b
Ｃ
sinA＝
cosA＝ 3.边角之间 的关系 tanA＝
a c b c
a b
解直角三角形类型
1、已知一直角边、一锐角
一、已知一边一角
2、已知斜边、一锐角
1、已知两直角边 二、已知两边 2、已知一直角边、一斜边
10
A
例 5.如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由 东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行24海里到C，见 岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？ 解：过点A作AD⊥BC于D,设AD=x
∵ ∠NBA= 60˚， ∠N1BA= 30˚， ∴ ∠ABC=30˚， ∠ACD= 60˚， N1 N
∠A的邻边 斜边
A ∠A的邻边
C
∠A的对边 ∠A的邻边
1.锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的三角函数
2.∠A的取值范围是什么?sinA ，cosA与tanA的取值范围又 如何？
à sina cosa tana
300
1 2
3 2
3 3
450
2 2
2 2
600
3 2
1 2
1
3
1.互余两角三角函数关系:
C
山坡
45°P 60°
O A E B 水平地面
请观察：小山的高为h，为了测的小山顶上铁塔AB 的高x，在平地上选择一点P, 在P点处测得B点的 仰角为a, A点的仰角为B.(见表中测量目标图）
题目 测 量 目 标 a B 已 知 数 据 P 山高BC 仰角a 仰角B C h=150米 a=45º B=30º 测量山顶铁塔的高 A X
B
h
知识象一艘船 让它载着我们 驶向理想的……
敬 请 指 导
3 x 在Rt△ADC中， CD=AD•tan30= 3 在Rt△ADB中， BD=AD•tan60˚= 3x
A
∵ BD-CD=BC,BC=24 ∴
∴ X=12 3 ≈12×1.732 =20.784 > 20
3 3x x 24 3
D
C
B
答：货轮无触礁危险。
1、本节例题学习以后，我们可以得到解直角三角 形的两种基本图形：
1.SinA=cos（900-A）
0 2.cosA=sin（90 -A） 2.同角三角函数关系:
2 2 sin A+cos A=1
什么是解直角三角形？
由直角三角形中除直角外的已知 元素，求未知元素的过程，叫做解 直角三角形.
B
a
C
c
如图：Rt ABC中， C=90 ，则其余的5个元 素之间关系？
A
A A
B
D
C
B
C
D
2.(1) 把实际问题转化成数学问题，这个转化为两 个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形， 画出正确的平面或截面示意图，二是将已知条件 转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.
(2)把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是 直角三角形，可添加适当的辅助线，画出直角三角形.
思考：如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰 角为60° ，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为 45° ，已知OA=100米，山坡坡 度为
1 2
1 ，（即tan∠PAB= ）且O、A、B在同一 2
条直线上。求电视塔OC的高度以及所在位置点P的铅直 高度.（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）
B
30º
解： 在Rt△ABC中 C 5.5米
A
∴
cosA=AC/AB AB=AC/cosA
≈6.4（米） 答：斜坡上相邻两树间的坡面距离是6.4米。
例2 ： (北京市)如图所示，B、C是河对岸的两点， A是对岸岸边一点，测量∠ABC=45°，∠ACB=30°， BC=60米，则点A到BC的距离是 21.96 米。（精确到0.01 米）