《博弈论》课程课件

结论：地球是圆的。
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图1 地球是圆的？还是平的？。
做出上面这个思维实验的人就是大名鼎 鼎的希腊智者——亚里斯多德。
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会（ 现二 象） 用 囚 徒 困 境 解 释 各 种 社


（ 一 ） 标 准 的 囚 徒 困 境
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（一）囚徒困境 囚徒困境的策略式 1）参与者集合：囚徒1定义为1，囚徒2定 义为2，N = {1 , 2}。 （2）策略空间：囚徒1的策略空间S1 = {沉 默，招供}，囚徒2的策略空间S2 = {沉默， 招供}。策略s11 = s21 = 沉默，s12 = s22 = 招 供。 （3）偏好和收益函数：囚徒1的偏好，从好 到差排序为（招供，沉默）……（沉默，招 供）。囚徒2与此类似。
姚国庆 yaogqing@





（ 五 ） 博 弈 模 型 的 分 类
（ 四 ） 博 弈 论 的 两 个 前 提 假 设
（ 三 ） 纳 什 均 衡
（ 二 ） 博 弈 表 达 的 科 学 式
（ 一 、剪刀、布
猪八戒
（2）博弈的扩展式 博弈的扩展式就是非常详细地描绘出一个博弈的参 与者、策略、行动顺序以及行动时拥有的信息、可 能结果和收益等细节就称为博弈的扩展式。
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1、博弈策略式的定义 在具体情况中，不同博弈的故事千差万别， 但其中总有一些本质的东西是不变的。通常 描述一个博弈必不可少的要素包含三个： （1）参加博弈有哪些“人”； （2）每个参与者都有些什么样的“策略”， 由于策略的定义比较复杂，这里我们先将策 略理解为“行动”； （3）偏好和效用函数（收益函数）。
石头 石头 孙悟空 剪刀 布 未定，未定 找水，休息 休息，找水 剪刀 休息，找水 未定，未定 找水，休息 布 找水，休息 休息，找水 未定，未定
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例2 诺曼底登陆
德军
加来设防 加来登陆 盟军
诺曼底登陆 成功，失败
诺曼底设防 成功，失败
失败，成功
失败，成功
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例3 鸽派和鹰派
美 国 鸽派政策 苏联 鹰派政策
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囚徒困境的博弈矩阵
囚徒2
沉默 沉默 招供 –9，0
囚徒1
– 1 ，– 1
招供
0 ，– 9
–6，–6
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（二）用囚徒困境解释各种社会经济现象
a. 全球气候变暖与碳减排 b. 北京交通的拥堵 c. 人民公社为什么垮掉 d. 三个和尚没水喝 e. 为什么社会缺乏信用
f. 合同法能解决囚徒困境吗？
g. 道德的价值
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表 1 博弈的分类和均衡概念
完全信息 静态 非完全信息
完全信息静态博弈 非完全信息静态博弈 （纳什均衡） （贝叶斯均衡）
完全信息动态博弈 非完全信息动态博弈 动态 （子博弈精炼均衡） （序列均衡）
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非完全信息动态博弈
非完 全信 息静 态博 弈
完全 信息 动态 博弈
完全信息静态博弈
一般均衡
图1-2 四个博弈模型关系图
鸽派政策
鹰派政策
0，0
+1，–1
–1，+1
– ∞，– ∞
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从上面的三个例子中，我们可以概括出一个博弈 所具有的共同特征：利益相冲突的参与者、参与 者总是根据对手可能采取的策略来采取相应的行 动----相互依存的策略和行动、参与者总是追求自 身利益最大化。根据这些共同特征我们就能给出 一个博弈的定义，只要符合这个定义，就可以将 其纳入到博弈论的研究范畴之中。
从博弈论的角度来看，父母的关爱越深切反而 会进一步削弱父母的威慑力，有趣的是，如果 女儿怀疑父母不爱她，反而有可能把对手的威 胁当真，这就是中国古语所说“异子而教”。
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2、破釜沉舟
破釜沉舟这个成语故事对中国人来说妇孺皆知， 他之所以2千年了仍被人传唱，根本的原因就 是项羽成功的解决了不可置信的难题，并将其 变成了一种激励，鞭笞士兵拼命。
参与者1
参与者2
正面 反面
参与者1
正面
反面
+1， -1
-1， +1
-1， +1
+1， -1
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二是，所谓混合策略是指参与者按照概率 来选择行动，这个概率分布就是所谓的混 合策略。
定义5 如果一个策略组合s* = (s1* , …, sn*) 是博弈G = {N, S, u}的一个纳什均衡，那么 对任一参与者i = 1, 2, …, n，对其任一个策 略 si，不等式 ui(s*i, s*– i) ≥ ui(si, s*– i) (1) 成立。
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例5 取消管制 扩展式的一个等价形式就是所谓的博弈树。
政府 维持 进 2 取消 1
退 退
进
退
进
图2 取消管制
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取消管制的扩展式为 Γ =(N, H, P, u)，其中 （1）参与者集合：政府1，企业2和企业3， N={1, 2, 3}。 （2）全历史集合：维持为C，取消为D，进 入为E，退出为Q，那么全历史集合H ={(C), (D, [E, E]), (D, [E, Q]), (D, [Q, E]), (D, [Q, Q])。 （3）参与者函数：P(Ø ) = 1，P(D) = {2, 3}。 （4）偏好：对于政府而言，根据五个历史 对应的社会福利进行排序，对于企业1和企 业2而言，则为五个历史对应的利润排序。
正是由于博弈论将博弈如何出现均衡列为核心， 因而博弈论对于各门社会科学而言，就具有了方 法论意义，成为各门学科的有力分析工具。
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（1）博弈的策略式
如何将博弈表示成一种便于研究和分析的形式显然 是很重要的。如果用参与者、策略和收益函数来科 学地描述一个博弈，就称为博弈表达的策略式（或 基本式、标准式）。
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博弈论在研究的过程中有两个基本前提假设 一是，理性人假设。 二是，博弈结构对参与者是公共知识。特别
是，参与者满足完美回忆。
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例6 旅行者困境 两个旅行者在旅游圣地买了两个花瓶，但在 回程途中被航空公司打碎。航空公司知道花 瓶大约值100元，但并不清楚花瓶的确切价 格。于是，航空公司要求两位旅客各自写下 花瓶的价格，并按照两个旅客中所写的最低 价格进行赔偿（航空公司认为写最低价格的 旅客讲的是真话），为了鼓励旅客讲真话， 规定对讲真话的旅客奖励2元，对讲假话的旅 客罚款2元。容易证明，在理性人的假设下， 这个游戏唯一的结果是两人都写0。
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这里我们首先考虑一个极端的例子，故事是
这样的，一个穷人威胁，如果富人不给他三 百万，那么穷人就要和富人同归于尽。我们 可以将这个博弈变成一个动态博弈，第一阶 段，富人首先行动已决定给不给钱（给钱或 是不给），第二阶段，穷人根据富人的行动 决定是否拉手榴弹。穷人的威胁是可置信的 吗？
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手榴弹游戏的扩展式
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图1 进攻与防守的基本式 G={N, S, u}，其中N=（1,2)， Si={(0,2),(1,1),(2,0)}，ui (s1, s2) = ri，i = 1, 2。
守方
(0,2) (0,2) 失败，成功 成功，失败 成功，失败 (1,1) 成功，失败 失败，成功 成功，失败 (2,0) 成功，失败 成功，失败 失败，成功
攻方
(1,1) (2,0)
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2、博弈扩展式
扩展式之所以称为“扩展”根本的原因在于 它比基本式“详细”。特别是对博弈中参与 者的行动顺序和信息状态做出了比基本式 “详细”得多地刻画。正因为如此，所以扩 展式通常被用来描述复杂的动态博弈。 通俗地说，我们把博弈中所有从开始到结束 的行动序列称为一个play（全历史或完整路 径），全历史中从开始到某个阶段就叫子历 史或路径。
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纳什均衡是博弈论分析的基础，但纳什均衡
的概念实际上却非常简单。为了更好的理解 我们将从两个层面来加以理解。
一是，纳什均衡是指这样一种策略组合，其
中没有任何一个参与者有动机单方面改变策 略——单边背离。不存在单边背离的策略组 合即为纳什均衡。
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纳什均衡——不存在单边背离
参与者2
左 中 1,2 3,3 0,1 右 0,1 1,1 2,0 上 中 下 1, 0 2,1 0,3
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博弈中最重要的两个因素是信息与顺序。
信息上可以分为完全信息和非完全信息。
在博弈的顺序上则可以分为静态与动态。
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完全信息和非完全信息，完全和非完全判 断的标准就是如果有些信息只有一部分参 与者知道，并不是所有的信息都是公共信 息，那么博弈就是非完全信息博弈。 静态博弈和动态博弈，静态和动态的区别 并不在于时间上是否同时，而是在行动上 是否同时。如果参与者1在行动时，不知道 参与者2的行动，反之也一样，即为同时行 动。
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这个模型是这样的：
第一个模型 假设：地球是圆的 已知：光线是按直线行走的（现实中观 察到的事实） 那么：在港口的人，首先看到远方驶来 船只的船桅，并逐渐看到船的下部（与现实 中观察到的事实相符）
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第二个模型
假设：地球是平的 已知：光线是按直线行走的（现实中观 察到的事实） 那么：在港口的人，首先看到的是整个 船身（与现实中观察到的事实相悖）
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定义3 博弈表达的基本式（或策略式）由博 弈的参与者N，策略空间S和收益函数u三个 要素组成，即G = {N, S, u}。其中N为自然数 集合{1, …, n}，S为n重笛卡尔集，Si为参与 者i的纯策略集合，u为参与者的收益函数集 合。 完全信息静态博弈是最简单的博弈，所以通 常用策略式来描述之，策略式最常见的一种 方式就是所谓的“博弈矩阵”。我们在前面 已经接触到。
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例4 进攻与防守 双方争夺一个据点，有两条进攻路线X和Y， 攻方有两个军，而防守方也有两个军，只有 当守方的兵力不少于攻方时，才能击退进攻， 否则据点将会失守。首先可知守方的防守方 案（即策略）为(0,2)，(1,1)，(2,0)，即在X 线路和Y线路驻扎军队数，同样可以到的攻 方的进攻方案(0,2)，(1,1)和(2,0)。容易看出， 行动并非策略，策略是行动方案。