高考数学平面向量和不等式常用二级结论——帮你节省做题时间(精)

高考数学平面向量和不等式常用二级结论——帮你节省解题时间
● 实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;
(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .
● 向量的数量积的运算律：
(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）;
(3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c.
● 平面向量基本定理
如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．
不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
● 向量平行的坐标表示
设a =11(,
)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. ●
a 与
b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ． ●
a ·
b 的几何意义 数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．
● 平面向量的坐标运算 (1)设a =11(,
)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212
(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121
(,)A B O B O A x x y y =-=-- . (4)设a =(,),xy R
λ∈，则λa=(,)x y λλ. (5)设a =11(,
)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()xx yy +.
● 两向量的夹角公式
c o s θ(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ). ●
平面两点间的距离公式
,A B d =||A B
11(,)x y ，B 22(,)x y ). ● 向量的平行与垂直
设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则
A ||b ⇔b =λa 1221
0x y x y ⇔-=.
a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=
. ● 线段的定比分公式
设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12P
P P P λ=
，则 121
211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121O P O P O P λλ+=+ ⇔12(1)O P t O P t O P =+- （11t λ
=+）. ● 三角形的重心坐标公式
△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33
x x x y y y G ++++. ● 点的平移公式
''''x x h x x h y y k y y k ⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩
''O P O P P P ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'P P 的坐标为.
● “按向量平移”的几个结论
（1）点(,
)P x y 按向量a =平移后得到点'(,)P x hy k ++. (2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =平移后得到图象C ,则C 的函数解析式为()y f x h k
=-+. (3) 图象C 按向量a =平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则C 的函数解析式为
()y f x h k =+-. (4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =平移后得到图象C ,则C 的方程为(,)0
f x h y k --=. (5) 向量m =(,
)x y 按向量a =平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . ● 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则
（1）O 为ABC ∆的外心222O A O B O C ⇔== .
（2）O 为ABC ∆的重心0O A O B O C ⇔++= .
（3）O 为ABC ∆的垂心O A O B O B O C O C O A ⇔⋅=⋅=⋅ .
（4）O 为ABC ∆的内心0a O A b O B c O C ⇔++= .
（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心a O A b O B c O C ⇔=+ .
不等式
● 常用不等式：
（1）,a b R
∈⇒222a b a b +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
（2）,a b R +∈⇒2
a b +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）333
3(0,0,0).
a b c a b c abc ++≥>>> （4）柯西不等式
22222()()(),,,,.a b c d a c b d a b c d R ++≥+∈ （5）
b a b a b a +≤+≤-. ● 极值定理
已知y x ,都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；
（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值
241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(
22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；
当||y x -最小时,||y x +最小.
（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||
xy 最小； 当||y x -最小时, ||
xy 最大. ● 一元二次不等式20(0)a x b xc ++><或2(0,40)
a b a c ≠∆=->，如果a 与2a x b x c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2a x b x c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
121212
()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212
,()()0()x x x xx x x x x x <>⇔--><或. ● 含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
2
2x a x a ax a <⇔<⇔-<<. 22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.
75.无理不等式
（1
()0()0()()f x g x f x g
x ≥⎧⎪⇔≥⎨⎪>⎩ . （2
2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩
或. （3
2()0()()0()[()]f x gx gx f x gx ≥⎧⎪<⇔>⎨
⎪<
⎩.
指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,
()()()()
fx g x a a fx g x >⇔>; ()0l o g ()l o g ()()0()()a a f x f x gx
gx f x
gx >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩. (2)当01a <<时,
()()()()
fx g x a a fx g x >⇔<; ()0l o g ()l o g ()()0()()a a f x f x gx
gx f x
gx >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩。