感生电动势与涡旋电场

例：正弦交流电

B

求：任意时刻的电动势

解：t ωθ

=

⎰⋅⨯=L l d B V

)(ε θcos BS S B m =⋅=Φ =t BS ωcos

t NBS dt

d N m m

i ωωεsin ==Φ-=ωεNBS m =，转速n ：转/分(r/min)，)/(60

2s rad n

πω= 例：磁通计的原理 B

dt

d m i Φ-=ε

感应电流 i εdt d R R i m i Φ-==1ε t →0

感生电量m t m m t t R

d R dt dt d R idt q m m ∆Φ-=Φ-=Φ-

==⎰⎰⎰ΦΦ1

11)()0(00 m q ∆Φ∝，Rq m =∆Φ

if ，0)0(=Φm ，Rq t m =Φ)(：磁通计原理

测量磁场，若线圈面积较小，且线圈平面B

⊥，S t B m /)(Φ=

可测：时变磁场、恒定磁场 对于恒定磁场

B

例：洛仑兹力是否作功？

洛仑兹力对电荷永远不作功

洛仑兹力是产生动生电动势的非静电力 B v q F

⨯=：产生动生电动势

B u q f

⨯=：对动生电动势无贡献 B u q B v q f F F m ⨯+⨯=+=

外 =B u v q

⨯+)(=B V q ⨯

u v V

+=

V F m ⊥，0=⋅V F m

F

、f 分别对电荷作功

洛仑兹力不提供能量，它只是转化和传递能量

第3节感生电动势与涡旋电场一、涡旋电场假说

例：求矩形回路中的感生电动势

解：⎰

⎰=

⋅

=

Φ

S

S

m

dS

B

S d

B

tθ

cos

)(

=dx

l

x

t I

l

r

r1

2

2

)(

⎰+πμ，

I

t I

ω

s i n

)(

=

=

r

l

r

t

l I

2

1

0ln

sin

2

+

ω

π

μ

，

r

l

r

t

l I

dt

d

m

i

2

1

0ln

cos

2

+

-

=

Φ

-

=ω

ω

π

μ

ε

产生电动势的非静电力是什么力？从哪里来的？

涡旋电场假说：变化的磁场⇒具有闭合力线的电场：

涡旋电场（感应电场），场强

V

E

，非静电场

一段导线：⎰⋅

=

L V

i

l d

E

ε，闭合回路：⎰Φ

-

=

⋅

=

L

m

V

i dt

d

l d

E

ε

静电场涡旋电场

产生原因静电荷变化的磁场

电力线不闭合闭合

环路定理0

=

⋅

⎰L l d

E

⎰Φ

-

=

⋅

=

L

m

V

i dt

d

l d

E

ε

保守场、电势非保守场，电势高斯定理∑

⎰=

⋅

内

i

S

q

S d

E

1

ε

=

⋅

⎰S V S d

E

对q的作用力E

q

F

=

V

E

q

F

=

⎰Φ

-

=

⋅

L

m

V dt

d

l d

E

=0

<

⋅

∂

∂

-

⋅

-⎰

⎰S d

t

B

S d

B

dt

d

S

S

固定回路，L

V

E

V

E

t

B

∂

∂

二、 涡旋电场的计算

⎰Φ-=⋅L m

V dt d l d E =⋅⎰L l d H ∑内

传I

例：半径为R 的无限长 直螺线管内有均匀

磁场B

设磁场以恒定速率

增加，0>∂∂t B

求：V E

（1）R r <，沿电力线积分，n

向外

2

)(2cos r t

B BS dt d dt d r E dl E l d E L m V L V

V ππθ∂∂=--=Φ-===⋅⎰⎰ r t

B E V ∂∂=21

（2）R r > V E ⎰Φ-==⋅L

m V V dt d r E l d E π2 22)(R t B R B dt d ππ∂∂=--=

r

R t B E V 1212∂∂= R r

例：无限长直螺线管（R 、、0>∂∂t

B

）

求：直导线ab 解：⎰⎰⎰∂∂==⋅=b a L b L a V b L a V ab dl r

h

r t B dl E l d E 21cos )()()(θε =0)2/(212122>-∂∂=∂∂l R l t B

hl t B ，方向b a →，b 端电势高 讨论：（1）对于涡旋电场不能引入电势概念，为什么说b 端 电势高？

答：b 端积累正电荷，a 端积累负电荷

电势概念是针对积累电荷的静电场引入的