拓扑学测试题二

测试题二

一、（15分）

（1）叙述“T是集合X上的拓扑”的定义；

（2）证明：T=是X上的一个拓扑.

二、（15分）

(1)叙述完备格的定义；

（2）设是偏序集，证明：若L的每个子集有下确界，则L是一个完备格.

三、（10分）设，，求分别在数直线T) 及可数补空间T)中的闭包和内部.

四、（15分）（1）叙述空间的定义；（2）证明：若T)是的,则X内每个网至多有一个极限点.

五、（10分）设T ), W) 是两个拓扑空间，,,

(1)叙述是开映射的定义,(2)证明:是T W连续的当且仅当W, T

六、（10分）（1）叙述紧空间的定义；（2）证明：空间的每个紧子集是闭的.

七、（15分）（1）叙述：“是集合X上的一个度量”的定义；

（2）证明：若度量空间是可分的，则它是第二可数的.

答案

一、（15分）（1）T称为集合X上的拓扑，若T满足：

(a)T,T;

(b)T T, T;

(c)A T A T.

（2）证明：因是可数集，故T,T.T，则是可数集，从而

=是可数集,即T; A T,A,是可数集，于是是可数集，从而A=是可数集，即A T.，因此T=是X上的一个拓扑.

（3）可数补拓扑是的不是.

由可数补空间的任意两个非空开集的交不空知它不是空间. 对，则且

，因此它是空间.

二、（15分）

(1)若L的每个子集都有上确界和下确界，则L是完备格.

(2)证明：因空集和整个L有下确界，L有最大元1和0.设B是L的任一子集，若B为空集则,否则令D

表示B的所有上界之集，对每个显然是D的一个下界，于是，即是B的一个上界,这样是B的最小上界，即.即L的每个子集有上确界，故L是完备格.

三、（10分）

解：在数直线T)中，;可数补空间中，

.

四、（15分）

（1）设(X,T)是拓扑空间，，若使得,则称X是分的。（2）证明：设T)是的，是内任一网且，但，显然不能同时终在内，矛盾.故.

五、（10分）

（1）,则称在点T W连续的.

（2）证明（必要性） W,设. 则，由条件，存在

.于是T.

（充分性）,则T,从而，且,故是T W 连续的.

六、（10分）

(1)若X的每个开覆盖有有限子覆盖，则称拓扑空间X是紧的.

(2)证明设(X,T)是的，F是X的紧子集，任取，由性，存在

，则是X中开集组成的F的

开覆盖，由F是紧的知，它有有限子覆盖，结果且.

由的任意性知F是闭集.

七、（15分）

（1）称是集合X上的一个度量，若满足下面的度量公理：

（a）

（b）；（c）三角不等式：.（2）证明：设度量空间是可分的，是X的可数稠子集.对每个，令B=则 B B是X的可数开集族.下面说明B是X的基.对每个，存在，.因A是X的稠子集，有

，这样 ,B是X的可数基.

八、（10分）

证明：设，，则

同理设则＝

＝.

测试题三

一、（每题3分，共24分）

1.任意多个连通空间的积空间一定是连通的.

2.紧度量空间的每一个开覆盖都有Lebesgue数.

3.局部连通空间的闭子集也是局部连通的.

4.任意个道路连通空间的积空间一定是道路连通空间.

5.任意个紧致空间的积空间一定是紧致空间.

6.度量空间紧致的充要条件是上的任意一个连续函数都是有界的.

7.若A在X中稠密，B在A中稠密，则B一定在X中稠密.

8.可分空间一定满足公理

二、（20分）设是一个度量空间。证明下述两个结论等价：

1）是可分得。2）的拓扑有一个可数拓扑基。

三、（20分）证明：任一紧度量空间是可分的。

四、（每题18分，共计36分）

a)如果和都是的开集，，并且与都道路

连通，则与也都是道路连通的.

b)若的每个紧致子集都是闭集，则中的序列的极限是惟一的.

答案

一、是非1、√ 2、√ 3、ⅹ4、√5、√ 6、√ 7、√ 8、ⅹ

二、证明：1）2). 由于是可分的，故有一个可数的稠密集合。证明

是的一个可数拓扑基。

事实上，由于是可数集，映射显然是单全射。故是可数集。现设是任一开集。

于是使得。现在设使得。由于在中稠密，故存在使得

。从而

设。那么

此即表明，从而，并且。于是是的元素的并。故是的一个可数的拓扑基。

2）1）设是的一个可数拓扑基。，任取。那么是可数基。为了证明此可数集在中稠密，只需证明对的任一开集，。

这是显然的。因为是拓扑基，故至少存在使得。于是。因此是的一个可数稠密集，即是可分的。

三、证明：，故。的紧性表明存在有限个使得

。

令，。则是的一可数集。

下面证明在中稠密，也即。为此设。于是存在使得。从而存在使得

。于是。此即表明，因此。

四.

a) 如果，和都是的开集，，并且与都道路连通，则与也都道路连通.

证明下证是道路连通的.

，因道路连通，故有中的道路使，易见

设数集的下确界为，则，

因为是的开集，所以有使，由的定义知，存在使

，作道路

因道路连通，故存在道路

使

因此

是

中的从

到

道路. 这表明中的点

在

中的连通分 支

，因道路连通, 故

，从而

, 于是

, 即

是道路连通的. 同理可证

是道路连通的.

b) 若X 的每个紧致子集都是闭集，则X 中的序列的极限是惟一的 证明 首先，单点集总是紧致的，从而

满足公理，假如的一个序列有两个不同的极限, 则

是包含的开集，它必定包含了

的几乎所有项，也就是说

只有有限项为，作子集

，则

紧致，从而是闭集，是的开邻域，它最多只能含

的有限多项，从而

.

测试题四

一、（20分）证明：T=

{}{}:U X X U ⊆-∅是可数集构成

X 上的拓扑；并说明该拓扑是 1T 的还是 2T 的.

二、（20分）设 X ， Y 是两个拓扑空间， :f X Y →.证明以下两个条件等价： 1） f 连续； 2）对于 Y 的任何一个子集 B ， B 的内部的原象包含于 B 的原象的内部，即

()()()

101f B f B --⊂.

三、（20分） 1、叙述完全正则空间的定义； 2、证明：每一个完全正则空间都是正则空间。

四、（20分） 1） X 中任一既开又闭的连通子集都是 X 的连通分支. 2）如果 X 只有有限个连通分支，那么 X 的每个连通分支都是既开又闭的.举例说明如果 X 有无限个连通分支，结论未必成立.

五、（20分） 1、叙述紧致空间的定义； 2、证明：紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集.

答案

一、证明：因 X

X -=∅是可数集，故 X ∈T, ∅∈T. ∀,U V ∈T ，则 ,X U X V --是可数集，从而 X U V -=

()()X U X V --是可数集,即 U V ∈T; ∀A ⊆T, A ∀∈A, X A -是可数集，于是 ()X A -是可数集，从而

X -A= ()X A -是可数集，即 A ⊆T.，因此T= {}

{}:U X X U ⊆-∅是可数集是X 上的一个拓扑.

可数补拓扑是

1T 的不是

2T .

由可数补空间的任意两个非空开集的交不空知它不是

2T 空间. 对 ,,x y R x y ∈≠，则 {}()y R y N x ∉-∈且

{}()x R x N y ∉-∈，因此它是

1T 空间.

二、 证明： 1） ⇒2） ()

10f B -开，又

()()

101f B f B --⊂。所以

()()()

101f B f B --⊂

2） ⇒1） U 开，

()()()()

1101f U f U f U ---==，所以

()()()

11f U f U --=。

三、证明：设 C 为 X 的既开又闭的连通子集， A 为 X 的连通分支且 C A ⊂，则 C 在子空间 A 中也是既开又闭的。因

为 A 连通且 C ≠∅，故必有 C A =

，即 C 是 X 的连通分支。