无穷大量和无穷小量
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§2.5 无穷小量与无穷大量
研究函数极限时,有两种变量非常重要. 一种 是在极限过程中变量可以无限变小, 而且要多么小
就有多小; 一种是在极限过程中, 变量可以无限变
大, 而且要多么大就有多大.我们分别将它们称为无
穷小量和无穷大量.
一. 无穷小量
定义 以零为极限的变量称为无穷小量. 例
注1 很小很小的非零常量不是无穷小量,但数“0”
小量, 记为 α(x) = O(β (x)).
故当 x→0时, x与2 x 是同阶的无穷小量.
故当 x→０时, x2是比 x 更高阶的无穷小量.
故当 x→∞时, 1/x 是比 1/x 更高阶的无穷小量.
故当 x→0时,sin x与x是等价的无穷小量.
四. 无穷小量代换原理
定理10. α与β是等价的无穷小量的充要条件 是 α = β + o(β).
证明 设limƒ(x) =A,则 则ƒ(x)=A+α 设ƒ(x) = A +α,且α为无穷小量,则 总存在 总存在一个时刻,在此时刻以后,
就恒有|ƒ(x)–A|<ε, 从而ƒ (x )−A为无穷小量, 记为α,
一个时刻, 在此时刻以后,就恒有|α |= |ƒ (x)–A|< ε, 故lim ƒ(x) =A.
是无穷小量; 而无穷小量却不一定是数“0”,
仅极限值为0.
注2 无穷小量与自变量的变化过程有关.
无穷小量的性质 性质1
性质2 有界变量ƒ(x)与无穷小量α(x)之积仍为无穷 小量. 证
例
定理8 (函数与其极限间的关系)函数ƒ(x)的极限为A
的充要条件是函数ƒ(x )等于A与无穷小量α的
和, 即 ƒ(x) = A + α.
定理11. 若在同一极限过程中,wenku.baidu.com, β, γ均为无穷
小量,则
(1) α ~α; (反身性) (2)若α ~ β; 则 β ~ α; (对称性) (3)若α ~ β, β ~ γ; 则 α ~ γ; (传递性) (4)若α ~ β; 则 αγ ~ βγ.
定理12. (等价代换原理)设α，α１, β，β１为 同一极限过程中无穷小量,且 α～α１,β～β１, 若 存在, 则
4.arcsin x ~ x;
例21.求下列函数的极限
注2. 使用无穷小量的等价替换,是求解函数的
极限的常用方法.在求乘除运算的极限时,可以大
胆使用;而在求和差运算的极限时,则须慎用;因
为代换,会使无穷小量之比的“阶数”发生变化.
二. 无穷大量
定义 若对 函数ƒ(x)在其自变量的变化过
程中,总存在一个时刻,在此时刻以后,就恒有
|ƒ(x)|>M, 则称函数ƒ(x)为该变化过程下的无穷大
量. 记为 注1 无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量,
而不是一个很大的常量.当ƒ(x)取正值无限增大
(取负值绝对值无限增大)时,称为正无穷大量(负 无穷大量). 记为
注1 由此定理可知, 求两个无穷小量商的极限时, 如果分子, 分母的等价无穷小量存在, 则就可用它
们各自的等价无穷小量来代换原来的分子, 分母,
使计算简化. 请记住以下几个常用的等价无穷小量:
1.sin x ~ x;
3.ln(1+x) ~ x; 5.arctan x ~ x;
2.tan x ~ x;
注2 通常
是极限不存在的记号; 但它又不同于变量 (无限增大的趋势).
例
无穷小量与无穷大量的关系： 定理9 在自变量的同一变化趋势下,无穷大量的倒 数为无穷小量;非零无穷小量（不为零）的 倒数为无穷大量. 由此定理可知, 要证
只需证
例21 求
即可.
三. 无穷小量阶的比较
无穷小量都是以0为极限,但它们
趋于0的“速度”却不一定相同.例
y=2x y=x
为了描述这种情况,有下述定义: 设α(x), β(x)是同一极限过程中的两个无穷小量
(1)若
,则称α(x)是比β(x)更高阶的无穷
小量,记为
(2).若
α(x) = o(β)
,则称α(x)与β(x)是同阶的无穷
小量.特别地, 当C = 1时, 则称α(x)与β(x)是等 价的无穷小量, 记为 α(x) ~ β(x) (3).若 ,则称α(x)是比β(x)更低阶的无穷
研究函数极限时,有两种变量非常重要. 一种 是在极限过程中变量可以无限变小, 而且要多么小
就有多小; 一种是在极限过程中, 变量可以无限变
大, 而且要多么大就有多大.我们分别将它们称为无
穷小量和无穷大量.
一. 无穷小量
定义 以零为极限的变量称为无穷小量. 例
注1 很小很小的非零常量不是无穷小量,但数“0”
小量, 记为 α(x) = O(β (x)).
故当 x→0时, x与2 x 是同阶的无穷小量.
故当 x→０时, x2是比 x 更高阶的无穷小量.
故当 x→∞时, 1/x 是比 1/x 更高阶的无穷小量.
故当 x→0时,sin x与x是等价的无穷小量.
四. 无穷小量代换原理
定理10. α与β是等价的无穷小量的充要条件 是 α = β + o(β).
证明 设limƒ(x) =A,则 则ƒ(x)=A+α 设ƒ(x) = A +α,且α为无穷小量,则 总存在 总存在一个时刻,在此时刻以后,
就恒有|ƒ(x)–A|<ε, 从而ƒ (x )−A为无穷小量, 记为α,
一个时刻, 在此时刻以后,就恒有|α |= |ƒ (x)–A|< ε, 故lim ƒ(x) =A.
是无穷小量; 而无穷小量却不一定是数“0”,
仅极限值为0.
注2 无穷小量与自变量的变化过程有关.
无穷小量的性质 性质1
性质2 有界变量ƒ(x)与无穷小量α(x)之积仍为无穷 小量. 证
例
定理8 (函数与其极限间的关系)函数ƒ(x)的极限为A
的充要条件是函数ƒ(x )等于A与无穷小量α的
和, 即 ƒ(x) = A + α.
定理11. 若在同一极限过程中,wenku.baidu.com, β, γ均为无穷
小量,则
(1) α ~α; (反身性) (2)若α ~ β; 则 β ~ α; (对称性) (3)若α ~ β, β ~ γ; 则 α ~ γ; (传递性) (4)若α ~ β; 则 αγ ~ βγ.
定理12. (等价代换原理)设α，α１, β，β１为 同一极限过程中无穷小量,且 α～α１,β～β１, 若 存在, 则
4.arcsin x ~ x;
例21.求下列函数的极限
注2. 使用无穷小量的等价替换,是求解函数的
极限的常用方法.在求乘除运算的极限时,可以大
胆使用;而在求和差运算的极限时,则须慎用;因
为代换,会使无穷小量之比的“阶数”发生变化.
二. 无穷大量
定义 若对 函数ƒ(x)在其自变量的变化过
程中,总存在一个时刻,在此时刻以后,就恒有
|ƒ(x)|>M, 则称函数ƒ(x)为该变化过程下的无穷大
量. 记为 注1 无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量,
而不是一个很大的常量.当ƒ(x)取正值无限增大
(取负值绝对值无限增大)时,称为正无穷大量(负 无穷大量). 记为
注1 由此定理可知, 求两个无穷小量商的极限时, 如果分子, 分母的等价无穷小量存在, 则就可用它
们各自的等价无穷小量来代换原来的分子, 分母,
使计算简化. 请记住以下几个常用的等价无穷小量:
1.sin x ~ x;
3.ln(1+x) ~ x; 5.arctan x ~ x;
2.tan x ~ x;
注2 通常
是极限不存在的记号; 但它又不同于变量 (无限增大的趋势).
例
无穷小量与无穷大量的关系： 定理9 在自变量的同一变化趋势下,无穷大量的倒 数为无穷小量;非零无穷小量（不为零）的 倒数为无穷大量. 由此定理可知, 要证
只需证
例21 求
即可.
三. 无穷小量阶的比较
无穷小量都是以0为极限,但它们
趋于0的“速度”却不一定相同.例
y=2x y=x
为了描述这种情况,有下述定义: 设α(x), β(x)是同一极限过程中的两个无穷小量
(1)若
,则称α(x)是比β(x)更高阶的无穷
小量,记为
(2).若
α(x) = o(β)
,则称α(x)与β(x)是同阶的无穷
小量.特别地, 当C = 1时, 则称α(x)与β(x)是等 价的无穷小量, 记为 α(x) ~ β(x) (3).若 ,则称α(x)是比β(x)更低阶的无穷