一种循环修正的组合评价方法

p hi , 模糊频率 W hi 反映了得分的差异.
h
3) 将排序转化为得分
Qh =
1 2
(
n
-
h) ( n - h + 1) 其中: Qh 为地区 i 排在 h 位的得分.
4) 计算模糊 Borda 数得分
∑ Bi =
W Q hi hi 按得分 Bi 大小重新进行排序.
第5 步 若四种组合评价结果有差异, 再对四种组合评价值重新组合, 重复第4 步, 直到
性加权组合, 其差异仅在于权系数的确定方法不同, 于是可得到下面结果.
定理 设 A i, i = 1, …, n 为 n 种相互独立的评价方法, 其评价值分别为 X i, i = 1, …, n,
n
n
∑ ∑ 则存在组合评价法, 其评价值为 X = AiX i , Ai = 1, Ai E 0, 使得方差 D ( X ) F D ( X i) ,
其中: di 为两种排序的等级差
n
∑ 6
d
2 i
r=
1-
i= 1
n( n2 -
1)
由上式可以计算出几种评价方法的等级相关系数矩阵.
给定显著水平 A, 可以查出临界值 cA, 当 rij > cA时, 拒绝 H 0, 即 i , j 两种评价方法具有
正相关. 若这几种评价方法均为正相关, 则称这几种评价方法具有一致性. 若这些方法不具 有一致性, 则重新选择权或评价方法, 回到第 2 步.
四种组合评价的标准差小于给定的某一充分小的正数 E. 由前面定理可知, 每次组合评价后
所得结果都将使标准差变小, 因而评价标准差随着组合次数的增加将趋于零, 该方法在实际
中可实现.
4 应用实例
以辽宁统计年鉴[ 4] ( 2002) 所公布的各主要地区的经济实力的统计资料为例, 选取以下 9
项指标来构建评价体系.
4期
刘艳春: 一种循环修正的组合评价方法
91
3. 3 Copealand 法 为区分“相等”和“劣”, 定义 Copealand 矩阵 C = { cij } n×n, 其中:
1, x iS x j cij = 0, 其它
- 1, x j Sx i
n
∑ 地区 i 的得分为 ci = cij , 按得分 ci 重新排序, 若有 ci = cj , 如方法 1) 中标准差小者为优. j= 1
3. 2 Board 法
Bo ar d 法是一种少数服从多数的方法. 若评价认为地区 i 优于地区 j 的个数大于地区 j
优于地区 i 的个数, 记为 x iSx j . 定义 Board 矩阵 B = { bij } n×n, 其中:
1, x iSx j bij = 0, 其它
n
∑ 地区 i 的得分为 bi = bij , 按得分 bi 重新排序, 若有 bi = bj , 如方法 1) 中标准差小者为优. j= 1
2 3
A
1
+
1 6
A
2
+
1 6
A
3,
于是有 D( X )
=
4 9
×2 +
1 36
×
3
+
1 36
×4=
13 12
<
4 3
.
如果每种评价方法的方差都已知, 那么可以用优化的方法一次求出组合权系数. 事实上
我们并不知道各种评价方法的方差, 只能采取逐步优化的方法以取得合理的评价结果.
当验证所选取的几种评价方法具有一致性后, 分别采用常见的四种组合评价方法进行
组合评价. 由前面定理可知组合后的标准差减小. 若四种评价结果仍有差异, 再对组合评价 结果重复使用上步, 标准差逐渐减小, 直到标准差收敛于0( 在实际中一定能达到) , 即四种评
价结果完全相同. 最后得到的评价结果比用单一评价方法和用一种组合评价方法得到的结
果更贴近现实, 排序结果更具有科学性. 这种循环修正的组合评价方法可以称为组合优化
问题进行综合评价.
第 3 步 检验这几种综合评价方法的一致性. 这几种评价方法是从不同的角度得出的 评价结果, 其结果可能有一定的差异, 但对于同一个样本而言, 这几种评价结果不应该有过
大的差异. 我们采用Spearm an 等级相关系数检验法来检验这几种评价方法的密切程度.
H 0ij : i , j 两种方法不相关 H 1ij : i , j 两种方法正相关 Spearman 等级相关系数公式为:
第 4 步 用平均值法、Boarda 法、Co mpeland 法和模糊 Board 法对上述几种方法的评价
结果进行组合, 得出组合评价值, 按组合评价值的大小得到几种组合评价的排序结果.
3. 1 平均值法 1) 用排序打分法将每种方法排序名次转换成分数
Rij = n - r ij + 1, rij : i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m 为第 i 地区在第 j 种方法下所排的
3. 4 模糊 Borda 法
在组合时既考虑到得分的差异, 又考虑到排序的差异. 具体步骤如下:
1) 计算隶属度
x ij - min{ x ij }
Lij =
i
m ax{ x ij } -
min{ x ij } × 0. 9 +
0. 1, i =
1, 2, …, n, j =
1, 2, …, m
第 37 卷第 4 期
数学的实 践与认识
V ol. 37 N o. 4
2007 年 2 月 M AT HEM A T ICS IN PRACT ICE AND T HEORY F eb. , 2007
一种循环修正的组合评价方法
刘艳春
( 辽宁大学工商管理学院, 辽宁 沈阳 110036)
摘要: 提出了 一种循环修正的 组合评价方法. 首 先, 对所研究的 问题选取几种综 合评价方 法进行综 合评 价. 其次, 用 Sperman 等级相关系数法检验 几种综合评价法的一致性. 进一步重复采用平 均值法、Boarda 法、 Compeland 法和模糊 Boar d 法对上述综合评价结果进行组合 评价, 直到标准差均收敛于 0 为止, 得到最 优的 组合评价结果. 最后以辽宁省 2001 年实际统计资料为例, 对各地区的经济实力进行了综合评价和排序. 关键词: 综合评价; Spearm an 相关系数; 组合优化
i= 1
i= 1
i = 1, …, n.
n
n
∑ ∑ 证明 由于 X i , i = 1, …, n 相互独立, 所以 D ( X ) = D ( AiX i) = A2i D ( X i)
i= 1
i= 1
设 Ri20 =
min{Байду номын сангаасDX i } = i
D X k , R2i1 = m ax{ D X i} F K R2i0 , 取最小值权系数 Ak = i
X 1: 国内生产总值( 万元)
X 2: 固定资产投资总额( 万元)
X 3: 社会商品零售总额( 万元)
X 4: 外贸出口总额( 万美元)
X 5: 货运总量( 铁路 + 公路 + 水路 + 民航) ( 万吨) X 6: 邮电业务总量( 万元)
X 7: 地方预算内财政收入( 万元)
X 8: 每万人医院床位数( 张)
方法都可以减小评价的方差, 所以若采用上述四种组合评价方法对同一问题进行评价, 它们
之间的差异也将减小.
注 上述定理中的权系数选取并不一定是最优的.
例 D X 1 = 2, D X 2 =
3, D X 3 =
4 按定理中选取, 则有 D( X ) =
22 32
×2+
1 32
×
4
=
4 3
< 2, 但我们如果选取 A =
2 优化思想
首先对同一问题在两大类综合评价法中分别选取几种单一的综合评价方法, 对所提出 的问题进行综合评价, 然后用 Sperman 等级相关系数法[ 3] 检验这几种综合评价法是否具有 一致性. 因为对同一问题采用不同的方法进行综合评价, 应该具有一致性. 若不具有一致性, 说明在赋权中, 权的选取有误, 不宜进行组合, 应改变权系数或采用其它的赋权法, 重新进行
收稿日期: 2005-09-26 基金项目: 辽宁省教委科研项目( 990121407)
4期
刘艳春: 一种循环修正的组合评价方法
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评价和检验, 直到这几种综合评价法具有一致性为止.
注意到任意一种评价方法 A 在评价时所得到的评价值( 即评价结果) 都是随机的, 可记
为 X , 而任何一种组合评价方法, 在本质上都可以看成或近似看成所涉及的各种方法的线
1 引 言
多指标综合评价中, 比较难以解决的问题是指标间的信息重复和如何从众多评价法中 选出合适的方法以得到客观合理的评价结果等问题, 近几十年来迅速发展的多元统计分 析[ 1] 为解决这些问题提供了可能性. 在多指标综合评价中, 人们提出了各种各样的评价方 法. 按赋权方法的不同, 大致可分为两大类. 一类是主观赋权法, 例如专家评价法、综合指数 法等. 这类方法优点是根据本领域专家的丰富经验, 指出各个指标的重要性, 但以人的主观 判断作为赋权基础在有些情况下不尽合理. 另一类是客观赋权法, 如主成分分析法、因子分 析法等. 这类方法优点是赋权客观、不受人为因素的影响. 但由于忽略了指标本身的重要性, 有时确定的指标权数与预期不一致, 并且指标的权数随样本的变化而变化. 对某一问题若采 用一种评价方法进行评价显然不很合理, 若在两类评价法中选取有代表性的几种评价方法 对同一问题进行评价, 再将两类方法的不同评价结果进行综合, 就可以实现两者的优势互 补, 这就是组合评价的思想. 目前常用的组合评价法有平均值法、Boarda 法、Compeland 法 和模糊 Board 法[ 2] 等. 这几种方法是对单一的多指标综合评价法的评价值和排序结果进行 组合. 对于不同的组合方法, 其评价结果也各有不同, 这给分析评价工作带来了一定的困难. 如何合理地进行组合评价研究? 使评价结果更接近于实际, 这是一个很有实际意义的研究课 题. 本文在这一方面进行了探索, 提出一种循环修正的组合评价方法, 以提高评价的正确性 和合理性.
i
i
其中: x ij —为地区 i 在第 j 种方法下的得分;
Lij — 为地区 i 在第 j 种方法下属于 “优”的隶属度.
2) 计算模糊频率
∑m
定义模糊频数为: p hi =
Dih Lij , 其中: Dih =
j= 1
1 地区 i 排在第 h 位
0
其它
∑ 模糊频率为 W hi = p hi / Fi, 其中: Fi =
位次.
2) 均值法组合评价模型
m
∑ R- i =
1 m
R ij ,
j= 1
其中:
R- i 为组合评价值. 按组合评价值的大小重新进行排序, 若有两个
地区 R- i = R- j , 计算不同得分的标准差
标准差小者为优.
Ri =
∑ 1
m
m j= 1
(
R ij
-
R- i ) 2 ,
i =
1, 2, …, n
X 9: 每万人高等学校在校生数( 人)
本文以辽宁省 14 个主要地区作为样本, 选用上述 9 个评价 指标, 则评价样本矩阵为
92
数 学 的 实 践 与 认 识
37 卷
[ X ij ] 14 ×9.
第 1 步 对上述原始数据首先用标准化的方法对数据进行无量纲化处理, 然后在两类 综合评价方法中分别采用了综合指数法、以变异系数作为权数的加权算术平均法[ 5] 、主成分 分析法[ 6, 7] 、因子分析法[ 8] , 选取四种不同的方法对辽宁省各主要地区的经济实力进行综合 评价. 根据 2 中第 4 步, 求出不同地区四种不同评价结果的标准差. 运用 SPSS10. 0[ 9] 中的相 应模块完成综合评价过程的计算, 计算结果见表 1.
K K+
1∈( 0,
1) , 则
D X = A21D X 1 + A22 D X 2 + … + A2n D X n
F A2kR2i0 + ( A21 + … + A2k- 1 + A2k+ 1 + … + A2n ) R2i1
F A2kR2i0 +
( A1 +
…+
Ak- 1 +
Ak+ 1 +
…+
An
法.
90
数 学 的 实 践 与 认 识
37 卷
3 组合优化评价法的步骤
第 1 步 对所研究的问题选取评价的指标体系, 建立评价的原始样本矩阵 [ X ij ] n×k 其 中: n— 样本容量; k — 评价指标的个数.
第 2 步 在主观与客观两大类综合评价方法中各选择几种综合评价方法, 对所提出的
)
R2 2 i1
= A2kR2i0 +
(1-
Ak)
R2 2 i1
F
A2kR2i0 +
K(1-
Ak) 2 R2i1
= [ A2k + K ( 1 - Ak) 2 ] R2i0 =
K K+
1
2
+
K
1-
K K+
2
1
R2i0
=
K
K +
1R2i0 <
R2i0
即 D ( X ) F D ( X i ) , i = 1, …, n. 从而定理得证. 此定理表明通过有效的组合可以减少评价方差, 但组合方法并不唯一, 而每种组合评价