高等代数-行列式课件

A a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0
i j i j
Cramer法则
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21
x1
a22 x2
... a2n xn ...
b2
an1 x1 an2 x2 ... ann xn bn
若该方程组的系数行列式的值不为0,则方程组有唯一
a12
L
L
L
ai 2 bi 2 L
L
L
an2
L
L a1n a11 LL L
L ain a j1 LL L
L ann an1
a1n L ain bin L ann
a12 L a1n LLL a j 2 L a jn LLL an2 L ann
行列式性质7
a a a a 11
12
13
14
LLLL
行列式的性质
✓ 将行列式的一行（列）乘以某个常数c加到 另一行（列）上去，行列式值不变
✓ a11
L
a12 L a1n LLL
a11 a12 L a1n a11 a12 L a1n L LLL L LLL
ai1 bi1 ai2 bi2 L ain bin ai1 ai2 L ain bi1 bi2 L bin
§1.1 目的要求
• 熟练掌握按第一列展开的行列式定义 • 掌握余子式、代数余子式的定义
行列式的定义
a11 a12 L a1n A a21 a22 L a2n
L LLL an1 an2 L ann
由n行n列共n2个元素组成, 称为n阶行列式.
arj的余子式Mrj
a 1111
L
LL
a L rr 11,, 11
当n 1时，A a11
an1 an2 ann
当n 1时，
A a11M11 a21M 21 (1)n1an1M n1
其中 Mrj为arj的余子式. 定义arj的代数余子式为(－1)r+jMrj, 则
A a11A11 a21A21 an1An1
二阶行列式
a11 a21
－
a12 a22
行列式性质9
a a L a 11
12
1n
a a L a 11
21
n1
= a a K a 21
22
2n
LLLL
a a L a 12
22
n2
L LLL
a a K a n1
n2
nn
A
a a L a 1n
2n
nn
A
行列式性质10(重要公式)
A ai1Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0
i j i j
1 j1 2 j2
njn
( j1 , j2 , , jn )
(1) a a a N (i1,i2 , ,in )N ( j1, j2 , , jn )
i1 j1 i2 j2
in jn
(i1 ,i2 , ,in )
对某个排列（j1, j2, , jn）
k阶子式、余子式、代数余子式
A
i1 j1
a0i1 0ai2 LL
L LL a1n a2n L
a1n a2n
0 L
a0in
L ann
行列式性质3
a a L a 11
12
1n
a a L a 11
12
1n
a a L a 21
22
2n
a a L a 21
22
2n
L L L L
c
a a L a i1
i2
in
L LLL
c ai1 cai2 L ca in
解, xi=Ai / A, i=1,2,…,n. 其中Aj是一个n阶行列式, 它
由A去掉第j列换成由方程组常数项b1, b2, …, bn组成
的列得到. L a1 j1 a1 j a1 j1 L
L a1 j1 b1 a1 j1 L
L A
a2 j1 a2 j
a2 j1 L
LL L LL
L Aj L
a2 j1 b2 LL
a a a a n1
n2
n3
n4
a a a a n1
n2
n3
n4
行列式性质
性质5’ 若行列式A的两列相同，则A=0 性质6’ A, B, C是三个n阶行列式, 若C的第r列元
素是A的第r列元素和B的第r列元素的和, 即 cir=air+bir, i=1,2,…,n,
而A, B, C的其他列元素 cij=aij=bij, j≠i, i,j=1,2,…,n,
11 22
a 21 a 22 L 0
nn
LLLL
L LLL
0 0 L ann
a a L a n1
n2
nn
归纳法 （对行列式阶数）
1) 验证结论对n = 1（或2）时成立
2) 归纳假设对任意满足命题条件的n － 1阶行
列式命题成立 3) 利用2）的假设证明命题对n 阶行列式也成
立
行列式性质2
a 11 a 12 L a 21 a 22 L L LL
a11M11 a12 M12
+
a11a22 a12a21
三阶行列式
4阶及4阶以 上行列式不 遵循此规则!
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11M11 a21M21 a31M31
a31 a32 a33
－
+
a11a22a33 a12a23a31 a13a32a21
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
i2 j2
ik jk
aaii12
j1 j1
aik j1
ai1 j2 ai2 j2
aik j2
ai1 jk ai2 jk
aik
jk
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Aˆ
i1 j1
i2 j2
ik
jk
(1)i1 i2
ik
j1
j2
jk
M
i1
j1
i2 j2
ik
jk
§1.7 目的要求
• 理解Laplace定理的含义，会用其解决实 际问题
§1.2-1.4 目的要求
• 熟练理解和掌握行列式的性质 • 了解用归纳法证明的步骤与模式 • 能够利用行列式性质计算行列式的值 • 熟练掌握两个重要公式(性质10) • 掌握和应用Cramer法则
行列式性质1
a a L a 11
12
1n
a11 0 L 0
a a L a 0 a22 L a2n
➢ 降阶法：
• 直接降阶：按行列式中非零元素较少的行（列） 展开
• 间接降阶：利用行列式性质，使行列式的某行 （列）具有较少的非零元，再按其展开
行列式的计算 特殊行列式计算
1.
a) 削去行列式第二列后所有对角元或次
对角元，再展开
b) 直接按第一列展开
2.
a) 消去第一列（行）后成三角行列式
b) 直接按第一行（列）展开
L LLL
L LLL
a a L a 1n
2n
nn
a a L a 1n
2n
nn
行列式性质4
a11 a12 L a1n L LLL
a11 a12 L a1n L LLL
ai1
L
ai 2 L
LL
= ain
L
a j1
L
aj2 L
LL
a jn
L
a j1 a j 2 L a jn
L LLL
ai1 ai 2 L ain
第一章 行列式
行列式的历史
行列式的概念最早是由十七世纪日本数学 家关孝和提出来的，他在1683年写了一部 叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思 是“解行列式问题的方法”，书里对行列 式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。 欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数 学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841 年总结并提出了行列式的系统理论。
则C=A+B
行列式的性质
性质7’ 将行列式某一列乘以常数c,则行列式值为 原来的c倍；即行列式某一列的公因子可以提 到行列式外面
性质4’ 互换行列式任意两列，行列式值改号 性质8 (行列式按第r列展开)
A=a1rA1r+a2rA2r+…+anrAnr 性质8’ (行列式按第i行展开)
A=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin
a a aa L rr 11,, jj 11 r 1, j rr 11, jj 1
LL L L L
a a nn,, jj 11
n, j
ann,, jj 11
L
annnn LL
annnn
M ar, n
rj
annnn
LL
annnn
行列式的定义
a11 a12 a1n A a21 a22 a2n
A ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i
a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj j
(1) a a a N (i1,i2 , ,in )
i11 i2 2
in n
(i1 ,i2 , ,in )
(1) a a a N ( j1, j2 , , jn )
L LLL
an1 an2 L ann
an1 an2 L ann
行列式性质5
a11 a12 L a1n L LLL
ai1 ai 2 L ain
L LLL
a L a aij11
ij22
ijnn
L LLL
an1 an2 L ann
=0
行列式性质6
a11 L ai1 bi1 L an1
a11 a12 LL ai1 ai2 LL an1 an2
aDn2 ) bDn2 )
行列式的计算 常用技巧
➢提取因子法：
• 行和相等时，各行加到第一行，提取公因子 • 文字行列式，当文字取某些值时可使行列式为
零，则行列式含此因子；结合行列式定义，可 得行列式值
➢拆分法：A=B+C
§1.6 目的要求
• 掌握行列式的等价定义，了解其含义
行列式的等价定义
Laplace定理
设A是n阶行列式，在A中任取k行（列），那 么含于这k行（列）的全部k阶子式与它们对 应的代数余子式的乘积之和等于A. 即若取定
k个行：1 i1 i2 ik n
A
1
j1
j2
jk
n
A
i1 j1
i2 j2
ik jk
Aˆ
i1 j1
i2 j2
ik
jk
a2 j1 L LL
L anj1 anj anj1 L j列
L anj1 bn anj1 L j列
行列式的性质
✓ 上（下）三角行列式的值为其所有对角元之积 ✓ 将行列式某行（列）乘以常数c,则行列式值为
原来的c倍；即行列式某行（列）的公因子可 以提到行列式外面 ✓ 互换行列式任意两行（列），行列式值改号 ✓ 行列式两行（列）对应元素成比例，则行列式 值为0
a a a a 11
12
13
14
LLLL
(c) a a a a i1
i2
i3
i4
a a a a i1
i2
i3
i4
a a a a = L L L L
aj1 caj1i1 aj2 jc2ai2 aj3 j 3cai3 aj 4j 4 cai4
L aj 1
L aj 2
L aj 3
L aj 4
LLLL
LLLL
L
L L L L LLL L LLL
an1
an2 L ann
an1 an2 L ann an1 an2 L ann
以上结论对列也成立
§1.5 目的要求
• 利用行列式性质, 掌握计算行列式的典 型方法
• 掌握用归纳法求行列式的值
行列式的计算 普遍法则
➢ 三角化法：
• 对行列式通过恒等变形化为上（下）三角行列式
3.
a) 加边法，化原行列式如2.形式
b) 最后一行（列）消去其他各行（列）， 化为型如2.形式
行列式的计算 常用技巧
➢归纳法：
I
DDnn
aDn1 b cDn1 d
II Dn pDn1 qDn2
p a b, q ab
化为 I 的情形
DDnn
aDn1 bDn1
b(Dn1 a( Dn 1
a L r , 1
a L rr 11,, 11 LL
ann,, 11
L
a a 11,, jj 11
1, j
aa11,, jj 11
L
LL L L L
a a aa L rr 11,, jj 11 r 1, j rr 11,, jj 11
a a a L r, j 1
r, j
r, j 1