第19讲电磁场的能量和功率

r r r r r r r r r f m (r , t ) = ρ M (r , t ) H (r , t ) − J M (r , t ) × ε 0 E (r , t )
r r r r r r r ρ (r , t )ve (r , t ) = J e (r , t ) = J (r , t ) r r r r r ρ M ( r , t ) vm ( r , t ) = J M ( r , t ) r r r r r r r r r f e (r , t ) = ρ (r , t ) E (r , t ) + J (r , t ) × μ0 H (r , t )
对称形式
q1q2 W1 = q1Φ 21 = 4πε 0 r21
(J )
(m)
1 W = ( q2 Φ12 + q1Φ 21 ) 2
(J )
9
r 再将 q3 移至 r3 处，外力对
q3 做的功 W3 为：
(J )
q3q1 q3q2 W3 = q3Φ13 + q3Φ23 = + 4πε0r13 4πε0r23
22
坡印廷定理的物理解释：
r r r r ∂w(r , t ) − ∇ ⋅ S (r , t ) = p(r , t ) + ∂t
负散度： 负散度： 外界提供 外界提供 的电磁功 的电磁功 率密度 率密度 电磁场 电磁场 对运动 = 对运动 电磁荷 电磁荷 提供的 提供的 功率密 功率密 度 度 电磁能 电磁能 密度的 + 密度的 时间增 时间增 加率 加率
r r [q, ve (r , t )]
受到的电磁场力：
(N )
r r r r r r r r Fm ( r , t ) = q M [ H ( r , t ) − ε 0 vm ( r , t ) × E ( r , t )]
(N )
17
分布电荷： 定义电磁场力密度
r r r r r r r r r f e (r , t ) = ρ (r , t )[ E (r , t ) + μ0ve (r , t ) × H (r , t )] r r r r r r r r r f m ( r , t ) = ρ M ( r , t )[ H ( r , t ) − ε 0 vm ( r , t ) × E ( r , t )]
r ∂w −∇⋅S − = p = pd + p P + p M + p s ' ∂t
4
电场能 电场能
分布系统的电场能
⎧ˆ irs 空间场分布： ⎪ r ⎪ E=⎨ ⎪i ˆrs R ⎪ ⎩ ρ0
ρ 0 rs 3ε 0 ρ0 R 2 3ε 0 rs
3
(0 ≤ rs < R )
(V / m)
( rs > R )
⎧ ρ 2 rs 2 ⎪ 1 r r ⎪ 18ε 0 wE = ε 0 E ⋅ E = ⎨ 2 6 2 ⎪ ρ0 R ⎪18ε r 4 ⎩ 0s
假设移动中无能量辐射，反抗外力做的功全部化为 静电能存储于系统中
1 n WE = W = ∑ qi Φ i 2 i =1
(J )
11
由于 i ≠ j ，上面的能量只反映了各电荷之间的互 能，未含各个电荷自身的自能。 比较
1 n WE = ∑ qi Φ i 2 i =1
一般讲，没有包含全 部能量 包含全部能量
q1 q2 q3 组成的带电系统反抗外力做的功：
1 W = q2Φ12 + q3Φ13 + q3Φ23 = [(q2Φ12 + q1Φ21) 2 + (q3Φ13 + q1Φ31) + (q3Φ23+ q2Φ32 )] 1 = [q1(Φ21 + Φ31) + q2 (Φ12 + Φ32 ) + q3 (Φ13 + Φ23)] 2 (J )
[
]
r r r r Pm = qM H ( r , t ) ⋅ vm ( r , t )
(W )
总功率P = Pe + Pm
(W )
19
r r 对分布形式带电系统 ρ ( r , t )、ρ M ( r , t )
定义电磁功率密度 r r J ⋅E
r r r r 3 pe = ρ (r , t ) E (r , t ) ⋅ ve (r , t ) (W / m ) r r r r 3 pm = ρ M ( r , t ) H ( r , t ) ⋅ vM ( r , t ) (W / m )
1 r2 WE = ∫ ε0 E dV V 2
12
r 分布电荷系统 ρ ( r )
1 n WE = lim ∑ Φi ( ρΔVi ) ΔVi →0 2 i =1 r r 1 = ∫ Φ (r )ρ (r )dV 2 V
1 r2 WE = ∫ ε0 E dV V 2
结果相同，为什么？ 原因： 分布电荷系统自能为零
点电荷电场 r
4πε 0 rs 1 r2 1 q2 3 wE = ε 0 E = ∝ 4 ,V ∝ rs 4 2 2 32π ε 0 rs rs
2
ˆrs E =i
q
(V / m )
1 WE = ∫ wE dV ∝ V rs
0
→∞
∞
点电荷自有的电场能为无穷大
7
r 移 q1至 r1处： W1 = 0
除去点电荷自有能量外，点电荷系具有静电能。（点 电荷自身带电的过程不考虑，只考虑已带有电荷量的 若干点电荷构成的带电系统过程中，反抗外场力做的 功）
总功率密度
p = pe + p m
r r JM ⋅ H
外力反抗电磁场力使电磁荷运动，所做的功（如在 电源内部）
p' = − p
20
坡印廷定理
r r ∂H r − JM ∇ × E = − μ0 ∂t r r r ∂E ∇ × H = J + ε0 ∂t
r r r r r ∂H ( r , t ) J M ( r , t ) = −∇ × E − μ0 ∂t
18
电磁场供给运动电磁荷的功率
电磁荷在电磁力作用下运动——做功 r r r r P = F (r , t ) ⋅ v (r , t ) (W ) r r r r Pe = Fe (r , t ) ⋅ ve (r , t ) r r r r r r r r = q E(r , t ) + ve (r , t ) × μ0 H (r , t ) ⋅ ve (r , t ) r r r r = qE(r , t ) ⋅ ve (r , t ) (W )
21
r r r r r r ∇ ⋅ ( A × B ) = B ⋅ (∇ × A) − A ⋅ (∇ × B )
r r ∂ p = −∇ ⋅ ( E × H ) − [ wE + wH ] ∂t
r S坡印廷矢量（ W/m 2 )
w
r ∂w p = −∇ ⋅ S − ∂t
微分形式坡印廷定理
r r d 积分形式： − S ⋅ da − wdV = P ∫S ∫ dt V
(无外场，不受力）
(J )
r q 2 q1 移 q 2至 r2处： W2 = q 2 Φ 12 = 4πε 0 r12 r q1 在r2处的位：Φ12 = (V ) 4πε 0 r12 r r r r12 = r2 − r1
8
若是先移动 q2 ，后移动 q1 ，同样有：
W2 = 0
r r r r21 = r1 − r2
10
q1q2 L qn
rr r 移至 r1r2 L rn
处：
⎡ n ⎤ n n 1⎢ 1 W = ∑ qi (∑ Φ ji )⎥ = ∑ qi Φ i ⎥ 2 i =1 2 ⎢ i =1 j =1 ⎢ ⎥ j ≠i ⎣ ⎦
Φi = ∑
j =1 j ≠i
n
qj 4πε0rji
r 所有电荷在 所有电荷在 r i 处的电位 处的电位
13
磁场能
以电感为例 恒流源 I 0 提供给电感的能量 1 WH = LI 02 (J ) 2 忽略边缘效应 μ0ld d L= w
y
I0
z
w
l
x WH = 1 μ 0 ( I 0 ) 2 ⋅ ldw 2 w
r I0 ˆ ˆz K 0 ) H = −i z ( ⇐ −i w
磁场 磁场
∇
14
r2 1 WH = μ 0 H V 2
(J )
2
r WH 1 wH = = μ0 H V 2
( J / m 3 ) （磁场能密度）
只要有磁场存在，无论电流是否为零，都有静磁能 存在
15
总结
1 r2 r r WE = ∫ ε 0 E dV 静电场能： E、H ≠ 0 V 2 r2 1 的全部空间 静磁场能： WH = ∫ μ 0 H dV V 2 1 r2 1 r r 静电场能密度： wE = ε 0 E = ε 0 E ⋅ E 2 2 r2 1 r r 1 静磁场能密度： wH = μ 0 H = μ 0 H ⋅ H 2 2
电磁场理论讲稿
第十九讲电磁场的能量和功率
主讲教师：陈爱新
电磁场功-能关系
电磁场物质属性 对带电体施加电场力，磁场力 （洛仑兹力） 具有能量 电磁能： 电阻 电感 传输与存储 电容 分布参数系统
揭示元件性质的本质
2
电场能
以静态电场为例 x 忽略边缘效应 r V0 ˆ (V / m) E = −i x d LW (F ) C = ε0 d 电路知识： 1 w 2 z WE = 2 CV0（存储于电容器中的电场能） 1 LWd 2 1 WE = ε 0 2 V0 = ε 0 (V0 ) 2⋅ ( LWd ) d 2 2 d
这些公式对时变场仍成立。
16
坡印廷（Poynting)定理
源自文库
r ρ ( r , t ) 为具有一般性，讨论自由空间具有电荷 及分布 r 磁荷 ρ M (r , t ) 时系统的功-能关系。
• 电磁场对运动电磁荷的电磁力
点电荷
r r 点磁荷[q M , vm ( r , t ) ]受到的电磁场力：
r r r r r r r r Fe (r , t ) = q[ E (r , t ) + μ 0 ve (r , t ) × H (r , t )]
23
关于坡印廷矢量及不同形式坡印廷定理的解释
r r r r r r S (r , t ) = E (r , t ) × H (r , t )
方向上正交
(W / m )
2
2
r r r r ∂w(r , t ) p(r , t ) = −∇ ⋅ S (r , t ) − ∂t
W 量纲：
/ m 功率流面密度
功率密度
r r r r r r ∂E ( r , t ) J (r , t ) = ∇ × H (r , t ) − ε 0 ∂t
r r r r r r r r r p( r , t ) = J ( r , t ) ⋅ E ( r , t ) + J M ( r , t ) ⋅ H (r , t ) r r r r r r r r ∂E (r , t ) r r ∂H (r , t ) r r = (∇ × H (r , t ) − ε 0 ) ⋅ E (r , t ) − (∇ × E (r , t ) + μ0 ) ⋅ H (r , t ) ∂t ∂t r r 2 r r 2 r r r r r r r r 1 ∂ E (r , t ) 1 ∂ H (r , t ) = E (r , t ) ⋅ ∇ × H (r , t ) − H (r , t ) ⋅ ∇ × E (r , t ) − ε 0 − μ0 ∂t ∂t 2 2
p=0
r r r r r ∂w(r , t ) ∂w(r , t ) = −∇ ⋅ S (r , t ) − p(r , t ) =0 ∂t ∂t r r r r r r ∂w( r , t ) p (r , t ) = −∇ ⋅ S (r , t ) − ∇ ⋅ S (r , t ) =
∂t
24
考虑物质时的坡印廷定理（简单媒质为例）
r E
V0
y
d L
∇
3
1 r2 WE = ε 0 E ⋅ ∇( J ) 2
WE 1 r 2 3 wE = = ε 0 E (J/m ) （电场能密度） ∇ 2
在有电场存在的地方（无论电荷是否存在）都有能量存在
能量可以储存于电场中
电场携带能量
wE
能量密度 能量密度
1 r2 1 r r 3 = ε 0 E = ε 0 E ⋅ E (J/m ) 2 2
(0 ≤ rs < R ) ( J/m ) ( rs > R )
5
3
静电场总能量
WE = ∫ wE1dV + ∫ wE2dV
球内 球外
4πρ2R6 = 15ε0
(J)
一个带电系统具有的总静电场能
1 r2 WE = ∫ ε0 E dV V 2
r E ≠ 0的全部空间
6
如何求解点电荷构成的系统的静电场能