北师大版数学选修1-1教案：第3章-典型例题：导数的概念

3.2 导数的概念

【例1】求函数y =x 2在点x =1处的导数

【例2】已知f (x )=a x 3+3x 2+2,若f ′(-1)=4，求a 的值.

参考答案

例1：

【分析】①求函数增量Δy ;②求函数的变化率

x y ∆∆;③求极限x

y x ∆∆→0lim . 【解】Δy =(1+Δx )2-12

=2·Δx +(Δx )2, ∴x x x x x y ∆+=∆∆+∆=∆∆2)(22

. ∴x x x y x x x ∆+=∆+=∆∆→→→0

00lim 2)2(lim lim =2+0=2. ∴y ′|x =1=2.

【点拨】应用求函数在某一点的导数的步骤进行求解.

例2：

【分析】这道题函数f (x )中含有字母a ,已知f ′(-1)=4,那么先要把f ′(-1)用a 表示

出来，这样才能求出a 的值.

【解】Δy =a (-1+Δx )3+3(-1+Δx )2+2-［a (-1)3+3(-1)2+2］

=a ·(Δx )3+(3-3a )(Δx )2+(3a -6)Δx . ∴x

x a x a x a x y ∆⋅-+∆⋅-+∆⋅=∆∆)2(3)()1(3)(23=a ·(Δx )2+(3-3a )·Δx +3a -6. ∴0

0lim lim

→∆→∆=∆∆x x x y ［a (Δx )2+(3-3a )Δx +3a -6］=3a -6. ∴f ′(-1)= x y x ∆∆→∆0lim =3a -6. 又∵f ′(-1)=4,

∴3a -6=4.∴3

10=

a . 故所求a 的值为310. 【点拨】利用导数定义先求导数，然后代入再求a 的值.