高中数学竞赛专题讲座数学归纳法在高考及竞赛中的应用

数学归纳法

数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．这种方法的原理简单易懂，在实际生活中都能找到它的影子，多米诺骨牌、蝴蝶效应都可以看做是数学归纳法的一种体现。而在数学方面的应用上，它更显出了重要的地位，正因如此，在近年的高考试题，特别是压轴大题上，常常运用数学归纳法来解题；在竞赛数学，数学归纳法更是在数列、组合等多方面发挥着重要作用。 （一）数学归纳法的基本形式 （1）第一数学归纳法

设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果: ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立；

②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整 数0n n ≥时，)(n P 成立．

例1 （07江西理22）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*

n ∈N ，有

111111

22111

n n n n

a a a a n n ++++<<+-+．

（1）求1a ，3a ； （2）求数列{}n a 的通项n a ． 解：（1）据条件得111111

2(1)2n n

n n n n a a a a ++⎛⎫+

<++<+ ⎪⎝⎭ ① 当1n =时， 由21211111222a a a a ⎛⎫+

<+<+ ⎪⎝⎭

，即有1112212244a a +<+<+，解得128

37a <<．因为1a 为正整数，故

11a =．当2n =时，由331111

26244a a ⎛⎫+

<+<+ ⎪⎝⎭

，解得3810a <<，所以39a =． （2）由11a =，24a =，39a =，猜想：2

n a n =．下面用数学归纳法证明: 1o

当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立；

2o

假设(2)n k k =≥成立，2k a k =，则1n k =+时由①得22

111111

2(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+

<++<+ ⎪⎝

⎭, 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+-22

212(1)1(1)(1)11

k k k a k k k ++⇒+-<<+++-,因为2k ≥时，

2

2

(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]22(1)011k k +∈+，．11k -≥，所以(]1

011

k ∈-，．

又1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤,故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2

n a n =成立．

由1o ，2o 知，对任意n ∈*

N ，2n a n =．

此题在证明时应注意，归纳奠基需验证的初始值又两个，即1n =和2n =。 （2）第二数学归纳法

设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ① 当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立；

② 假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正 整数0n n ≥时，)(n P 成立．

例2 已知对任意的,1,0n n N n a *

∈≥>且

31

1

()n

n

j

j j j a

a ===∑∑，求证：n a n =.

证：（1）当1n =时，因为32

11a a =且10a >，所以，11a =，命题成立；

（2）假设n k ≤时命题成立，即(1,2,,)j a j j k ==L ,当1n k =+时，因为

13332

3

1

11

1

1

()k k

k

j j

k j k j j j a a

a

a a

+++====+=+∑∑∑，

1

132

2

2

2

1111

1

1

1

1

()()()2k k k k k

j

j j k j k j k j j j j j a

a a a a a a a +++++=======+=++∑∑∑∑∑

所以3

2

1

111

2k

k k j k j a

a a a

+++==+∑，且

10k a +>，于是21

11

2k

k j k j a

a a ++==+∑，因为(1,2,,)j a j j k ==L ，

∴

1

(1)2

k

j j k k a =+=

∑,从而2

11(1)0k k a a k k ++--+=，解得11k a k +=+，k a k =-（舍），即1n k =+时 命题成立.

由（1）、（2）知，对一切自然数(1)n n ≥都有n a n =成立.证毕.

这两种数学归纳法，是运用次数较多的方法，大家也比较熟悉，在这里就不赘述了。下面介绍一下数学归纳法的其它形式。

（二）数学归纳法的其他形式 （1）跳跃数学归纳法

① 当l n ,,3,2,1Λ=时，)(,),3(),2(),1(l P P P P Λ成立，

② 假设k n =时)(k P 成立，由此推得l k n +=时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立．