50常考常新 — 焦半径

常考常新—焦半径

焦半径是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新，故值得我们进一步总结与研究。对于它的代数形式a±ex是大家熟知的，本文介绍它的几处三角形式及其应用。

定理：P是椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)上的一点，F1(－c，0)、F2(c，0)是左、右焦点。1．若椭圆的离心角为θ，则(1)|PF1|＝a＋ccosθ；(2)|PF2|＝a－ccosθ．

2．若PF1或PF2的倾斜角为α，则(1)|PF1|＝；(2)|pF2|＝．3．若∠F1PF2＝β，且设|PF1|≥|PF2|，则(1)|PF1|＝a＋

(2)|pF2|＝a-

证明：

1．∵椭圆的离心角为θ，由椭圆参数方程知点P的横坐标为acosθ，依焦半径的代数形式知：|PF1|＝a＋ex p＝a＋ea²cosθ＝a＋c²cosθ,|PF2|＝a－ex p＝a－c²cosθ．2．以F1为极点，F1x为极轴建立极坐标系，则椭圆的方程ρ(θ)＝，这时， |PF1|＝ρp＝ρ(α)＝

将ep＝b2/a，e＝代入上式得|PF1|＝．

又以F2为极点，F2x为极轴建立极坐标系，则椭圆方程ρ(θ)＝，此时

|PF2|＝ρp＝ρ(α)＝＝．

3．设椭圆的离心角为θ，则点P的纵坐标可表示为y p＝bsinθ，

∴S△PF1F2＝²2c²|y p|＝bc|sinθ|．

另一方面，由题设及焦点三角形的面积公式知：S△PF1F2＝b2²tg．

∴bc|sinθ|＝b2²tg，∴|sinθ|＝²tg，

∴cosθ＝±＝±．

由定理1及假设|PF1|≥|PF2|知 |PF1|＝a＋c²cosθ＝a＋

|PF2|＝a－c²cosθ＝a－

灵活地运用焦半径的这几种三角形式，可速解一类问题，请看下面几例。

例1 F1、F2是椭圆＋y2＝1的左右焦点，点P在椭圆上运动，则|PF1|c²|PF2|的最大值是______，最小值是_________． (1996年第七届“希望杯”赛)

解：设椭圆的离心角为θ，又知a＝2，c2＝3，由定理1得

|PF1|c²|PF2|＝a2－c2cos2θ＝4－3cos2θ

∵0≤cos2θ≤1故知|PF1|c²|PF2|max＝4－3²0＝4

|PF1|c²|PF2|min＝4－3²1＝1

例2椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的右焦点为F，右准线为l，过F且垂直于x轴的直线交椭圆于P、Q两点，若|PQ|等于点F到l的距离，则椭圆的离心率e＝_________． (1999年全国高考题)。

解：设∠PFx＝α，则α＝90°，由对称性及定理2知：

|PQ|＝2|PF|＝＝．

又|PQ|＝－c＝，故有，∴e＝＝．

例3椭圆的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点Q在y轴上，那么|PF1|:|PF2|＝_________．(1998年全国高考题)

解：设∠PF2x＝α，∵PF1的中点Q在y轴上∴PF2⊥Ox∴α＝90° 又∵a＝2，b2＝3，由定理2的知：|PF 2|＝＝，

由椭圆定义|pF

1|＝2a－|PF1|＝．∴|PF1|:|PF2|＝7 为所求。例4椭圆的左右焦点为F1、F2，试问此椭圆的离心率e在什么值范围内，椭圆上恒存在点P，使得PF1⊥PF2。

解：设椭圆方程为b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)，离心角为θ，依题设、定理1及勾股定理得

(2c)2＝(a－ccosθ)2＋(a＋ccosθ)2化简得cos2θ＝．

∵0≤cos2θ≤1，∴0≤2－≤1，结合0＜e＜1得≤e＜1为所求。

例5过椭圆的右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，其中y A＞y B，且满足|AF|:|FB|＝2，求直线AB的方程。(1986年广东省高考题)

解：设AB的倾斜角为α，由题设知点A和点B分别在x轴的上方和下方。

又a＝2，b2＝3，c＝1由定理2(2)得

解得cosα＝－，从而k AB＝tgα＝－．∴AB的方程为y＝－(x－1)．