第十七章 光的衍射作业答案

一、选择题 [ B ]1、（基础训练2）一束波长为λ的平行单色光垂直入射到一单缝AB 上，装置如图17-10所示，在屏幕D 上形成衍射图样，如果P 是中央亮纹一侧第一个暗纹所在的位置，则BC 的长度为 （A ）λ / 2
（B ）λ （C ）3λ / 2 （D ）2λ
【提示】设缝宽为a ，则BC =sin a θ，而第一个暗纹满足sin a θλ=.
[ C ]2、（基础训练5）一单色平行光束垂直照射在宽度为1.0 mm 的单缝上，在缝后放一焦距为2.0 m 的会聚透镜。

已知位于透镜焦平面处的屏幕上的中央明条纹宽度为2.0 mm ，则入射光波长约为
（A ）100 nm （B ）400 nm （C ）500 nm （D ）600 nm 【提示】中央明条纹宽度为2, 5002x a
x f nm a
f
λ
λ∆⋅∆≈∴=
=
[ B ]3、（基础训练8）在光栅光谱中，假如所有偶数级次的主极大都恰好在单缝衍射的暗纹方向
上，因而实际上不出现，那么此光栅每个透光缝宽度a 和相邻两缝间不透光部分宽度b 的关系为
（A ）a=2
1
b （B ）a=b （C ）a=2b （D ）a=3 b 【提示】光栅缺级：()sin sin 'a b k a k θλ
θλ
+=⎧⎨=⎩，
所以缺级的主极大的级次为',2,3,...a b a b a b a b
k k a a a a
++++==2,4,6,8=L L 2a b a
+∴=， 得：a=b.
[ D ]4、（基础训练10）孔径相同的微波望远镜和光学望远镜相比较，前者分辨本领较小的原因
是
（A ） 星体发出的微波能量比可见光能量小 （B ） 微波更易被大气所吸收 （C ） 大气对微波的折射率较小 （D ） 微波波长比可见光波长大 【提示】分辨本领为1
1.22R
d
R θλ==，孔径相同时，R 与波长λ成反比关系。

微波波长比可见
光波长大，所以微波望远镜分辨本领较小。

[ C ]5、（自测提高2）在如图17-13所示的单缝夫琅禾费衍射装置中，将单缝宽度a 稍梢变宽，同时使单缝沿y 轴正方向作微小平移（透镜屏幕位置不动），则屏幕C 上的中央衍射条纹将
（A ）变窄，同时向上移 （B ）变窄，同时向下移 （C ）变窄，不移动
（D ）变宽，同时向上移
图17-13
P
D 图17-10
（E ）变宽，不移
【提示】（1）中央明纹宽度11x 2 2sin 2f tg f f
a
λ
θθ∆=≈=，现在a ↑，所以x ∆↓.
（2）中央明纹即为像点，其位置只与透镜的位置及光的传播方向有关，不因缝的平移而改变。

[ B ]6、（自测提高4）对某一定波长的垂直入射光，衍射光栅的屏幕上只能出现零级和一级主极
大，欲使屏幕上出现更高级次的主极大，应该
（A ）换一个光栅常数较小的光栅 （B ）换一个光栅常数较大的光栅 （C ）将光栅向靠近屏幕的方向移动 （D ）将光栅向远离屏幕的方向移动 【提示】对某一定波长的垂直入射光，主极大的最大级次max k 为 0
sin 90d λ
<的最大整数，所以光
栅常数d 增大，可以使得max k 增大。

二、填空题
7、（基础训练11）平行单色光垂直入射于单缝上，观察夫琅禾费衍射。

若屏上P 点处为第二级暗纹，则单缝处波面相应地可划分为__4__个半波带。

若将单缝宽度缩小一半，P 点处将是__1__级___
暗__纹。

【提示】根据半波带法，屏上P 点处为第二级暗纹时，sin 242
a λ
θλ==⨯
，所以，波面被分为4
个半波带；若将单缝宽度缩小一半，'2
a a =
，则sin 'sin 2a a θ
θλ==，所以P 点处将是1级暗纹。

8、（自测提高7）设天空中两颗星对于一望远镜的张角为4.84×10-6 rad ，它们都发出波长为550 nm 的光，为了分辨出这两颗星，望远镜物镜的口径至少要等于
13.9 cm 。

【提示】依题意，最小分辨角6
R 4.8410rad θ-=⨯，根据瑞利判据，R 1 1.22
d
λ
θθ=≈，
96
1.22 1.22550100.13913.94.8410
R
d m cm λ
θ--⨯⨯∴=
===⨯ 9、（自测提高8）一毫米内有500条刻痕的平面透射光栅，用平行钠光束（λ = 589 nm ）与光栅平面法线成30°角入射，在屏幕上最多能看到第__5__ 级光谱。

【提示】光栅常数61210()500
mm
d m -=
=⨯，
斜入射时，光栅方程为0
sin 30sin d d k θλ+=
006max 9
(sin 30sin 90)
210(0.51) 5.0958910d k λ
--+⨯+∴<
==⨯，max 5k ∴=
10．（自测提高9）在单缝夫琅禾费衍射示意图中，所画出的各条正入射光线间距相等，那末光线1与2在幕上P 点上相遇时的相位差为 2π ，P 点应为___2级暗 点． 【提示】（1）由图可见，1，2光线的光程差为δ=λ，所以相位差为22π
ϕδπλ
∆=
=.
（2）设缝宽为a ，由图可见，sin 2a θλ=，所以P 点为2级暗点。

11、（自测提高11）钠黄光双线的两个波长分别是589.00 nm 和589.59 nm ，若平面衍射光栅能够在第二级光谱中分辨这两条谱线，光栅的缝数至少是 500 。

【提示】589
,499.1520.59
R kN N k λ
λ
λ
λ
===
=
=∆∆⨯，所以N 至少应为500.
三． 计算题
12、（基础训练21）波长λ=600nm(1nm=10﹣
9m)的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级主极大的衍射角为30°，且第三级是缺级．
(1) 光栅常数(a + b )等于多少？
(2) 透光缝可能的最小宽度a 等于多少？
(3) 在选定了上述(a + b )和a 之后，求在衍射角-π21＜ϕ＜π2
1 范围内可能观察到的全部主极大的级次．
解：(1) 光栅衍射主极大公式()sin a b k ϕλ+=， k = 2时，ϕ= 30°，
得：a + b =
2sin 30λ
︒
= 4λ= 2400nm
(2)第三级是缺级，依题意，应有 ()λϕ3sin ='+b a ， λϕ='sin a
两式相除，得： a = (a + b )/3 = 800nm
(3) 缺级发生在： ()sin sin 'a b k a k ϕλϕλ+=⎧⎨
=⎩
，缺级的级次为'3'a b
k k k a +==，k ＇=1，2，3，......， 所以 k = 3，6，9，........缺级． 又因为最大级次max 4d
k λ
<
=，显然max 3k =，所以实际呈现k=0，±1，±2级明纹．
13、（基础训练25）在通常亮度下，人眼瞳孔直径约为3 mm ，若视觉感受最灵敏的光波长为550 nm ，试问：（1）人眼最小分辨角是多大？（2）在教室的黑板上，画的等号的两横线相距2 mm ，坐在距黑板10 m 处的同学能否看清？（要有计算过程）
P
解：（1）设d 为人眼瞳孔直径，则最小分辨角为41.22
2.2410()R rad d
λ
θ-==⨯。

（2）坐在距黑板S = 10 m 处的同学所能分辨的最小间距l 为 2.24R l S mm θ≈⋅=，
等号的两横线相距2mm l <，所以不能分辨，看不清。

14、（自测提高13）波长为600 nm (1 nm=10-9 m)的单色光垂直入射到宽度为a =0.10 mm 的单缝上，
观察夫琅禾费衍射图样，透镜焦距f =1.0 m ，屏在透镜的焦平面处．求： (1) 中央衍射明条纹的宽度∆ x 0；
(2) 第二级暗纹离透镜焦点的距离x 2
解：9
0113
60010(1) 22sin 22 1.00.012()0.110x f tg f f m a λ
θθ--⨯∆=⋅≈==⨯⨯=⨯ 222
22sin (2) 20.012()sin 2x ftg f x f
m a a
θθλ
θλ
=≈⎧∴==⎨
=⎩
15、（自测提高14）为了测定一光栅的光栅常数，用波长λ=6328Å的的氦氖激光器光源垂直照射光
栅，做光栅的衍射光谱实验，已知第一级亮条纹出现在30o
的方向上，问这光栅的光栅常数是多大？这光栅的1cm 内有多少条缝？第二级亮条纹是否可能出现？为什么？ 解：。

）
第二级条纹不可能出现（或现。

第二级亮条纹不可能出，，算得：，
）第二级亮条纹满足（（条）内的缝数，此处第一级亮条纹满足∴==
<
∴====⨯=⨯===
∴==--,290sin 901sin 2sin 2,
7901101N 1cm ,
102656.1230sin 30,sin )1(0
max 0222260
0λ
λ
θθλθλλ
θλθd
d k d d
m d d
16、（自测提高17）将一束波长λ = 589 nm 的平行钠光垂直入射在1 厘米内有5000条刻痕的平面衍射光栅上，光栅的透光缝宽度a 与其间距b 相等，求：（1）光线垂直入射时，能看到几条谱线？是哪几级？（2）若光线以与光栅平面法线的夹角θ = 30°的方向入射时，能看到几条谱线？是哪几级？
解：光栅常数为2
61110()210,50005000
cm a b m --⨯+=
==⨯条 (1) ()sin a b k θλ+=， max ()/k a b λ<+=3.39， ∴k max = 3
,2a b
a b a
+=∴
=Q 又，∴缺级发生在2±级。

∴ 能看到5条谱线，为0，±1，±3级 。

(2) 光线以与光栅平面法线的夹角为30°的方向斜入射时，光栅方程为
()sin30()sin a b a b k θλ+++=
2
π
θ=
，λ/)90sin 30)(sin (︒+︒+=b a k = 5.09 取 k max = 5
2
π
θ=-
，λ/)90sin 30)(sin (︒-︒+=b a k = -1.7 取 1max
-='k ,2a b
a b a
+=∴
=Q 又，所以4,2±±缺级。

∴ 能看到5条谱线，为+5，+3，+1，0，-1级。

17、（自测提高19）单色平行光垂直照射一狭缝，在缝后远处的屏上观察到夫琅和费衍射图样，现在把缝宽加倍，则透过狭缝的光的能量变为多少倍，屏上图样的中央光强变为多少倍。

答：（1）透过狭缝的光的能量=光强×狭缝面积，若缝宽加倍，则面积加倍，所以能量变为两倍。

（2）将狭缝均分成N 份，视为N 个子波源，所发出子波的振幅为A ，各子波到达中央位置时等光程，同相位，干涉增强，所以中央亮纹的光强=（N ×A ）2，现在缝宽加倍，则N 加倍，所以中央光强变为原来的四倍。

【附加题】
（附录E ：34）一平面透射多缝光栅，当用波长λ1 = 600 nm (1 nm = 10-
9 m)的单色平行光垂直入射时，
在衍射角θ = 30°的方向上可以看到第2级主极大，并且在该处恰能分辨波长差∆λ = 5×10 -
3 nm 的两条谱线．当用波长λ2 =400 nm 的单色平行光垂直入射时，在衍射角θ = 30°的方向上却看不到本应出现的第3级主极大．求光栅常数d 和总缝数N ，再求可能的缝宽a 解：（1）据光栅公式 sin d k θλ=
得： 2600
sin sin 30k d λθ⨯===︒
2.4×103 nm = 2.4 μm （2）据光栅分辨本领公式 kN R ==∆λλ/
得： ==
∆λ
λ
k N 60000 （3）在θ = 30°的方向上，波长λ2 = 400 nm 的第3级主极大缺级，因而在此处恰好是波长λ2的单缝衍射的一个极小，因此有： 2330sin λ=︒d ，230sin λk a '=︒ 得 a=k 'd / 3， k ' =1或2 所以，缝宽a 有下列两种可能：
当 k ' =1 时， 4.231
31⨯==
d a μm = 0.8 μm ． 当 k ' =2时， 22
2.433
a d ==⨯μm = 1.6 μm ．。