第六章 圆锥投影

第六章 圆锥投影
学习指导
• 学习目标与要求 1．掌握圆锥投影的一般公式及其分类 2．掌握等角、等面积、等距离圆锥投影的坐标 与变 形公式 3．掌握圆锥投影的变形规律及应用 • 学习重点 1．掌握圆锥投影的基本概念以及公式 2．掌握圆锥投影的变形分析 3．掌握圆锥投影的应用 • 学习难点 1．圆锥投影概念及公式意义 2．圆锥投影的变形规律
3.等距离圆锥投影
(Conical equidistant projection) 等距离圆锥投影，通常是指沿经线保持等距离，即m=1， 本投影的公式为
下面我们来求定投影常数a、C
（1）指定制图区域中部某纬线φ0上长度比等于1且为最小
（2）指定制图区域中两条纬线上无长度变形 在制图区域中，设φ1、φ2两条纬线上无长度变形，要求 n1=n2=1，根据条件有 得
式中C为积分常数。 为经差1弧度，纬 差为0°到纬度φ的椭球体上梯形面积。
现将正轴等面积圆锥投影一般公式汇集如下：
现在我们来进一步研究决定常数a、C的方法。 （1）指定制图区域一条纬线上无长度变形而且长度比为最小
在本投影中，指定的一条纬线上没有长度变形，即为单标准纬线投影，又 单标准纬线投影， 单标准纬线投影 可称为正轴等面积切圆锥投影。 可称为正轴等面积切圆锥投影
图中φ0、φ1、φ2代表切、割圆锥投影的标准纬线， 虚线为等变形线，箭头所指为变形增加方向。
在圆锥投影中，变形的分布与变化随着标准纬线选择的不 同而不同。 在切圆锥投影中，标准纬线φ0处的长度比n0=1，其余纬线 长度比均大于1，并向南、北方向增大。
圆锥投影的应用——百万分一地图投影。
现行百万分一地图投影采用双标准纬线等角圆锥投影。百 万分一地图具有一定的国际性，在同一时期内各国编制出 版的百万分一地图，采用相同的规格，即地图投影、分幅 编号、图式规范等基本上一致，可促使该比例尺地图得到 较广泛的国际应用和交往。就采用的投影而言，该比例尺 地图在国际上目前主要采用两种投影，即改良多圆锥投影 和等角圆锥投影。我国在相应的时期内编制出版的百万分 一地图也采用了这两种投影。
（2）指定制图区域中两条纬线上无长度变形 指定两条纬线φ1、φ2上长度比n1=n2=1， 则按条件可以写出：
本投影在两条纬线上无长度变形，即为双标准纬线投影，亦 称正轴等面积割圆锥投影，有的地图上所称的亚尔勃斯 亚尔勃斯 (Albers)投影 投影，就是指这种投影。该投影在制图实践中应用较 投影 广，故将公式汇集如下：
1962年联合国于西德波恩举行的世界百万分一国际地图技术会 议通过的制图规范，建议用等角圆锥投影替代改良多圆锥投影作为 百万分一地形图的数学基础，以使世界百万分一地形图与世界百万 分一航空图在数学基础上能更好地协调一致。目前，许多国家出版 的百万分一地图已改用等角圆锥投影。 对全球而言，百万分一地形图采用两种投影，即由赤道至北纬 84°及至南纬80°之间采用等角圆锥投影，极区附近，即由南纬 80°、北纬84°至南、北极采用等角方位投影。 地图的分幅规定亦略有变动，即不论南、北半球，自： 纬度60°以下按纬差4°和经差6°分幅； 纬度60°－76°按纬差4°和经差12°分幅； 纬度76°－84°按纬差4°和经差24°分幅； 纬度84°－88°按纬差40°和经差36°分幅， 纬度88°－90°仍为一幅图。 等角圆锥投影是对每幅图单独进行投影。
在左式中有两个常数，即a、K尚须 进一步加以决定。为此我们先研究 本投影中长度比n的变化情况，从 上式可以看出，n仅是纬度φ的函数。 我们先要确定长度比为最小的纬线， 为此先求n对φ的一阶导数。
由
因为 将上两式取得的微分式代入
式有：
当φ=φ0时， 有极值，令 M、r不可能为零，则有
，在一般情况下，a、ρ、
投影的变形值极微小，长度变形在边纬与中纬上为±0．030％， 面积变形约为长度变形的二倍。 本投影属割圆锥投影，两条标准纬线的纬度可以近似地表示为：
本章结束
小比例尺地图
由于我国位于中纬度地区， 由于我国位于中纬度地区，中国地图和分省地 图经常采用割圆锥投影（ 图经常采用割圆锥投影（ Lambert 或Albers 投 ），中国地图的中央经线常位于东经105度 中国地图的中央经线常位于东经105 影），中国地图的中央经线常位于东经105度(110 两条标准纬线分别为北纬25度和北纬47 25度和北纬47度 度)，两条标准纬线分别为北纬25度和北纬47度， 而各省的参数可根据地理位置和轮廓形状初步加 以判定。例如甘肃省的参数为： 以判定。例如甘肃省的参数为：中央经线为东经 101度 两条标准纬线分别为北纬34度和41 34度和41度 101度，两条标准纬线分别为北纬34度和41度。
相割纬线： 相割纬线：ϕ1 = 25° ； ϕ2 = 45°
（1）单标准纬线等角圆锥投影 ①指定切纬线纬度φ0
②nS=nN条件确定φ0
（2）双标准纬线等角圆锥投影
①指定标准纬线纬度φ1，φ2
②指定边纬φS，φN与中纬线φM的变形绝对值相等
2.等面积圆锥投影
(Conical equivalent projection，Conic equal-area projection) 在等面积圆锥投影中，制图区域的面积大小保持不变，也 就是面积比等于1(P=ab=1)。因为在正轴圆锥投影中沿经 纬线长度比就是极值长度比，故P=ab =mn=1。 P=ab=mn=1
常见圆锥投影及其用途
• 等积割圆锥投影－－中国政区图。 标准纬线分别为25°、45°（ 47°） • 等角割圆锥投影－－小比例尺地形图。
两条边纬与 中央纬线长 度变形绝对 值相等。 值相等。
标准纬线
故式中φ0为最小值，应该再求n对φ的二阶导数，由 高等数学可知，若二阶导数大于0，则证明φ0处的长度比为最小值。 为此对n式再取导数
以φ0代入，顾及
由于 ，可知在φ0处纬线长度比为最小。 K的几何意义是赤道的投影半径。 现在我们来讨论几种决定常数a、K的方法。 常数a、K的确定
构成圆锥投影需确定画纬线的半径ρ 构成圆锥投影需确定画纬线的半径ρ和经线间的 夹角δ 夹角δ，ρ是纬度的函数用公式表示为ρ=f(ф)。δ 是纬度的函数用公式表示为ρ=f(ф)。 ρ=f(ф) 是经差λ的函数。用公式表示为δ=сλ..с对于不 是经差λ的函数。用公式表示为δ=сλ..с对于不 δ=сλ..с 同的圆锥投影它是不同的。 同的圆锥投影它是不同的。但对于某一具体的圆锥投 影（0<c<1 ），它的值是相同的。当с=1时（圆锥顶 ），它的值是相同的。 с=1时 它的值是相同的 角为180 ），为方位投影 为方位投影； 角为180 度），为方位投影；с=0 时（圆锥体的顶 角小到0 ），为圆柱投影。 角小到0度），为圆柱投影。方位投影和圆柱投影都 为圆柱投影 可看成是圆锥投影的特例。 可看成是圆锥投影的特例。
国际百万分一地形图规定每幅图内有两条标准纬线， 并指定标准纬线的纬度为。
式中φS，φN为图幅南、北边纬线的纬度。 投影常数按下式计算：
自1978年以来，我国决定采用等角圆锥投影作为百万分一地形图的数学 基础，其分幅与国际上1962年后所采用的分幅一致，但投影的标准纬线 的位置与国际上指定的纬度稍有差异。本投影的投影常数由边纬与中纬长 度变形绝对值相等的条件求得，即规定。 nN=nS=1+v nm=1－v 式中nN、nS，nm为北，南、中部纬线的长度比，v为长度变形。并且有
本投影中的两条标准纬线是指定的，通常称为等距离割 圆锥投影，它是等距离圆锥投影中运用最广泛的一种投 影，其公式汇集如下：
第三节 斜轴和横轴圆锥投影
见课本
第四节
圆锥投影变形分析及其应用
从圆锥投影长度比一般公式可以看出，正轴圆锥投影的变形只 与纬度发生关系，而与经差无关，因此同一条纬线上的变形是 相等的，也就是说，圆锥投影的等变形线与纬线一致。
第二节 圆锥投影的几种形式
1.等角圆锥投影(The conformal conic projection，兰勃脱Lambert Lambert) Lambert 在等角圆锥投影中，微分圆的表象保持为圆形，也就是同一 点上各方向的长度比均相等，或者说保持角度没有变形。本投 影亦称为兰勃脱(Lambert)正形圆锥投影。 根据等角条件 m=n(或a=b) 或ω=0 经推导，得：
② 按标准纬线分为切圆锥投影和割圆锥投影
切圆锥投影，视点在球心，纬线投影到圆锥面上仍是圆， 切圆锥投影，视点在球心，纬线投影到圆锥面上仍是圆，不同的纬线投影为不 同的圆，这些圆是互相平行的，经线投影为相交于圆锥顶点的一束直线， 同的圆，这些圆是互相平行的，经线投影为相交于圆锥顶点的一束直线，如果将圆 锥沿一条母线剪开展为平面，则呈扇形，其顶角小于360 360度 锥沿一条母线剪开展为平面，则呈扇形，其顶角小于360度。 在平面上纬线不再是圆，而是以圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线成为由圆锥 在平面上纬线不再是圆，而是以圆锥顶点为圆心的同心圆弧， 顶点向外放射的直线束，经线间的夹角与相应的经差成正比，但比经差小。 顶点向外放射的直线束，经线间的夹角与相应的经差成正比，但比经差小。 在切圆锥投影上，圆锥面与球面相切的一条纬线投影后是不变形的线。叫做标 在切圆锥投影上，圆锥面与球面相切的一条纬线投影后是不变形的线。 准纬线。它符合主比例尺，这条纬线通常位于制图区域的中间部位。 准纬线。它符合主比例尺，这条纬线通常位于制图区域的中间部位。从切线向南向 变形逐渐增大。 北，变形逐渐增大。
在割圆锥投影上，两条纬线投影后没有变形，是双标准纬线， 在割圆锥投影上，两条纬线投影后没有变形，是双标准纬线，两 条割线符合主比例尺，离开这两条标准纬线向外投影变形逐渐增大， 条割线符合主比例尺，离开这两条标准纬线向外投影变形逐渐增大， 离开这两条标准纬线向里投影变形逐渐减小， 离开这两条标准纬线向里投影变形逐渐减小，凡是距标准纬线相等距 离的地方，变形数量相等，因此圆锥投影上等变形线与纬线平行。 离的地方，变形数量相等，因此圆锥投影上等变形线与纬线平行。