第二章 采样

条件等。 要求能根据采样频率画出频谱图 3 的变化
3
学习要点
要求熟悉采样率转换 的基本概念和种类，
了解采样率转换的应
用价值和适用场合，
掌握三种常用的采样
率转换基本系统（整
数因子D抽取、 整数 因子I插值和有理数因 子I/D采样率转换）的 基本原理、 构成原理
方框图。
要理解采样率转换原 理， 必须熟悉时域采 样概念、 时域采样信 号的频谱结构、 时域 采样定理。 此外， 时域离散线性时不变 系统的时域分析和变 换（Z变换、 傅里叶 变换）域分析理论是 本章的分析工具。
续
时
间
信
图2.2.6
号
讨论采样信号 xˆa (t) 通过理想低通滤波器G（j）的响应过程。
理想低通G（j）的冲激响应为
g(t) 1
2
G( j)e jt d T
2
s
2 s
e
jt d
2
sin s t
sin t
2 s t
T
t
2
T
频域相乘对应时域卷积，利用卷积公式，则采样信号经理想低通
后的输出为
利用理想内插公式重构连续时间信号
xa (1T ) xa (2T )
xa (4T )
y(t)
xˆa ( )g(t )d
xa n
(
)
(
nT ) g (t
)d
xa ( )g(t ) ( nT )d xa (nT )g(t nT )
n
n
这里，g(t-nT) 称为内插函数
sin (t nT )
g (t nT )
T
(t nT )
T
特点：在采样点nT上，函数值为1，其余采样点上，值为零。
例如，假定一个带限模拟信号的谱如图 (a)所
示。当 F B 时，谱为0。如果Fs 2B ，则离散 时间信的谱X (F / Fs ) 将如图(b)所示，清晰可见。
如果 Fs 2B,
则
X
(
F Fs
)
Fs
X
a
(
F
)
F Fs 2
此时,没有混叠, 离散时间信号的 谱等于(比例因子 Fs内)在基本频率 范围 F Fs / 2或 f 1/ 2内的模拟 信号的谱.
一、数字信号处理系统的模拟接口
模拟信 号
连续时间信 号
采样 抗混叠 保持器
A/D 变换器
数字信号
通用或专 用
计算机
连续时间信 模 拟 信
号
号
D/ A 变换器
模拟低通 滤波器
图 2.1.1 数字信号处理系统的框图
A／D转换包括了采样、量化、编码等过程
简化的数字信号处理系统框图
为了便于讨论连续时间信号采样和重建的基本条件，可将 图2.1进行简化： 理想采样器 代替 采样保持器+A/D转换器（无限精度） 理想内插器 代替 D/A转换器（无限精度）+平滑器
G(
j)
T
0
s 2 s 2
采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱：
Y j Xˆ a ( j)G( j) Xa ( j)
也就恢复了模拟信号：
y(t)=xa(t)
实际上，理想低通滤波器是不可能实现的，但在满足一定精度的情况 下，总可用一个可实现网络去逼近。
利
用
模
拟
低
通
滤
波
器
恢
复
原
连
用 L 1个判定级将信号的幅度区域分成个L 区间：Ik {xk x(n) xk1} k 1, 2, , L
量化器的可能输出
xq (n) Q[x(n)] xˆk , 如果 x(n) Ik
3 量化误差分析
量化误差取决于输入信号的特征和量化器的非线性性，采 用统计方法确定量化对A/D转换器性能的影响。
图 2.1.5 (a)理想D/A转换器的特性；
图 2.1.5
(b)实际D/A转换器中的几种典型的偏移
数码 量化电平
数字信号 D/A输出信号
模拟信号
图 2.1.6 数字信号转化成模拟信号
D/A输出
模拟滤波输出
图 2.1.7 平滑滤波器输出
二、 模拟信号采样与重建
对信号进行时间上的离散化，这是对信号作数字化 处理的第一个环节。 研究内容： 信号经采样后发生的变化（如频谱的变化） 信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始 信号、如何不失真地还原信号） 由离散信号恢复连续信号的条件
讨论：采样前后频谱变换
a)、模拟信号的频谱
X a ( j) F xa (t)
xa
(t
)e
jt
dt
3、xa采(t) 样 F信1X号a ( 的j)频 2谱1
X
a
(
j)e
jt
d
X a ( j) xˆa (t)
X a ( j)与X a ( j)
b)、采样信号的频谱
M (t)
(t nT )
如果 Fs 2B ,那么Xa(F) 的周期延拓将导致谱重叠
离散时间信号的 谱包含了模拟信 号谱的混叠频率 分量，最终使得 无法从取样中恢 复出原始信号。
Xˆ
a
(
j)
X
a
(
j)
0
s 2 s 2
如果信号最高频谱超过s/2,那么在理想采样频谱中, 各次调制频谱就会互相交叠,出现频谱的“混淆”现 象 , 为 简 明 起 见 , 图 中 将 xa(j) 作 为 标 量 处 理 , 一 般 xa(j)为复数,交叠也是复数相加。当出现频谱混淆 后,一般就不可能无失真地滤出基带频谱,用基带滤波 恢复出来的信号就要失真。
采样的这些性质对离散信号和系统的分析十分重 要，要了解这些性质，首先分析采样过程。
1.采样过程
采样器一般由电子开关组成，开关每隔 Ｔ秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实 现一次采样。
采样器
连
续
时
P(t)
间
信
T
号
图 2.2.1 采样器
的
例如分两步：
采
样
图2.2.2 采样等效框图
图2.2.3 采样过程
2m
Xa(j j )
T k
T
T
X(ejw)是将 Xˆa( j) 做一个频率尺度变换，ω=ΩT,这种尺度变换也可以看做是 一种频率轴的归一化，Ω=Ωs归一化到X(ejw)的ωs=2π.时域T,频域fs=1/T
表2.2.1 一些典型的数字信号处理系统
应用系统
上限频率
采样频率
地质勘探
500Hz
奈奎斯特采样定理
要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最高
频率的两倍。 Ωs≥2Ωmax
实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混淆，采样频 率总是选得比两倍信号最高频率 max更大些，
如Ωs >(3~5)max。
同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器造成 频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器 （抗混叠滤波），阻止高于S/2频率分量进入。
数码 量化电平
数字信号 采样保持信号
量化电平 模拟信号
图 2.1.3 模拟信号的数字化
４．数模转换器
在实际中，D/A转换通常由具有取样保持（S/H） 功能的D/A转换器紧接一个低通（平滑）滤波器 来实现．
图2.1.4 D/A转换简图
在理想情况下，对一个3位双极信号，其输入输 出特性如图所示。连接点的线是一条过原点的 直线，在实际的D/A转换器中，连接点的线可能 偏离理想情形，一些典型的偏离是偏移误差、 增益误差和输入输出中的非线性特性等，说明 了这些类型的误差。
a e jmst m
m
m
所以
s 2 T 2f s
am
1 T
T
2M (t )e jmst dt
T 2
1
T 2
(t nT )e jmst dt
T T 2 n
1
T 2
(t)e jmst dt
1
T T 2
T
M (t ) 1
e jm st
T m
c)、采样后信号的频谱
Xˆ a ( j) Fxˆa (t) Fxa (t)M (t)
一般τ很小, τ越小，采样输出脉冲的幅度 越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。
2. 理想采样
开关闭合时间τ→0时，为理想采样。
特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲激函
数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地等于输入
信号在采样瞬间的幅度。
即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。我
们用M(t)表示这个冲激载波，
xa
(t)M
(t
)e
jt
dt
1
T
xa (t)
e jmst e jt dt
m
1
T M
xa
(t)e
j (ms
)t
dt
因此有，
Xˆ a ( j)
1 T
Xa(
m
j
jms )
所以，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓,
重复周期为s(采样频率)。
a)、无混叠
b)、有混叠
图2.2.4 采样后信号的频谱变换(周期)
如开关每次闭合τ秒，则采样器的输出是一 串重复周期为T，宽度为τ的脉冲，(如图)脉冲 的幅度是这段时间内信号的幅度(如图)，这一 采样过程可看作是一个脉冲调幅过程，脉冲载 波是一串周期为T、宽度为τ的矩形脉冲，以 P(t)表示,调制信号是输入的连续信号xa(t),则 采样输出为
x p (t) xa (t) p(t)
内插公式表明，连续函数xa（t）可以由它的采样值xa（nT）来表示，它等 于xa（nT）乘上对应的内插函数的总和，如图所示。
图2.2.7 内插恢复 在每一个采样点上，由于只有该采样值对应的内插函数不为零，所以保 证了各采样点上信号值不变，而采样之间的信号则由各采样值内插函数的波 形延伸迭加而成。 内插公式的意义: 证明了只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱，整个连续信号就可以 用它的采样值完全代表，而不损失任何信息——奈奎斯特定律。
在统计方法中，假定量化误差在本质上是随机的。将该误 差视为加在原信号（未被量化）上的噪声。如果输入模拟 信号在量化器的范围之内，则量化误差eq (n) 的幅度是有界 的，称所造成的误差为粒状噪声。当输入信号落在量化器 的范围之外,变成无界，并造成过载噪声。当这类噪声出现 时，可能引起严重的信号失真，我们处理这种情况的惟一 办法是为输入信号定标，以便它的动态范围落在量化器的 动态范围之内。
则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有
Xˆ a ( j)
1 T
X a ( j
m
jms )
Xˆ a (
j)
1 T
Xa(
j)
││< S/2
G(j)
T
xa(t) G(j) y(t)=xa(t)
g(t)
0
来自百度文库
S/2
图2.2.5 基带恢复
将采样信号通过一个理想低通滤波器（只让基带频谱通过），其
带宽等于折迭频率S/2，特性如上图
1-2 kHz
生物医学
1kHz
２-４kHz
机械振动
２kHz
4-10 kHz
语音
４kHz
8-16 kHz
音乐
２０kHz
40-96 kHz
视频
４MHz
8-10 MHz
4．采样的恢复（恢复模拟信号）
如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频率谱不超过
折迭频率
Xˆ
a
(
j)
X
a
(
j)
0
s 2 s 2
第2章 信号的采样和重建
内容提要
2.1数字信号处理系统的模拟接口 2.2模拟信号的采样和重建 2.3采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性* 2.4连续时间带通信号的采样*
2.5离散时间信号的采样与插值
2
第2章
教学 目标
理解数字信号处理系统的框图 1
掌握模拟信号采样和重建的基本 2 原理，采样引起的变化，重建的
M (t) (t nT )
则有
n
xˆa (t) xa (t)M (t) xa (t) (t nT) xa (nT) (t nT)
n
n
实际情况下，τ＝0达不到，但 τ<<T时，实际采样接近理想采样，理 想采样可看作是实际采样物理过程的 抽象，便于数学描述，可集中反映采 样过程的所有本质特性，理想采样对Z 变换分析相当重要。
归一化数字角频率 ω=ΩT=Ω/fs
ωs=ΩsT=2
数字频率归一化后的频谱公式
Xˆ a (
j)
1 T
Xa(
m
j
jms )
X a ( j) x(nT )e jTn
n
X (e jw ) x[n]e jwn
n
X a ( j) X (e jw ) |T X (e jT )
X (e j ) 1
一般说来，数字系统设计者比正在设计等效 的模拟系统的模拟系统设计者能更好地控制 数字信号处理系统中的公差。
图 2.1.2 (a)A/D转换器基本元件框图； （b)理想S/H电路的时域响应
2 量化与编码
A/D转换器的基本任务是将输入的连续幅度 范围转换成一组离散的数字码字集。这种 转换包含量化和编码的过程。量化是一个 非线性不可逆过程，它将时刻 t nT 的 给定幅度x(n) x(nT)映射成取自一组有限集 合内的幅度 x1, x2 , 。 , xL1
理想 采样器
通用或专用计算 机
理想内插器
图2.1.1 的简化表示
1 模数转换器
在关于连续时间和离散时间信号处理的等效 性讨论中，做了一个隐含的假设，即，模数 转换中的量化误差和数字信号处理中的舍入 误差可忽略不计。
应该强调的是，由于模拟系统中的电子元件 有公差，它们在运算期间引入噪声，所以模 拟信号处理运算不能非常精确地完成。