计算矩阵的高次幂方法小结(一)

计算矩阵的高次幂方法小结（一）

来源：文都教育

矩阵的乘法在线性代数中应用的最为广泛和基础，同时也是考研数学中的常考内容，尤其是计算矩阵的高次幂在近几年的考研试题中出现频率越来越高，掌握这类题目的解法势必会助考生一臂之力.

在考研试题中计算矩阵的高次幂通常以以下几种形式出现：

（1）矩阵结合律简化计算；

（2）递推归纳法；

（3）利用相似对角化简化计算；

举例说明如下：

例1 已知[1,2,3]α=，[1,12,1β=，设T A αβ=,其中T α为α的转置，则n

A = .

解 因为1[1,12,13]233T βα⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，则有 ()()n T n T T T T A αβαβαβαβαβ==L

111()

3()3T T n n T n A αβαβαβ---===. 本例充分利用已知条件T A αβ=，

进行简化计算，将看似复杂的问题进行简化处理. 受此启发，对于方阵任何两列（或两行）都对应成比例的情况，也可表示为一个列向量和一个行向量的乘积，再应用本例的方法来解决.

例2 已知1121211421A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，求.n A

解 因为矩阵A 每两列都成比例，因此可化为T A αβ=的形式，其中[1,2,4]α=，[1,12,14]β=. 因为1[1,12,14]234T βα⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，与例1类似，可以得到： 111()()3()3n T n T T n n T n A A αβαβαβαβ---====.

还有一种题型是利用递推归纳法来计算矩阵的高次幂.

例3 设101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，而2n ≥为整数，则12n n A A --= . 解 当2n =时，21011010200202101101A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，即22A A O -=， 所以当2n >时，原式222(2),n n A A A A O O --=-=⋅=

故当2n ≥时，有12.n n A A O --=

综上，本文总结了计算矩阵的高次幂的两种常用方法，相关的练习题考生可以在《高等数学》课本或者毛纲源老师编著的《考研数学经典常考题型同步测试题》中选取来进行练习. 掌握相应的解题方法，会在接下来的复习中更为顺利，有效节省解题时间，提高解题效率.