电磁场与电磁波_章六习题答案

第6章 平面电磁波
点评：
1、6-8题坡印廷矢量单位，
2W m ，这里原答案有误！
2、6-13题第四问应为右旋圆极化波。

3、6-19题第三问和第四问，原答案错误。

这里在介质一中，z<0。

4、矢量书写一定引起重视，和标量书写要分清，结果若是确切的数值则单位一定要标清楚。

5、马上期末考试,那些对参考答案借鉴过多的同学务必抓紧时间把每道题目弄懂！本章是考试重点，大家务必弄懂每道题。

6-1、已知正弦电磁场的电场瞬时值为
()()88,0.03sin 100.04cos 10 3x x z t t kz t kz V m πππ⎛
⎫=-+-- ⎪⎝
⎭E e e
试求：⑴ 电场的复矢量；⑵ 磁场的复矢量和瞬时值。

解：（１）()8
,0.03cos 102x z t t kz ππ⎛
⎫
=--
⎪⎝
⎭
E e +8
0.04cos 103x t kz ππ⎛⎫
--
⎪⎝
⎭
e 所以电场的复矢量为
32()0.030.04 j j jkz
x z e e e V m ππ
---⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
E e
(2) 由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量
32
000
54321
()0.030.04 7.610 1.0110j j jkz x y y
j j jkz y E j k
z e e e j z k e e e A m
ππ
π
π
ωμωμωμ--------⎡⎤∂=-∇⨯==+⎢⎥∂⎣⎦
⎡
⎤=⨯+⨯⎢⎥⎣⎦
H E e e e
磁场的瞬时值则为
()
5848(,)7.610sin 10 1.0110cos 103y z t k t kz t kz πππ--⎡⎤
⎛⎫=⨯-+⨯--
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣
⎦
H e 6-2、真空中同时存在两个正弦电磁场，电场强度分别为
1110jk z x E e -=E e ,2220jk z y E e -=E e ，
试证明总的平均功率流密度等于两个正弦电磁场的平均功率流密度之和。

解：由麦克斯韦方程
11111001()jk z x
y
y E jk E e j z
ωμ-∂∇⨯==-=-∂E e e H 可得
11
1100
jk z y
k E e ωμ-=H e
故
2*11011101Re 22z
k E ωμ⎡⎤=⨯=⎢⎥⎣⎦
S E H e 同理可得
22222002()y jk z x
x E jk E e j z
ωμ-∂∇⨯=-=--=-∂E e e H
22
2200
jk z x
k E e ωμ-=-H e
2*22022201Re 22z
k E ωμ⎡⎤=⨯=⎢⎥⎣⎦
S E H e 另一方面，因为
12=+E E E
0y x
x
y
E E j z
z
ωμ∂∂∇⨯=-+=-∂∂E e e H 所以
212
1
20100
jk z jk z x
y
k k E e E e ωμωμ--=-+H e e
22
*110220120011Re 22z k E k E ωμωμ⎛⎫⎡⎤=⨯=+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦
⎝⎭S E H e S S
6-5、已知在自由空间中球面波的电场为0sin cos()E t kr r θθω⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
E e ，
求H 和k 。

解：先求k ，将E θ代入波动方程
22
00
2
0E E t θ
θμε∂∇-=∂ 其中
()()22020220
021sin cos 1sin sin cos sin 21 sin sin()sin cos()E E r t kr r r r r E t kr r r kE t kr k E t kr r r
θθωθθωθθθθωθω⎧⎫
∂∂⎡⎤∇=
-+⎨⎬⎢⎥∂∂⎣⎦⎩⎭⎧⎫
∂∂⎡⎤-⎨⎬⎢⎥∂∂⎣⎦⎩⎭=
---
远区场，略去
2
1r 项 2
2
201
sin cos()E k
E t kr k E r
θθθω∇=--=- 而 22
2
E E t
θθω∂=-∂ 因此有
2
2
00,k k ω
με==
现来求H ，由0
t
μ∂∇⨯=-∂H
E 可得 0
01()sin sin()k
rE E t kr t r r
r
ϕθϕμθω∂∂
-=∇⨯==-∂∂H E e e
000sin sin()sin cos()E k
E t kr dt t kr r
r ϕϕ
θωθωμ⎫
=--=-⎪⎭
⎰H e e
6-6、已知在空气中()z 92cos 15e ,310(Hz)j y j x f βπ-=-=⨯H e ，试求E 和β。

解：由22
0k ∇+=H H 可得
()2
22
00150πβωμε⎡⎤-++=⎣⎦
故 22292
2
0082
1(15)(610)(15)(310)
βωμεπππ=-=⨯-⨯ 解得
()13.241.6 rad /m βπ=
==
()()()()00
41.641.611()
1
2cos 15e 30sin 15e 496cos 15e 565sin 15e y y x
z
j z j z
x z j z j z
x z H H j j z
x
x j x j j x x ββωεωεβπππωεππ----∂∂=
∇⨯=
-+∂∂⎡⎤=
+⎣⎦=-+E H e e e e e e 6-7、均匀平面波的磁场强度H 的振幅为
1
3π
A /m ，以相位常数30 rad/m 在空气中沿z -e 方向传播。

当t ＝0和z ＝0时，若H 的取向为y -e ，试写出E 和H 的表示式，并求出
波的频率和波长。

解：cos()y m H t z ωβ=-+H e 其中 1
, 303m H βπ
=
= 89830310910, 14.3210220.21 v f m
ω
ωβπ
π
λβ
==⨯⨯=⨯==⨯=
=
所以 ()91
cos 910303y
t z π
=-⨯+H e A /m ()940cos 91030x x H t z η==⨯+E e e V /m
6-8、已知真空传播的平面电磁波电场为 100cos(2)(V /m)x E t z ωπ=-
试求此波的波长、频率、相速度、磁场强度、波阻抗以及平均能流密度矢量。

解：由题知
22(rad /m)k π
πλ
=
=
故波长 1(m)λ=
频率 8310(Hz)c
f λ
=
=⨯
相速度
8310(m /s)v c ==
=⨯
波阻抗
0120()ηπ==Ω 磁场强度
1
1
0.265cos(2)(A /m)z x x y E t z ωπηη=
⨯=
⨯=-H n E e e e
电场、磁场的复矢量为 j2100z
x e π-=E e ，j20.265e z y π-=H e
平均能流密度矢量为 ()2* W /m 1
Re()13.26 2
av z =
⨯=S E H e 6-11、说明下列各式表示的均匀平面波的极化形式和传播方向。

⑴ 11jkz jkz x y jE e jE e =+E e e
⑵ sin()cos()x m y m E t kz E t kz ωω=-+-E e e ⑶ 00jkz jkz x y E e jE e --=-E e e ⑷ sin()cos()44
x m y m E t kz E t kz π
π
ωω=-+
+--E e e ⑸ 00sin()2cos()x y E t kz E t kz ωω=-+-E e e ⑹ sin()cos()4
x m y m E t kz E t kz π
ωω=--
+-E e e
解：⑴ 沿z -e 方向传播的线极化波； ⑵ 沿z e 方向传播的左旋圆极化波； ⑶ 沿z e 方向传播的右旋圆极化波； ⑷ 沿z e 方向传播的线极化波；
⑸ 沿z e 方向传播的左旋椭圆极化波（椭圆的轴与坐标轴重合）； ⑹ 沿z e 方向传播的左旋椭圆极化波（椭圆的轴与坐标轴不重合）。

6-13、电磁波在真空中传播，其电场强度矢量的复数表达式为
4j20(j )10z x y e π--=-E e e V/m
求：⑴ 工作频率f ；
⑵ 磁场强度矢量的复数表达式； ⑶ 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值； ⑷ 此电磁波是何种极化，旋转方向如何。

解：⑴ 电场强度矢量的复数表达式为
()420()10 /j z x y j e V m π--=-E e e
所以有
20k π=
，8310v =
=⨯，2k π
λ
=
，f v λ=
∴ 9310v
f Hz λ
=
=⨯
电场强度的瞬时值为
()410cos()sin()/x y t kz t kz V m ωω-⎡⎤=-+-⎣⎦E e e
⑵ 磁场强度复矢量为
4200
1
1
()10j z z y x j e πηη--=
⨯=
+H e E e e
，0120ηπ=
= 磁场强度的瞬时值为
()4
010(,)cos()sin()/y
x z t t kz t kz A m ωωη-⎡⎤=
--⎣-⎦H e e ⑶ 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值为
8
22
010(,)(,)(,)cos ()sin ()z z z t z t z t t kz t kz ωωη-⎡⎤=⨯==
+--⎣
⎦S E H e e ()*
280
110Re[()(W /m )]2av z z z η-=⨯=S E H e ⑷
此均匀平面电磁波的电场强度矢量在x 方向和y 方向的分量振幅相等，且y 方
向的分量比x 方向的分量相位滞后
2
π
，故为右旋圆极化波。

6-15、海水的电导率4S/m σ=，相对介电常数81r ε=，相对磁导率1r μ=，试分别计算频率f ＝10kHz 、f ＝1MHz 、f ＝100MHz 、f ＝1GHz 的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。

解：f
f r 9
01089.02⨯=
=εεπσωεσ ⑴ K f 10=,
1＞＞ωε
σ
, 4100.126Np m αππ-=
=⨯= 8.152==
β
π
λ
, (1100.0316(1)c j j ηππ-=+=⨯=+Ω ⑵ 1,1, 1.26, 1.58, 0.316(1)c f M Np m m j σ
απληπωε
====+Ω　＞＞
⑶
100, 8.9, 11.97f M Np m σαπωε====
220.149, 13.39C m π
πληβ
π=
=
===
⑸
21,
0.89, 24.69, 0.03, 64.88 c f G Np m m σπ
απλωεπ
η======
6-19、频率f ＝100MHz 的均匀平面波，从空气中垂直入射到z ＝0处的理想导体表面。

假设入射波电场的振幅6mV /m im E =，沿x 方向极化。

（1）写出入射波电场、磁场的复数表示式和瞬时值表示式；（2）写出反射波电场、磁场的复数表示式和瞬时值表示式；（3）写出空气中合成波电场、磁场的复数表示式和瞬时值表示式；（4）确定距导体平面最近的合成波电场为零的位置。

解：⑴ 100MHz f =，8
2210f ωππ==⨯，8
6
3103m 10010
c f λ⨯===⨯， 223
k π
πλ
=
=
入射波电场的复数表示式和瞬时值表示式分别为
23
im 0.006j z jkz
i x x E e
e
π--=E =e e
8im 2(,)cos()0.006cos(210)3
i x x z t E t kz t z πωπ-=⨯-
E =e e 入射波磁场的复数表示式和瞬时值表示式分别为
23
im 0
0.006120j
z jkz
i y
y
E e
e πηπ
--=H =e e
8im
0.0062(,)cos()cos(210)1203
i y
y
E z t t kz t z π
ωπηπ-=⨯-H =e e ⑵ 反射波电场的复数表示式和瞬时值表示式分别为
23
0.006j
z jkz
r x im x E e e
π-=-E =e e
8im 2(,)cos()0.006cos(210)3
r x x z t E t kz t z π
ωπππ++=⨯+
+E =e e 反射波磁场的复数表示式和瞬时值表示式分别为
23
im 0
0.006120j
z jkz
r y
y
E e
e πηπ
=H =e e
8im
0.0062(,)cos()cos(210+)1203
y
y
E z t t kz t z π
ωπηπ+=⨯H =e e ⑶ 空气中合成波电场的复数表示式和瞬时值表示式分别为
im 2sin jkz jkz i r x x im x im E e E e j E kz
-=+=-=-E E E e e e
82(,)=2sin()sin()20.006sin(
)sin(210)3
x im x z t E kz t z t π
ωπ=⨯⨯E e e 空气中合成波磁场的复数表示式和瞬时值表示式分别为
im im 0
im
220.0062 cos()cos(z)
1203jkz
jkz
i r y y
y
y E e E e E kz ηηπ
ηπ-=+⨯=H =H +H e e =e e
80
220.0062(,)cos()cos()cos cos(210)1203
im
y
y
E z t kz t z t π
ωπηπ⨯⎛⎫
=⨯
⎪⎝⎭
H =e e ⑷ 由sin()0kz =，且离导体最近，得到kz π=-，即z ＝－3/2m
6-20、一右旋圆极化波垂直入射到位于z ＝ 0的理想导体板上，其电场强度的复数表示式为j 0)z i x y E j e β-=-E (e e （1）确定反射波的极化方式；（2）求导体板上的感应电流；（3）以余弦为基准，写出总电场强度的瞬时表示式。

解：⑴ 设反射波的电场强度为
0)j z r x rx y ry E E E e β=+E (e e
由z ＝0处的边界条件可得()
0i r z =+=E E ，可得
00, rx ry E E E jE =-=
所以 0()j z r x y E j e β=-+E e e
反射波是一个沿方向－z 传播的左旋圆极化波。

⑵ 入射波的磁场为 j 0
)z i
i z x y E j e βηη-=⨯
=
+0
E H e (e e
反射波的磁场为
j 0
)z r
r z x y E j e βηη=-⨯
=
+0
E H e (e e
导体表面上总的磁场为
()0
02)i r x y z E j η=+=
+0
H =H H (e e
导体表面上的感应面电流为
()0
00
2(j )S z x y z E η==-⨯=
-J e H e e
⑶ 合场强的瞬时表达式为
()j 000(,)Re Re ()() Re 2()sin 2sin()(sin cos )
j t
i r z j t j z j t
x y x y j t
x y x y z t e E j e e j e e E j j ze E z t t ωβωβωωββωω-⎡⎤=+⎣⎦
⎡⎤=-+-+⎣⎦
⎡⎤=--=-⎣⎦E E E e e e e e e e e 6-21、均匀平面波的电场振幅为j0
100m E e +=V/m ，从空气垂直入射到无损耗的介质平面上，已知介质的20202,4,0μμεεσ===，求反射波和透射波中电场的振幅。

解：101020202, , 4, , 0εεμμεεμμσ=====
所以12120, 60ηπηπ==
=，反射系数和透射系数分别为 2122121212
, 33
R T ηηηηηηη-=
=-==++
反射波和透射波中电场的振幅分别为
112133.3 , 66.7 m m m m E RE V m E TE V m -+++====
6-23、频率为300f MHz =的线极化均匀平面电磁波，其电场强度振幅值为2/V m ，从空气垂直入射到4r ε=、1r μ=的理想介质平面上，求分界面处的
⑴ 反射系数、透射系数、驻波比。

⑵ 入射波、反射波和透射波的电场和磁场、
⑶ 入射波、反射波和透射波的平均功率密度。

解：设入射波为x 方向上的线极化波，沿z 方向传播。

⑴ 波阻抗为
1120ηπ==
，260ηπ=== 反射系数、透射系数和驻波比分别为
212113ηηηη-Γ==-+，221223ητηη==+，121S +Γ==-Γ ⑵ 入射波、反射波和透射波的电场和磁场：
300f MHz =，11c m f λ=
=
，220.5v f λ=== 1122k ππλ==，2224k ππλ==
∴ 1202jk z j z i x i x E e E e e e π--==，12011160jk z j z i y i y
H e E e e e πηπ--== 12023jk z j z r x i x E e E e e e π=Γ=-，12011180jk z j z i r y y E e H e e e πηπ
Γ== 24043jk z
j z t x i x E e E e e e πτ--==，2402145jk z j z i t y y E e H e e e πτηπ--== ⑶ 入射功率、反射功率和透射波的平均功率密度为
220,11/260i av i
z z E S e e W m ηπ== 22020,111/22540i r av r
z z z E E S e e e W m ηηπΓ=-=-=- 2
2020,222/22135i t av t z z z E E S e e e W m τηηπ=== 显然,,,av i av r av t S S S -=。