选修2-2演绎推理课时作业
人教新课标版数学高二-人教B版选修2-2课时作业 合情推理
一、选择题1．如图2－1－5为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()图2－1－5A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大【解析】由图知，珠子三白二黑周而复始，相继排列，因为36÷5＝7余1，所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同，即为白色，故选A.【答案】 A2．(2013·佛山高二检测)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为() A．76B．80C．86 D．92【解析】由题意知|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，则可归纳出等式右端值与不同整数解的个数成倍数关系，且解的个数为等式值的4倍，则|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.【答案】 B3．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2·a n(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n等于()A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n －1D.22n －1【解析】 由a 1＝1，S 2＝22·a 2＝a 1＋a 2得a 2＝13，又a 1＋a 2＋a 3＝9×a 3得a 3＝16，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝42·a 4得a 4＝110…猜想a n ＝2n (n ＋1).【答案】 B4．(2013·杭州高二检测)已知集合A ＝{3m ＋2n |m >n 且m ，n ∈N }，若将集合A 中的数按从小到大排成数列{a n }，则有a 1＝31＋2×0＝3，a 2＝32＋2×0＝9，a 3＝32＋2×1＝11，a 4＝33＝27，…，依次类推，将数列依次排成如图2－1－5所示的三角形数阵，则第六行第三个数为( )a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6… 图2－1－5A ．247B ．735C ．733D ．731【解析】 由条件可以看出，第s 行第t 个数是3s ＋2(t －1)，所以第六行第三个数应为36＋2×(3－1)＝729＋4＝733.【答案】 C5．(2013·南昌高二检测)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52011的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125【解析】 ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58末四位数字为0 625,59末四位数字为3 125,510末四位数字为5 625,511末四位数字为8 125,512末四位数字为0 625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，∴52011＝54×501＋7末四位数字为8 125.【答案】 D 二、填空题6．(2013·大同高二检测)已知2＋23＝2·23，3＋38＝3·38，4＋415＝4·415， (8)at＝8·at(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________. 【解析】由所给等式知，a＝8，t＝82－1＝63，∴a＋t＝71.【答案】717．观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N＋，31×2×12＋42×3×122＋…＋n＋2n(n＋1)×12n＝________.【解析】观察所给等式知，第n个等式的右边为1－1(n＋1)×2n.【答案】1－1(n＋1)×2n8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b22，将此结论类比到空间，得到相类似的结论为：________.【解析】利用类比推理，可把Rt△ABC类比为三棱锥P－ABC，且PA，PB，PC两两垂直，当PA＝a，PB＝b，PC＝c时，其外接球半径为R＝a2＋b2＋c22.【答案】在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，则三棱锥P－ABC的外接球的半径为R＝a2＋b2＋c22三、解答题9．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2－1－6(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．图2－1－6(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．【解】(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，……f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)．∴f(n)－f(1)＝4＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.10．在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值32a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．【解】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值63a.证明：设M是正四面体P－ABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P－ABC＝V M－ABC＋V M－PAB＋V M－PAC＋V M－PBC＝13·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)，而S△ABC＝34a2，V P－ABC＝212a3，故d1＋d2＋d3＋d4＝63a(定值)．11．(1)下图(a)，图(b)，图(c)，图(d)，为四个平面图形．数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们围成了多少个区域？请将结果填入下表中．(a)(b)(c)(d)顶点个数边的条数区域个数(a)(2)什么关系．(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个图有多少条边．【解】(1)各平面图形的顶点个数、边的条数、区域个数分别为：(a)3,3,2.(b)8,12,6.(c)6,9,5.(d)10,15,7.(2)观察：3＋2－3＝2.8＋6－12＝2.6＋5－9＝2.10＋7－15＝2.通过观察发现，它们的顶点个数V，边的条数E，区域个数F之间的关系为V＋F－E＝2.(3)由已知V＝999，F＝999，代入上述关系式得E＝1 996，故这个图有1 996条边.。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：2.1 合情推理与演绎推理2.1.2 Word版含答案
2.1.2演绎推理[学习目标]1．理解演绎推理的意义．2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．[知识链接]1．演绎推理的结论一定正确吗？答演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．2．如何分清大前提、小前提和结论？答在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义．3．演绎推理一般是怎样的模式？答“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．[预习导引]1．演绎推理要点一用三段论的形式表示演绎推理例1把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．解(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提水会沸腾．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提2100＋1是奇数，小前提2100＋1不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提y＝tan α是三角函数，小前提y＝tan α是周期函数．结论规律方法用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪演练1试将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；(4)等差数列的通项公式具有形式a n＝pn＋q(p，q是常数)，数列1,2,3，…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有a n＝pn＋q的形式．解(1)大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行；小前提：海王星是太阳系里的大行星；结论：海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(2)大前提：所有导体通电时发热；小前提：铁是导体；结论：铁通电时发热．(3)大前提：一次函数都是单调函数； 小前提：函数y ＝2x －1是一次函数； 结论：y ＝2x －1是单调函数．(4)大前提：等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q ； 小前提：数列1,2,3，…，n 是等差数列；结论：数列1,2,3，…，n 的通项具有a n ＝pn ＋q 的形式． 要点二 演绎推理的应用例2 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长均为a ，D 、E 分别为C 1C 与AB 的中点，A 1B 交AB 1于点G .(1)求证：A 1B ⊥AD ； (2)求证：CE ∥平面AB 1D . 证明(1)连接BD .∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是棱长均为a 的正三棱柱， ∴A 1ABB 1为正方形，∴A 1B ⊥AB 1. ∵D 是C 1C 的中点，∴△A 1C 1D ≌△BCD ，∴A 1D ＝BD ，∵G 为A 1B 的中点，∴A 1B ⊥DG ， 又∵DG ∩AB 1＝G ，∴A 1B ⊥平面AB 1D . 又∵AD ⊂平面AB 1D ，∴A 1B ⊥AD .(2)连接GE ，∵EG ∥A 1A ，∴GE ⊥平面ABC . ∵DC ⊥平面ABC ，∴GE ∥DC ，∵GE ＝DC ＝12a ，∴四边形GECD 为平行四边形，∴CE ∥GD .又∵CE ⊄平面AB 1D ，DG ⊂平面AB 1D ， ∴CE ∥平面AB 1D .规律方法 (1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．跟踪演练2 求证：函数y ＝2x －12x ＋1是奇函数，且在定义域上是增函数．证明 y ＝(2x ＋1)－22x＋1＝1－22x ＋1， 所以f (x )的定义域为R .f (－x )＋f (x )＝⎝⎛⎭⎫1－22－x ＋1＋⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1＝2－⎝⎛⎭⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝⎛⎭⎫22x ＋1＋2·2x2x ＋1＝2－2(2x ＋1)2x ＋1＝2－2＝0.即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝2⎝⎛⎭⎫12x 2＋1－12x 1＋1＝2·2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1). 由于x 1<x 2，从而2x 1<2x 2，2x 1－2x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )为增函数． 要点三 合情推理、演绎推理的综合应用例3 如图所示，三棱锥A －BCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，O 为点A 在底面BCD 上的射影．(1)求证：O 为△BCD 的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明． (1)证明 ∵AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，AB ∩AC ＝A ， ∴AD ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC . ∴AD ⊥BC ，又∵AO ⊥平面BCD ，AO ⊥BC ， ∵AD ∩AO ＝A ，∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥DO ，同理可证CD ⊥BO ， ∴O 为△BCD 的垂心．(2)解 猜想：S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD＝S 2△BCD .证明：连接DO 并延长交BC 于E ，连结AE ， 由(1)知AD ⊥平面ABC ， AE ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AE ，又AO ⊥ED ， ∴AE 2＝EO ·ED ，∴⎝⎛⎭⎫12BC ·AE 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·EO ·⎝⎛⎭⎫12BC ·ED ， 即S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD . 同理可证：S 2△ACD ＝S △COD ·S △BCD ， S 2△ABD ＝S △BOD ·S △BCD . ∴S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S △BCD ·(S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD )＝S △BCD ·S △BCD ＝S 2△BCD .规律方法 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．跟踪演练3 已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n ＝na 1a 2…a n (n ∈N *)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论． 解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也是等差数列．证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝na 1＋n (n －1)d 2n ＝a 1＋d2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d2为公差的等差数列．1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式答案 A解析 A 是演绎推理，B 、D 是归纳推理，C 是类比推理．2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又y ＝log 13 x 是对数函数(小前提)，所以y＝log 13x 是增函数(结论)．”下列说法正确的是( )A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提都错误导致结论错误 答案 A解析 y ＝log a x 是增函数错误．故大前提错．3．把“函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：________；小前提：________；结论：________.答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数y ＝x 2＋x ＋1是二次函数 函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线4． “如图，在△ABC 中，AC >BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD >∠BCD ”．证明：在△ABC 中 ， 因为CD ⊥AB ，AC >BC ， ① 所以AD >BD ， ② 于是∠ACD >∠BCD .③则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号) 答案③ 解析 由AD >BD ，得到∠ACD >∠BCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD >BD ”，而AD 与BD 不在同一三角形中，故③错误．1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.一、基础达标1．下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤答案 D解析根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．2．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论答案 C解析这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案 C解析由于函数f(x)＝sin (x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是() A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形答案 B解析利用三段论分析：大前提：矩形都是对角线相等的四边形；小前提：四边形ABCD是矩形；结论：四边形ABCD的对角线相等．5．三段论：“①小宏在2013年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2013年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2013年的高考中正常发挥”中，“小前提”是________(填序号)．答案③解析在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．6．在求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当a有意义时，a≥0；小前提是log2x－2有意义；结论是________．答案y＝log2x－2的定义域是[4，＋∞)解析由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.证明因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)．二、能力提升8．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是()A．小前提错B．结论错C．正确的D．大前提错答案 C解析由三段论推理概念知推理正确．9．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.其中正确的命题个数是()A．1 B．2C ．3D ．4答案 B解析 ①中，m 还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m 与n 相交时才成立，③错误；④正确．故选B.10．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 010)＝________.答案 12解析 令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1) 即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)① 令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x ) ②由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)， 即f (x －1)＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝－f (x ＋3)，∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6)， ∴f (x )＝f (x ＋6)， 即f (x )周期为6，∴f (2 010)＝f (6×335＋0)＝f (0)对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得 4f (1)f (0)＝2f (1)， ∴f (0)＝12，即f (2 010)＝12.11．用演绎推理证明函数f (x )＝|sin x |是周期函数．证明 大前提：若函数y ＝f (x )对于定义域内的任意一个x 值满足f (x ＋T )＝f (x )(T 为非零常数)，则它为周期函数，T 为它的一个周期． 小前提：f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝f (x )． 结论：函数f (x )＝|sin x |是周期函数．12．S 为△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC .求证：AB ⊥BC . 证明如图，作AE ⊥SB 于E .∵平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝SB .AE ⊂平面SAB . ∴AE ⊥平面SBC ， 又BC ⊂平面SBC .∴AE ⊥BC .又∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC .∵SA ∩AE ＝A ，SA ⊂平面SAB ，AE ⊂平面SAB ， ∴BC ⊥平面SAB .∵AB ⊂平面SAB .∴AB ⊥BC . 三、探究与创新13．设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2(其中a ＞0且a ≠1)．(1)5＝2＋3请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示； (2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解 (1)由f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32a 2－a －22＋a 3－a －32a 2＋a －22＝a 5－a －52，又g (5)＝a 5－a －52因此，g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)．(2)由g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，即g (2＋3)＝ f (3)g (2)＋g (3)f (2)，于是推测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )．证明 因f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2(大前提)，所以g (x ＋y )＝a x ＋y －a－(x ＋y )2，g (y )＝a y －a －y 2，f (y )＝a y ＋a －y2(小前提及结论)，所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＋a x －a －x 2a y ＋a －y 2＝a x ＋y －a－(x ＋y )2＝g (x ＋y ).。
高中数学选修2-2课时作业12：2.1.2 演绎推理
2.1.2 演绎推理一、选择题1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )A ．类比推理B ．归纳推理C ．演绎推理D ．一次三段论2．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数．以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但推理形式错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误4．函数y ＝x cos x －sin x 在下列哪个区间内是增函数( )A ．(π2，3π2) B ．(π，2π) C ．(3π2，5π2) D ．(2π，3π)5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且f (x )在(2，＋∞)上为增函数．已知x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能等于0D ．可正也可负6．下面几种推理中是演绎推理的是( )A ．因为y ＝2x 是指数函数，所以函数y ＝2x 经过定点(0,1)B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *) C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积为πab D ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中，球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 27．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <128．设是R 的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a b ∈A ，则称A 对运算封闭．则下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集 二、填空题9．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是__________________．10．有一段演绎推理：大前提：整数是自然数；小前提：－3是整数；结论：－3是自然数．这个推理显然错误，则错误的原因是________错误．(填“大前提”“小前提”“结论”)11．若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为∅，则实数a 的取值范围为__________．12．若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2 018)f (2 017)＝________. 三、解答题13．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，(22 015＋1)是奇数，所以(22 015＋1)不能被2整除；(2)三角函数都是周期函数，y ＝tan α是三角函数，因此y ＝tan α是周期函数；(3)因为△ABC 三边的长依次为3,4,5，所以△ABC 是直角三角形．四、探究与拓展14．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x n n)．若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．15.如图，A ，B ，C ，D 为空间四点，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝BC ＝ 2.等边三角形ADB 以AB 为轴旋转．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．[答案]精析1．C 2.C 3.C 4.B 5.A 6.A 7.C 8.C9．y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)10．大前提 11.[0,2] 12.2 01813．解 (1)一切奇数都不能被2整除，大前提22 015＋1是奇数，小前提22 015＋1不能被2整除．结论(2)三角函数都是周期函数，大前提y ＝tan α是三角函数，小前提y ＝tan α是周期函数．结论(3)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提 △ABC 三边的长依次为3,4,5，且32＋42＝52，小前提△ABC 是直角三角形．结论 14.33215．解 (1)取AB 的中点E ，连接CE ，DE . 因为AC ＝BC ＝2，AB ＝2，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以CE ⊥AB .因为△ADB 是等边三角形，所以DE ⊥AB .又平面ADB ⊥平面ABC ，且平面ADB ∩平面ABC ＝AB ，所以DE ⊥平面ABC ，所以DE ⊥CE .由已知得DE ＝32AB ＝3，CE ＝1. 所以在Rt △CDE 中，CD ＝DE 2＋CE 2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明如下：当D在平面ABC内时，因为BC＝AC，AD＝BD，所以C，D都在AB的垂直平分线上，所以AB⊥CD.当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE，AB⊥CE，又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.又CD⊂平面CDE，所以AB⊥CD.综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD.。
人教版高中数学高二选修2-2课时作业2-1合情推理与演绎推理
课时作业7合情推理与演绎推理一、选择题1．如果对象A和对象B都具有相同的属性P，Q，R等，此外已知对象A还有一个属性S，而对象B还有一个未知的属性x，由此类比推理，可以得出下列哪个结论可能成立()A．x就是P B．x就是QC．x就是R D．x就是S各自另外的属性S只能类比x.故应选D.D2．由数列1,10,100,1 000，…，猜测该数列的第n项可能是() A．10n B．10n－1C．10n＋1D．11n由数字特征，归纳推测可能是10n－1.故应选B.B3．观察下图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A．■B．△C．▭D．○图形涉及三种符号▭，○，△；其中○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以缺一个黑色▭符号，即应画上■才合适．故应选A.A4．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④本题可利用合情推理的定义进行判断，其中③中前提太特殊导致结论很难判断真假，因此不是合情推理．故应选C.C5．三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)·r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为()A．V＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)由平面向空间类比时，一般是面积对应体积，12对应13，边长对应面积，内切圆半径对应内切球半径．故应选C. C6．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，则猜想a n ＝( )A ．2cos θ2nB ．2cosθ2n －1 C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2na 2＝2cos θ2，a 3＝2cos θ4，a 4＝2cos θ8，…猜测a n ＝2cos θ2n －1.故应选B. B7．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推出扇形的面积公式S 扇＝( )A.r 22B.l 22C.lr 2D ．不可类比由类比推理知S 扇＝12lr .故应选C. C8．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7＝( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111 A ．1 111 110 B ．1 111 111 C ．1 111 112D ．1 111 113类比前五行可得出结论B. 故应选B. B 二、填空题9．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________. 因为f (x )在R 上是奇函数， 所以f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )， 又y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称．所以f (x )＝f (1－x )， 所以f (1)＝f (1－1)－f (0)＝0，f (2)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)＝0， f (3)＝f (1－3)＝f (－2)＝－f (2)＝0， f (4)＝f (1－4)＝f (－3)＝－f (3)＝0， f (5)＝f (1－5)＝f (－4)＝－f (4)＝0， 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0. 010．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N ＋)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________成立．事实上，对等差数列{a n }，如果a k ＝0，则a n ＋1＋a 2k －1－n ＝a n＋2＋a 2k －2－n ＝…＝a k ＋a k ＝0.所以有：a 1＋a 2＋ …＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋(a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2k －2－n ＋a 2k －1－n )(n <2k －1，n ∈N ＋)．从而对等比数列{b n }，如果b k ＝1，则有等式：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 2k －1－n (n <2k －1，n ∈N ＋)成立．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，b ∈N *) 11．下表给出了一个“三角形数阵”：14 12，14 34，38，316 1，12，14，18……依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是________． 观察可知第10行第一个数为104，且每行均为公比是12的等比数列，所以第6个数为104×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝564. 56412．在工程技术中，常用到双曲正弦函数sh x ＝e x －e －x2和双曲余弦函数ch x ＝e x ＋e －x2，其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正余弦函数有：cos(x ＋y )＝cos x cos y －sin x sin y 成立，而关于双曲余弦函数满足ch(x ＋y )＝ch x ch y －sh x sh y ，请你类比此关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新公式______________________________．以下答案供参考： ch(x －y )＝ch x ch y ＋sh x sh y ； sh(x ＋y )＝sh x ch y ＋ch x sh y ； sh2x ＝2sh x ·ch x ；ch2x ＝ch 2x －sh 2x ＝1＋2sh 2x ＝2ch 2x －1； ch 2x －sh 2x ＝1等． 三、解答题 13．设S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×(n ＋1)，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，归纳并猜想出结果．当n ＝1,2,3,4时，计算得原式的值分别为：S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，S 4＝45.观察这4个结果都是分数，每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1.归纳猜想：S n ＝n n ＋1.推算：由11×2＝1－12，12×3＝12－13，…，1n ×(n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.14．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y ＝tan α是三角函数，因此y ＝tan α是周期函数；(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°.(1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃， 小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃， 结论：水会沸腾．(2)大前提：一切奇数都不能被2整除，小前提：2100＋1是奇数，结论：2100＋1不能被2整除．(3)大前提：三角函数都是周期函数，小前提：y＝tanα是三角函数，结论：y＝tanα是周期函数．(4)大前提：两条直线平行，同旁内角互补，小前提：∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，结论：∠A＋∠B＝180°.15．如下图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.16．如下图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，D，E是垂足，求证：(1)△ABD是直角三角形；(2)AB的中点M到D，E的距离相等．(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形(大前提) 在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°(小前提) 所以△ABD是直角三角形(结论)(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(大前提)因为DM是直角△ABD斜边上的中线，(小前提)所以DM＝12AB. (结论)同理EM＝12AB.所以DM＝EM，即M到D，E的距离相等．。
2019-2020年高中数学 2.1 合情推理与演绎推理课时作业2 新人教A版选修2-2
2019-2020年高中数学 2.1 合情推理与演绎推理课时作业2 新人教A版选修2-2．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为解析：观察图中每一行，每一列的规律，从形状和是否有阴影入手．每一行，每一列中三种图形都有，故填长方形．又每一行每一列中的图形的颜色应有二黑一白，故选答案：A．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝7，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( A.n n －4＋8－n (8－n )－4＝2 n n教学目标：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、情景设置：如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量ABCD（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片） 1、数量与向量有何区别？ 2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？ （三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：A(起点)B（终点）a长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．．的起点无关．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（四）理解和巩固：例1 书本58页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例3下列命题正确的是（）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（）课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.2．书本59页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本59页习题2.1第3、5题。
【人教B版】选修2-2：2.1.2《演绎推理》课时作业及答案
【成才之路】高中数学第2章 2.1第2课时演绎推理课时作业新人教B版选修2-2一、选择题1．下面说法正确的个数为( )①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1 B．2C．3 D．4[答案] C2．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的”中的“小前提”是( )A．①B．②C．①②D．③[答案] B3．(2015·锦州期中)若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB ＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是( )A．三段论推理B．假言推理C．关系推理D．完全归纳推理[答案] A[解析]根据三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大提前)，在△ABC中，AB＝AC，(小前提)所以在△ABC中，∠B＝∠C(结论)，符合三段论．4．观察下面的演绎推理过程，判断正确的是( )大前提：若直线a⊥直线l，且直线b⊥直线l，则a∥b.小前提：正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥AA1，且AD⊥AA1.结论：A1B1∥AD.A．推理正确B．大前提出错导致推理错误C．小前提出错导致推理错误D．仅结论错误[答案] B[解析]由l⊥a，l⊥b得出a∥b只在平面内成立，在空间中不成立，故大前提错误．5．下面的推理是关系推理的是( )A．若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC 中，∠B＝∠CB．因为2是偶数，并且2是素数，所以2是素数C．因为a∥b，b∥c，所以a∥cD．因为2是有理数或无理数，且2不是有理数，所以2是无理数[答案] C[解析]A是三段论推理，B、D是假言推理．故选C.6．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等．”补充上述推理的大前提( )A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形[答案] B[解析]由结论可得要证的问题是“对角线相等”，因此它应在大前提中体现出来．故选B.7．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提使用错误D．使用了“三段论”，但小前提使用错误[答案] D[解析]应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．8.如图，因为AB∥CD，所以∠1＝∠2，又因为∠2＋∠3＝180°，所以∠1＋∠3＝180°.所用的推理规则为( )A．假言推理B．关系推理C．完全归纳推理D．三段论推理[答案] D[解析]关系推理的规则是“若a＝b，b＝c，则a＝c”，或“若a∥b，b∥c，则a∥c”．故选D.二、填空题9．设f(x)定义如下数表，{x n}满足x0＝5，且对任意自然数n均有x n＋1＝f(x n)，则x2 015的值为________.[答案] 4[解析]由数表可知x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(x1)＝f(2)＝1，x3＝f(x2)＝f(1)＝4，x4＝f(x3)＝f(4)＝5，x5＝f(x4)＝f(5)＝2，……∴{x n}的周期为4.∴x2 015＝x3＝4.10．(2015·徐州期末)给出下列演绎推理：“自然数是整数，________，所以，2是整数”，如果这个推理是正确的，则其中横线部分应填写____________．[答案]2是自然数[解析] 由演绎推理三段论可知：“自然数是整数，2是自然数，所以，2是整数”． 11．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．[答案] log 2x －2≥0 三、解答题12.如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．[证明] 在△ABD 中，因为E ，H 分别是AB ，AD 的中点，所以EH ∥BD ，EH ＝12BD ，同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD ，所以EH ∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形.一、选择题1．下面是一段演绎推理：大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线； 小前提：已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α； 结论：所以直线b ∥直线a . 在这个推理中( ) A ．大前提正确，结论错误 B ．小前提与结论都是错误的 C ．大、小前提正确，只有结论错误 D ．大前提错误，结论错误 [答案] D[解析] 如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α时，直线b 与直线a 可能平行，也可能异面，故结论错误，选D.2．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，……，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92[答案] B[解析] 记|x |＋|y |＝n (n ∈N *)的不同整数解(x ，y )的个数为f (n )，则依题意有f (1)＝4＝4×1，f (2)＝8＝4×2，f (3)＝12＝4×3，……，由此可得f (n )＝4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为f (20)＝4×20＝80，选B.3．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A sin B ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形[答案] A[解析] 由sin C ＝2cos A sin B 得：c ＝2·b 2＋c 2－a 22bc·b ，即：a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC为等腰三角形，故选A.4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝log 5(n ＋4)，则数列{a n }从第二项起是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．以上都错[答案] B[解析] 因S n ＝log 5(n ＋4)，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝log 5n ＋4n ＋3＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋3，∴a n 的值随n 的增大而减小． ∴{a n }为递减数列，故选B. 二、填空题5．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b2，n ＝lga ＋b2，则m 与n 的大小关系为________．[答案] m >n[解析] ∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab >a ＋b ， ∴a ＋b2>a ＋b2，∴m >n .6．设a ≥0，b ≥0，a 2＋b 22＝1，则a ·1＋b 2的最大值为________．[答案]324[解析] a ·1＋b 2＝22·2a 2·1＋b 2 ≤22×2a 2＋1＋b 22＝324. 7．已知sin α＝m －3m ＋5，cos α＝4－2mm ＋5，其中α是第二象限角，则m 的取值为________． [答案] 8 [解析] 由⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 整理，得m 2－8m ＝0， ∴m ＝0或8.∵α是第二象限角，则sin α>0，cos α<0. 经验证知m ＝8. 三、解答题8．设函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )>f (b )，求证：ab <1. [证明] 证法1：由已知f (x )＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.∵0<a <b ，f (a )>f (b )，∴a 、b 不能同时在区间[1，＋∞)上．又由于0<a <b ，故必有a ∈(0，＋∞)．若b ∈(0,1)，显然有ab <1；若b ∈(1，＋∞)，由f (a )－f (b )>0，有－lg a －lg b >0.∴lg(ab )<0.∴ab <1.证法2：由题设f (a )>f (b )，即|lg a |>|lg b |，上式等价于(lg a )2>(lg b )2，即(lg a ＋lg b )(lg a －lg b )>0.∴lg(ab )·lg a b>0. 由已知b >a >0，∴b a<1.∴lg a b<0.∴lg(ab )<0.∴0<ab <1.9．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1(x ∈R )．(1)判断f (x )在R 上的单调性，并用定义证明； (2)当n ∈N ＋时，合理猜想f (n )与nn ＋1的大小．(不需证明)[证明] (1)f (x )在R 上是增函数．证明如下： 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－12x 2＋1－2x 1－12x 1＋1＝22x 2－2x 12x 1＋12x 2＋1.∵x 1<x 2，∴0<2x 1<2x 2，∴2x 2－2x 1>0. ∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在R 上是增函数． (2)设g (n )＝nn ＋1.当n ＝1时，f (1)＝13，g (1)＝12， 有f (1)<g (1)；当n ＝2时，f (2)＝35，g (2)＝23，有f (2)<g (2)；当n ＝3时，f (3)＝79；g (3)＝34，有f (3)>g (3)；当n ＝4时，f (4)＝1517，g (4)＝45，有f (4)>g (4)；….从而，当n ＝1,2时，f (n )<g (n )，并猜想：当n ≥3时，f (n )>g (n )，即2n－12n ＋1>nn ＋1.。
2021-2022高中人教B版数学选修2-2课时作业：第2章 2.1.2
2.1.2 演绎推理课时目标 1.理解演绎推理的意义.2.把握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简洁推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区分和联系．1．从一般性的原理动身，推出某个特殊状况下的结论，我们把这种推理称为______________．演绎推理是由________到________的推理．2．“三段论”推理的一般模式：______、______、______. 3．“三段论”的常用格式 大前提：M 是P . 小前提：S 是M . 结论：________.4．利用集合学问说明“三段论”若集合M 的全部元素都具有性质P ，S 是M 的一个________，那么S 中全部元素也都具有________．一、选择题1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，由于∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角，所以 ∠A ＋∠B ＝180°B ．我国地质学家李四光发觉中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也隐藏着丰富的石油C ．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1 (n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式2．“由于对数函数y ＝log a x 是增函数，而y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”．有关这个“三段论”的推理形式和推理结论正确的说法是( ) A ．形式正确，结论正确 B ．形式错误，结论错误 C ．形式正确，结论错误 D ．形式错误，结论正确3．下列说法不正确的是( ) A ．演绎推理是由一般到特殊的推理B ．演绎推理的一般模式包括大前提、小前提、结论C ．三段论推理的一个前提是确定推断，结论为否定推断，则另一前提是否定推断D ．归纳推理的结论都是不行靠的 4．给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内全部直线；(大前提) 已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α；(小前提) 则直线b ∥直线a .(结论) 那么这个推理是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误5．下面说法：①演绎推理得到的结论肯定是正确的；②演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；③演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7．将下面三段论形式补充完整： 由于三角函数是周期函数，(大前提) 而__________________，(小前提) 所以y ＝cos x (x ∈R )是周期函数．(结论)8．函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：_______________________________________________________________ 小前提：_______________________________________________________________ 结论：_________________________________________________________________。
高中数学选修2-2课时作业10：2.1.2 演绎推理
2.1.2 演绎推理一、选择题1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )A ．类比推理B ．归纳推理C ．演绎推理D ．一次三段论2．已知在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证：a <b .证明：因为∠A ＝30°，∠B ＝60°，所以∠A <∠B .所以a <b .其中，划线部分是演绎推理的( )A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．三段论3．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数．以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确4．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但推理形式错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误5．下面几种推理中是演绎推理的是( )A ．因为y ＝2x 是指数函数，所以函数y ＝2x 经过定点(0,1)B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *) C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积为πab D ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 26．“1<a <2”是“对任意的正数x ，都有2x ＋a x≥1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12二、填空题8．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是__________________．9．有一段演绎推理：大前提：整数是自然数；小前提：－3是整数；结论：－3是自然数．这个推理显然错误，则错误的原因是________错误．(从“大前提”“小前提”“结论”中择一填写)．10．命题：“若空间两条直线a ，b 分别垂直于平面α，则a ∥b .”学生小夏这样证明： 设a ，b 与面α分别相交于A ，B ，连接AB ，∵a ⊥α，b ⊥α，AB ⊂α，①∴a ⊥AB ，b ⊥AB .②∴a ∥b .③这里的证明有两个推理，即：①⇒②和②⇒③.老师评改认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是________．11．若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2 014)f (2 013)＝________. 三、解答题12．已知sin α＝m －3m ＋5，cos α＝4－2m m ＋5，其中α为第二象限角，求m 的值．13．如图所示，在△ABC 中，AC >BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD >∠BCD .14．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n·S n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .[答案]精析1．C 2.B 3.C 4.C 5.A6．A [∵1<a <2，∴2x ＋a x ≥22x a x＝22a >22>1，∴1<a <2⇒2x ＋a x≥1， 而当a ＝2时，2x ＋a x＝2x ＋2x ≥22x 2x＝4>1， ∴对任意的正数x ，都有2x ＋a x≥1D ⇒/1<a <2， ∴“1<a <2”是“对任意的正数x ，都有2x ＋a x≥1”的充分不必要条件．] 7．C [由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，∴－x 2＋x ＋a 2－a <1，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立．则Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，∴4a 2－4a －3<0，解之得－12<a <32.] 8．y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)[解析] 由大前提知log 2x －2≥0，解得x ≥4.9．大前提10．②⇒③11．2 014[解析] 利用三段论．∵f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)(大前提)，令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2(小前提)， ∴f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2 014)f (2 013)＝2(结论)， ∴原式＝2＋2＋…＋21 007个＝2 014.12．解 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2＝1， 解得m ＝8或0，当m ＝0时，sin α＝－35<0， 又∵α为第二象限角，∴m ＝0不合题意，故m ＝8.13．证明 因为CD ⊥AB ，所以∠ADC ＝∠BDC ＝90°，所以∠A ＋∠ACD ＝∠B ＋∠BCD ＝90°，在△ABC 中，AC >BC ，所以∠B >∠A ，所以∠ACD >∠BCD .14．证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明章末复习课 Word版含解析
【创新设计】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明章末复习课新人教版选修2-2题型一合情推理与演绎推理1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式．另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________．(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则①a2＋b2＝c2；②cos2A＋cos2B＝1；③Rt△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b2 2.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？(1)答案f(n)＝n3解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n 组内各数之和f (n )与组的编号数n 的关系式为f (n )＝n 3.(2)解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2. ②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. ③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a ，b ，c ，则这个四面体的外接球的半径为R ＝a 2＋b 2＋c 22.反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． 跟踪训练1 (1)下列推理是归纳推理的是________，是类比推理的是________． ①A 、B 为定点，若动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则点P 的轨迹是椭圆； ②由a 1＝1，a n ＋1＝3a n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的通项a n 和S n 的表达式； ③由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆的面积S ＝πab ； ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 答案 ② ③④(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n, 则T 4，______，______，T 16T 12成等比数列． 答案T 8T 4 T 12T 8解析 等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 题型二 综合法与分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程． 例2 用综合法和分析法证明． 已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.证明 (分析法)要证明2sin 2α≤sin α1－cos α成立．只要证明4sin αcos α≤sin α1－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0. 只要证明4cos α≤11－cos α.上式可变形为4≤11－cos α＋4(1－cos α)． ∵1－cos α>0， ∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·4(1－cos α)＝4，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号．∴4≤11－cos α＋4(1－cos α)成立．∴不等式2sin 2α≤sin α1－cos α成立．(综合法) ∵11－cos α＋4(1－cos α)≥4，(1－cos α>0，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号)∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0. ∴4sin αcos α≤sin α1－cos α.∴2sin 2α≤sin α1－cos α.跟踪训练2 求证：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)－α]＝sin β，两边同除以sin α得sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.题型三 反证法反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论．反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p 则q ”的否定是“若p 则綈q ”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p 则綈q ”为假，从而可以导出“若p 则q ”为真，从而达到证明的目的．例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋y x<2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ， 两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ， 所以x ＋y ≤2.这与已知x ＋y >2矛盾． 故1＋x y <2与1＋yx<2至少有一个成立．反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根． 证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立． 题型四 数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．例4 用数学归纳法证明当n ∈N *时，1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －2)·3＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)·(n ＋2)．证明 (1)当n ＝1时，1＝16·1·2·3，结论成立．(2)假设n ＝k 时结论成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －2)·3＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)．当n ＝k ＋1时，则1·(k ＋1)＋2·k ＋3·(k －1)＋…＋(k －1)·3＋k ·2＋(k ＋1)·1 ＝1·k ＋2·(k －1)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)] ＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋2) ＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)， 即当n ＝k ＋1时结论也成立．综合上述，可知结论对一切n ∈N *都成立． 跟踪训练4 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1.(1)写出a 2，a 3，a 4. (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，所以a 2＝12a 1＋1＝12＋1＝32.a 3＝12a 2＋1＝12·32＋1＝74. a 4＝12a 3＋1＝12·74＋1＝158.(2)证明 方法一 猜想a n ＝2n－12n －1.下面用数学归纳法证明，(1)当n ＝1时，a 1＝21－121－1＝1，满足上式，显然成立；(2)假设当n ＝k 时a k ＝2k－12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a k ＋1＝12·2k －12k －1＋1＝2k －12k ＋1＝2k －1＋2k 2k ＝2k ＋1－12k满足上式， 即当n ＝k ＋1时猜想也成立，由(1)(2)可知，对于n ∈N *都有a n ＝2n－12n －1.方法二 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12a n ＋1－2，即a n ＋1－2＝12(a n －2)，设b n ＝a n －2，则b n ＋1＝12b n ，即{b n }是以b 1＝－1，12为公比的等比数列，所以b n ＝b 1·qn －1＝－12n －1，所以a n ＝b n ＋2＝2n－12n －1.呈重点、现规律]1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n ＝n 0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n ＝k 时，结论成立，推得n ＝k ＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 Word版含答案
2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理[学习目标]1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2．了解合情推理在数学发现中的作用．[知识链接]1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．由合情推理得到的结论可靠吗？答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．[预习导引]1．归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．3．合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想要点一归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”1 (1)22 (2)343 (3)4774 (4)5 1114115 (5)…………记第n(n＞1)行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．(1)6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4由此归纳：a n＋1＝a n＋n.规律方法对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝3，a n＋1＝2a n＋1；(2)a1＝a，a n＋1＝12－a n；(3)对一切的n∈N*，a n>0，且2S n＝a n＋1. 解(1)由已知可得a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *.(2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a(n ∈N *)．(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0. ∵对一切的n ∈N *，a n >0， ∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)． 要点二 类比推理的应用例2 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解如右图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比00过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝py ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形． 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：规律方法将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．跟踪演练3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③答案 C解析由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确．1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误答案 B解析根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论．2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案 A解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．3．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 345 67891011 12 13 14 15 ……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 答案 n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个， 即n 2－n 2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示为________． 答案 (n ＋2)2－n 2＝4n ＋4解析 由已知四个式子可分析规律：(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4.1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想. 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明． 2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.一、基础达标1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63 D ．128答案 B解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x ＝26＋1＝65.2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111…A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113答案 B解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111. 3．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，猜想a n ＝( )A ．2cosθ2nB ．2cosθ2n －1C ．2cos θ2n ＋1D ．2 sin θ2n答案 B解析 法一 ∵a 1＝2cos θ， a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2， a 3＝2＋a 2＝2 1＋cosθ22＝2cos θ4，…，猜想a n ＝2cosθ2n －1.法二 验n ＝1时，排除A 、C 、D ，故选B.4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心 答案 D解析 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33 ＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________． 答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)解析 观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152. 6．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为________． 答案 n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P －ABC 中，三个侧面P AB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”． 证明 设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ， 由PC ⊥P A ，PC ⊥PB 得PC ⊥面P AB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α， cos α＝sin ∠PCO ＝h PC ，cos β＝h P A ，cos γ＝h PB∵V P －ABC ＝16P A ·PB ·PC ＝13⎝⎛12P A ·PB cos α＋ 12PB ·⎭⎫PC cos β＋12PC ·P A cos γ·h ，∴⎝⎛⎭⎫cos αPC ＋cos βP A ＋cos γPB h ＝1 即cos 2 α＋cos 2 β＋cos 2 γ＝1. 二、能力提升8．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C 解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体A －BCD＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 9．(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n正方形数 N (n,4)＝n 2 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 答案 1 000解析 由归纳推理可知：n 2和n 前面的系数，一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列，所以N (n ，k )＝k －22n 2－12n (k －4)，所以N (10,24)＝24－22×102－12×10(24－4)＝1 100－100＝1 000.10．(2013·陕西)观察下列等式： 12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律， 第n 个等式可为________． 答案 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)解析 分n 为奇数、偶数两种情况．当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)．11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.12．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)． 解 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a ) 依题意，得A (－a,0)，B (a,0)， 所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a )．令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a， 同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1， 因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.(2)－(a 2＋b 2)．三、探究与创新13.如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.。
2018-2019学年人教A版选修2-2 合情推理与演绎推理 课时作业
1．将下列演绎推理写成“三段论”的形式．（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；（2）菱形的对角线互相平分；（3）函数2( )cos f x x x =-是偶函数．【答案】见解析．（3）若对函数()f x 定义域中的x ，都有()()f x f x -=，则()f x 是偶函数，（大前提）对于函数2( )cos f x x x =-，当x ∈R 时，有()()f x f x -=，（小前提）所以函数2( )cos f x x x =-是偶函数．（结论） 2．观察如下数表： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5678910……求：（1）这个表的第i 行里的最后一个数字是多少？ （2）第i 行各数字之和是多少？【答案】（1）32i -；（2）2(21)i -．【解析】（1）每行的最后一个数字构成等差数列1，4，7，10，…，故第i 行的最后一个数字是32i -．（2）第i 行的第1个数字为i ，第i 行的各数字构成等差数列i ，1i +，2i +，…，32i -， 共21i -个数，其和为2(21)(32)(21)2i i i i -+-=-．学3．通过计算可得下列等式：2221211-=⨯+；2232221-=⨯+；2243231-=⨯+；…；22(1)21n n n +-=⨯+．将以上各式分别相加得：22(1)12(123)n n n +-=⨯+++++，即2)1(321+=++++n n n ． 类比上述求法：请你求出2222321n ++++ 的值（要求必须有运算推理过程）． 【答案】22221123(1)(21)6n n n n ++++=++．4．已知1log (2)n n a n +=+，n ∈*N ，观察下列运算：1223lg 3lg 4log 3log 42lg 2lg 3a a =⨯=⨯=； 1234562367log 3log 4log 7log 8a a a a a a =⨯⨯⨯⨯lg 3lg 4lg 7lg83lg 2lg 3lg 6lg 7=⨯⨯⨯⨯=…； …… 定义使123k a a a a 为整数的()k k ∈*N 叫做“希望数”．求区间[1,2019]内所有的“希望数”的和．【答案】区间[1,2019]内所有的“希望数”的和为2026．5．观察下列各式：33221112492344+=⨯⨯=⨯⨯；3332211123369163444++==⨯⨯=⨯⨯；33332211123410016254544+++==⨯⨯=⨯⨯；……（1）计算：3333312345++++的值； （2）计算：33333123410+++++的值； （3）猜想：333331234n +++++的值．【答案】（1）225；（2）3025；（3）221(1)4n n +． 【解析】通过观察前三个式子，规律如下：左边第n 项为3n ，右边第一项为14，第二项，第三项分别为2n ，2(1)n +，故333332211234(1)4n n n +++++=+． （1）3333322112345562254++++=⨯⨯=． （2）33333221123410*********+++++=⨯⨯=．（3）333332211234(1)4n n n +++++=+．学6．（1）在数列{}n a 中，11a =，12()2nnn a n a a +=∈+*N ，归纳猜想这个数列的通项公式，并用三段论加以论证；（2）如图，已知在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC DA ==，AC 和BD 是梯形的对角线．用三段论证明：AC 平分BCD ∠，DB 平分CBA ∠．【答案】（1）21n a n =+，证明见解析；（2）证明见解析．（2）∵等腰三角形两底角相等，（大前提）ADC △是等腰三角形，1∠和2∠是两个底角，（小前提） ∴12∠=∠．（结论）∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，（大前提） 1∠和3∠是平行线AD 、BC 被AC 截得的内错角，（小前提） ∴13∠=∠．（结论）∵等于同一个角的两个角相等，（大前提） 21∠=∠，31∠=∠，（小前提） ∴23∠=∠，即AC 平分BCD ∠．（结论）同理可证DB 平分CBA ∠．学7．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+．记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数：211(,3)22N n n n =+； 正方形数：2(,4)N n n =； 五边形数：231(,5)22N n n n =-； 六边形数：2(,6)2N n n n =-；……由此推测(,)(3)N n k k ≥的表达式，并求(10,24)N 的值． 【答案】224(,)(3)22k k N n k n n k --=+≥，(10,24)1000N =．8．（1）试计算下列各式：（只需写出计算结果，不需写出计算过程）222sin 45sin 105sin 165︒+︒+︒=_____________； 222sin 30sin 90sin 150︒+︒+︒=_____________； 222sin 15sin 75sin 135︒+︒+︒=_____________．（2）通过观察上述各式的计算规律，请你写出一般性的命题，并给出你的证明． 【答案】（1）32，32，32；（2）2223sin ()sin sin ()332αααππ-+++=，证明见解析．【解析】（1）计算可得：222sin 45sin 105sin 165︒+︒+︒=32， 222sin 30sin 90sin 150︒+︒+︒=32， 222sin 15sin 75sin 135︒+︒+︒=32．（2）一般性的命题：2223sin ()sin sin ()332αααππ-+++=．证明如下：222sin ()sin sin ()33αααππ-+++221cos(2)1cos(2)1cos 233222αααππ---+-=++ 3122[cos(2)cos 2cos(2)]2233αααππ=--+++ 3.2=9．（1）用三段论证明：通项公式为n a pn q =+(p ，q 为常数)的数列{}n a 是等差数列； （2）用三段论证明：2222222()a b b c c a a b c +++++≥++．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．（2）首先，我们知道222a b ab +≥，（大前提） 则有22222()2a b a b ab +≥++，（小前提） 所以2222||()22a b a b a b +≥+≥+，（结论） 同理，可得222()2b c b c +≥+，222()2a c a c +≥+， 所以2222222()ab bc c a a b c +++++≥++．学10．（1）在数列{}n a 中，11a =，122nn na a a +=+，n *∈N ，试猜想这个数列的通项公式； （2）如图所示，把1，3，6，10，15，…这些数叫作三角形数，这是因为这些个数的点可以排成一个正三角形，试猜想第n 个三角形数．【答案】（1）2()1n a n n =∈+*N ；（2）第n 个三角形数为(1)2n n +． 【解析】（1）由已知，得11a =，1212223a a a ==+，232212224a a a ===+，3432225a a a ==+，…， 所以猜想数列{}n a 的通项公式为2()1n a n n =∈+*N ．11．在各项均为正数的数列{}n a 中，其前n 项和n S 满足11()2n n na S a +=． （1）求1a ，2a ，3a ；（2）由（1）猜想数列{}n a 的通项公式； （3）求n S ．【答案】（1）11a =；221a =-，332a =-；（2）1n a n n =--；（3）n ．（2）由（1）猜想1n a n n =--． （3）1(21)(32)(1)n S n n n =+-+-++--=．12．观察下表：1， 2，3 4，5，6，78，9，10，11，12，13，14，15， ……问：（1）此表第n 行的最后一个数是多少？ （2）此表第n 行的各个数之和是多少？ （3）2019是第几行的第几个数？【答案】（1）21n -；（2）232322n n --⋅-；（3）第11行的第996个数． 【解析】（1）因为第1n +行的第1个数是2n ， 所以第n 行的最后一个数是21n -．（2）第n 行的各个数为12n -，121n -+，122n -+，…，21n -， 所以1112113(221)2()()()22122221322n n n n n n n nn -------++-+++++-==⋅-，故此表第n 行的各个数之和是232322n n --⋅-．（3）因为1021024=，1122048=，102420192048<<， 所以2019在第11行，该行第1个数是1021024=，学/由2019 1 0241996-+=，知2019是第11行的第996个数．13．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①22sin 13cos 17sin13cos17︒+︒-︒︒；②22sin 15cos 15sin15cos15︒+︒-︒︒； ③22sin 18cos 12sin18cos12︒+︒-︒︒；④22sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒； ⑤22sin (25)cos 55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒． （1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 【答案】（1）34；（2）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα+︒--︒-=，证明见解析． 【思路分析】（1）选择②求常数相对容易，可直接利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系，结合特殊角的三角函数值求得答案；（2）根据（1）的计算结果，可得三角恒等式为：223sin cos (30)sin cos(30)4αααα+︒--︒-=，进而根据两角差的余弦公式展开化简即可得证．【解析】（1）由②得22sin 15cos 15sin15cos15︒+︒-︒︒131sin 3024=-︒=，故所求常数为34．14．求证：若三角形的三内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则ABC △是正三角形．并分析在证明过程中用了几次三段论，分别写出每次三段论的大前提、小前提与结论． 【答案】见解析．第2次，大前提：“若x ，y ，z 成等比数列，则xz y =2”；小前提：“三角形的三边a ，b ，c 成等比数列”； 结论：“ac b =2”．第3次，大前提：“在ABC △中，2222cos b a c ac B =+-”； 小前提：“在ABC △中，3B π=”； 结论：“2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-，即2()0a c -=，所以a c =”．第4次，大前提：“三角形中有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形”； 小前提：“ABC △中，3B π=，a c =”； 结论：“ABC △是等边三角形”．。
选修2-2合情推理课时作业
课时作业∏合情推理时间：45分钟满分：1OO分一、选择题(每小题5分，共30分)1.下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适()4∙三角形 B.梯形C.平行四边形D.矩形【答案】C【解析】只有平行四边形与平行六而体较为接近，故选C.2.下列类比推理恰当的是()把a(b+c)与∕oga(x+y)类比，则有：/oga(x+y)=/OgaX+∕ogayB.把a(b÷c)-⅛i s∕n(x+y)类比,则有：sin(×÷y) =Sin×+sinyC.}E(ab)n⅛(a + b)n类比，则有:(a+b)n=a n+b nD.把a(b÷c)与α∙(b+c)类比，则有：a∖b+c) = a b+a c【答案】D【解析】A, B, C三个选项没有从木质上类比，是简单类比，从而出现错误.3.如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,336420,…，记这个数列前门项的和为S(n), 则S(16)等于()A. 128 C. 155【答案】D 【解析】1,2,3,3,6Alo,5,15,6,21,7,28,8,36,9.故 5(16) = 1 + 2 + 3 +…+ 36+ 9 =164.4. 观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为□ • ▲ ▲ ■ O• △A. ■B. ΔC. □D. o【答案】A【解析】 每一行、每一列的图形都有两个黑色.由题意可知该数列的前16项为：1 15.观察下列事实：∣x∣ + ∣y∣=l的不同整数解(x, y)的个数为4, ∣x∣+ Iyl =2的不同整数解(x,y)的个数为8, ∣x∣ + IyI =3的不同整数解(x, y)的个数为12,则∣x∣ + ∣y∣=20的不同整数解(x, y)的个数为() A. 76 B ・ 80C. 86D. 92【答案】B【解析】 由己知条件知∣x∣ + ∣y∣=n 的不同整数解(x, y)个数为4门，所以∣χ∣ + ∣y∣=20不同整数解(χ, y)的个数为4×20=80.归纳体现了由特殊到一般的思维过程.6.定义A*3、B*C 、C*D 、D*B 分别对应下列图形【答案】C 【解析】由A*B. B*C 、C*D 、D*B 的定义图形知A 为L B 为,D ・⑴、(4)(4))B. (2)、 (3) C ・⑵、(4) ①那么下列图形中,A.⑴、(2)(3)C为一一，D为□∙二、填空题(每小题20分，共30分)7. (2014-陕酋理)观察分析下表中的数据:猜想一般凸多面体中F, U, E所满足的等式是 __________________ .【答案】F+V~E=2【解析】木题考查归纳推理.5+ 6 — 9 = 2,6+ 6-10=2,6 + 8-22 = 2,：.F+V-E=I.8.观察下列等式：l3+23=(l + 2)243+23+33=(l + 2+3)¼3+23+ 33 + 43 = (l + 2 + 3 + 4)2, 根据上述规律，第四个等式为【答案】l3 + 23+33+43 + 53 = (l + 2 + 3+4 + 5)2(⅛g 152)【解析】根据己知条件，第四个等式应为l3 + 23 + 33 + 43 + 53 = (2 + 2 + 3+4+5)2(或152).9.如图所示，己知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC 所成的角分别为a, 6,则cos2α+cos2β = l,则在长方体ABCD- A I B I C I D l中，写出类似的命题：【答案】长方体ABCD-AIBICIDI中，若对角线BDl与棱AB、BBi、BC 所成的角分别为a、6、Y f贝IJ cos1 2a+cos2β+cos2∣/= 1 或sir?a +sin2β+sin2∣∕=2（或：长方体ABCD-A I B I C I D l中，若对角线BD l与平面ABCD.ABB I A1. BCC I B l所成的角分别为a、6、y,则cos2a+cos2β+cos2∣∕=2 或Sin2a+sin2β+sin2j∕=l）三、解答题（本题共3小题，共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）10. （13 分）已知｛e｝满足aι = l,4a n+ι-an∙a∏÷ι+2a∏ = 9,写出6、02、。
新人教A版选修2-2《2.1.2演绎推理》同步练习及答案
选修2-2 2.↑.2演绎推理一、选择题1. “•••四边形力BCQ是矩形，•••四边形SG?/?的对角线相等”，补充以上推理的大祈提是（）A. 正方形都是对角线相等的四边形B. 矩形都是对角线相等的四边形C. 等腰梯形都是对角线相等的四边形D. 矩形都是对边平行且相等的四边形［答案］B［解析］由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形・故应选B.2. “①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确.②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确・”上述三段论是（）A. 大前提错B. 小前提错C. 结论错D. 正确的［答案］D［解析］前提正确.推理形式及结论都正确.故应选D.3. 《论语•学路》篇中说：“名不正，則言不顺；言不顺.则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足.”上述推理用的是（）A. 类比推理B •归纳推理C. 演绎推理D. 一次三段论［答案］C［解析］这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式.4. “因对数函数F=Iogd（QO）是增函数（大前提），而y= I Og^X是对数函数（小前提），所以y= IOg^X是增函数（结论）”.上面推理的错误是（）A. 大前提错导致结论错B. 小前提错导致结论错C. 推理形式错导致结论错D. 大前提和小前提都错导致结论错［答案］A［解析］对数函数F=IOgX不是增函数，只有当日＞1时，才是增函数，所以大前提是错误的.5. 推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形” 中的小前提是（）A.①B.②C.③D.①②［答案］B［解析］由①②③的关系知■小前提应为“三角形不是平行四边形"・故应选B.6. 三段论：“①只有船准时是航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的,③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是（）A.①B.②C.①②D.③［答案］B［解析］易知应为②•故应选B.7. “10是5的倍数,15是5的倍数.所以15是10的倍数”上述推理（）A. 大前提错B. 小前提错C. 推论过程错D. 正确［答案］C［解析］大小前提正确，结论错误，那么推论过程错.故应选C.8. 凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理（）A. 正确B. 推理形式正确C. 两个自然数概念不一致D. 两个整数槪念不一致［答案］A［解析］三段论的推理是正确的.故应选A.9. 在三段论中，"，P, S的包含关系可表示为（）［答案］A［解析］如果槪念P包含了概念饥则P必包含了〃中的任一槪念S,这时三者的包含可如果概念P排斥了槪念飢则必排斥M中的任一槪念S,这吋三者的关系应为故应选A.10. 命题“有些有理数是无限循环小数.整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命題，推理错误的原因是（）A. 使用了归纳推理B. 使用了类比推理C. 使用了“三段论"，但大前提使用错误D. 使用了“三段论”，但小前提使用错误［答案］D［解析］应用了“三段论"推理，小前提与大祈提不对应，小前提使用错误导致结论错误.二、填空题11. 求函数y=√log2χ-2⅛0定狡域时，第一步推理旃提是、%有意艾时，日MO,小前提是寸Iog2“一2有意5C,结论是_________ ■［答案］I og2%-2≥0［解析］由三段论方法知应为Iog2λ,~2≥0.12. 以下推理过程省略的大祈提为：___________ ・•:洽622ab,Λ2(a2+b2) ≥a2+∂2+2a∆［答案］若Gb,则a+c≥b+c［解析］由小前提和结论可知，是在小前提的两边同吋加上了√ + b2,故大前提为：若aMb,则日+cM6+c.13. (2010 •理，15)已知函数f(0 满足：f(1)=j, 4f(x) f{y) = f(x+ y) + f{χ-y) (x9y∈R),則Λ2010)=___________ ・［答案］j［解析］令F=［得4f(x) ∙ f(1) = f(x÷1) + f(χ-1)即‰) = f(x+1) + f(χ-1)①令”取x+1 則f(x+1) = f(x+2) + f(x)②由①②得fω = f(x÷2) + f(x) + f(χ-1),即‰-1)=-f(x+2)Λ f(×) = —f(x+3), Λ f(x÷3) = — f(x÷6)Λ f(x) = f(x÷6)即f(")周期为6,Λ f(2010) = f(6×335+0) = f(0)对 4 f(x) f(y) = f{x+y)÷ f(χ-y),令X=1, F=0,得4f(1)f(0) =2f(1),.∙.f(0)=舟即f(2010) =*.14. _____________________________________________________________ 四棱锥P-ABCD 中，0为〃上的动点，四边形ABCD满足条件____________________________________ 时，％—磁恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)・［答案］四边形S86I Q为平行四边形或矩形或正方形等又S^O e=^∖AB∖ d{d为0到直线朋的距离).因为〃、∣SBl均为定值，所以沧磁恒为定值吋，只有d也为定值，这是一个开放型问题, 答案为四边形S8CZ?为平行四边形或矩形或正方形等.三.解答题15. 用三段论形式证明：在梯形ABCD中，AD//BC, AB=DC9則ZAZG［证明］如下图延长川耳QC交于点M①平行线分线段成比例大前提②△川仞中AD//BC小前提①等量代换大前提②AB=CD小前提③MB=MC结论在三角形中等边对等角大前提MB=MC，\、前提乙、=乙MBc=乙MCB=乙2结论等量代换大前提Z8=n — Z1 ZgTT-Z2 小前提ZB=ZC结论16. 用三段论形式证明：f(x)=√ + x(x∈R)为奇函数.［证明］若f(-×) =— f(x),則f(x)为奇函数大前■提V f(~x) = (―X)3+ (―") =-X~X=~(X ÷x) = —f(x)小前提Λf(x)=√+x是奇函数结论17. 用三段论写出求解下题的主要解答过程.若不等式∣^+2∣<6的解集为(一1,2),数日的值.［解析］推理的第一个关犍环节：大前提：如果不等式f(x) <0的解集为S, n)9且fM、fS)有意艾，则刃、〃是方程心=0的实数根，小前提：不等式∖ax+2∖<6的解集为(-1,2),且x=-↑与x=2都使表达式∣"+2∣— 6 有意义,结论：一1和2是方程∖ax+2∖-6=0的根.Λ∣-a+2∣-6=0 与 ∣2a+2∣-6=0 同吋成立.推理的第二个关馋环节：大前提：如果∖x ∖=a 9 a>09那么x=±a 9小前提:∣~a+2∣=6 且 ∣2m+2∣=6,结论：一日+2=±6且2日+2 = ±6.以下可得出结论日=一4・18. 设>4(χ1,朋)、Bg 必)两点在抛物线y=2√±, /是力B 的垂直平分线.(1) 当且仅当X ι÷Λ2取何值时，直线/经过抛物线的焦点月 证明你的结论：(2) 当直线/的斜•率为2时，求/在P 轴上截距的取值国.［解析］ ⑴F ∈ l^>∖FA ∖ = ∖FB ∖<^A. B 两点到拋物线的准线的距离相等. •••抛物线的准线是"轴的平行线，0, y 2≥0,依题意，y ι,乃不同时为0・ ・•.上述条件等价于y ι = ya<=>x ι = (x ι÷x2) {x ∖-Xi) =0.Vx ι≠x 2, •••上述条件等价于x ι + x 2=θ,即当且仅当x 1 + x 2=0时，/经过抛物线的焦点(2)设/在F 轴上的截距为6,依題意得/的方程为y=2x+b;过点/1、B 的直线方程为yA. 0为拋物线上不同的两点等价于上述方程的判别式△ =1+8分0,即∕77>~.设/10的 4 32中点N 的坐标为(亦yo),则1 =—— 8, 由"∈ /,得召+ /7Z=—*+6,于是h-16+z ^16 32^32β即得/在F 轴上裁距的取值国是(备,1=_尹+刃, 所以"，X2满足方程2,+y 刃=0,得xι÷X2=1-& =㊁(XI+&)。
高中数学人教A版选修2-2：课时跟踪检测(十四)演绎推理-含解析
课时跟踪检测（十四）演绎推理层级一学业水平达标1．下面说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C①③④都正确．2．若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC 中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是()A．三段论推理B．假言推理C．关系推理D．完全归纳推理解析：选A∵三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大前提)，在△ABC中，AB＝AC，(小前提)，∴在△ABC中，∠B＝∠C(结论)，符合三段论推理规则，故选A.3．推理过程“大前提：__________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是()A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等解析：选B由三段论的一般模式知应选B.4．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在()A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错解析：选A要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．因为任何实数的平方都大于0，又因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方都大于0，它是不正确的．5．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是()A．①④B．②④C．①③D．②③解析：选A根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x ＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．6．求函数y＝log2x－2 的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a≥0，小前提是log2x－2 有意义，结论是____________．解析：由三段论方法知应为log2x－2≥0.答案：log2x－2≥07．某一三段论推理，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，由此可以推断，该三段论的另一前提必为________判断．解析：根据三段论的特点，三段论的另一前提必为否定判断．答案：否定8．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：_______________________________________________________________.小前提：___________________________________________________________________.结论：_____________________________________________________________.解析：本题忽略了大前提和小前提．大前提为：一次函数的图象是一条直线．小前提为：函数y＝2x＋5为一次函数．结论为：函数y＝2x＋5的图象是一条直线．答案：①一次函数的图象是一条直线②y＝2x＋5是一次函数③函数y＝2x＋5的图象是一条直线9．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)菱形的对角线互相平分．(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．解：(1)平行四边形的对角线互相平分(大前提)；菱形是平行四边形(小前提)；菱形的对角线互相平分(结论)．(2)一切奇数都不能被2整除(大前提)；75是奇数(小前提)；75不能被2整除(结论)．10．下面给出判断函数f (x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1的奇偶性的解题过程： 解：由于x ∈R ，且f (x )f (－x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1· 1＋x 2－x ＋11＋x 2－x －1＝(1＋x 2)－(x －1)2(1＋x 2)－(x ＋1)2＝2x －2x＝－1. ∴f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数．试用三段论加以分析．解：判断奇偶性的大前提“若x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数；若x ∈R ，且f (－x )＝f (x )，则函数f (x )是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )．层级二 应试能力达标1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )A ．类比推理B ．归纳推理C ．演绎推理D ．一次三段论解析：选C 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．2．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误解析：选C 用小前提“S 是M ”，判断得到结论“S 是P ”时，大前提“M 是P ”必须是所有的M ，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．3．如图，设平面α∩β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥α，垂足分别是点B ，D ，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，这个条件不可能是下面四个选项中的( )A ．AC ⊥βB ．AC ⊥EF。
人教A版选修2-2演绎推理.docx
演绎推理2014年新田一中选修2-2课后作业（十四）班级___________ 姓名___________学号___________1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )．A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式2．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是( )． A ．① B ．② C ．①② D ．③3．“因对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝x 31log 是对数函数(小前提)，所以y ＝x 31log 是增函数(结论)．”上面推理错误的是( )．A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错 4．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面α、β，有下列命题： ①若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α；②若l ⊥α，m ⊥β且l ∥m ，则α∥β； ③若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂β，n ⊥m ，则n ⊥α. 其中正确的命题个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是a 2________b 2＋c 2(填“>”“<”或“＝”)．6．在推理“因为y ＝sin x 是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的增函数，所以sin 37π>sin 2π5”中，大前提为_____________________________________________________； 小前提为_________________________________________________； 结论为________________________________________________________． 7．“如图，在△ABC 中，AC >BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD >BCD ”． 证明：在△ABC 中 ， 因为CD ⊥AB ，AC >BC ，① 所以AD >BD ，② 于是∠ACD >∠BCD .③则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号) 8．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°. 1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )．A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式解析 C 是类比推理，B 与D 均为归纳推理． 答案 A2．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是( )．A ．①B ．②C ．①②D ．③解析 大前提为①，小前提为③，结论为②. 答案 D3．“因对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝x 是对数函数(小前提)，所以y ＝x 是增函数(结论)．”上面推理错误的是( )．A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错解析 y ＝log a x ，当a >1时，函数是增函数；当0<a <1时，函数是减函数． 答案 A4．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是a 2________b 2＋c 2(填“>”“<”或“＝”)．解析 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0知b 2＋c 2－a 2<0，故a 2>b 2＋c 2. 答案 >5．在推理“因为y ＝sin x 是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的增函数，所以sin 37π>sin 2π5”中，大前提为_____________________________________________________； 小前提为_________________________________________________； 结论为________________________________________________________． 答案 y ＝sin x 是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的增函数37π、2π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2且3π7>2π5 sin 3π7>sin 2π56．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.证明 因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．设直角三角形两个锐角分别为∠A 、∠B ，则有∠A ＋∠B ＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A ＋∠B ＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A ＋∠B ＝90°(结论)．综合提高(限时25分钟)7．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是( )．A．小前提错B．结论错C．正确的 D．大前提错解析由三段论推理概念知推理正确．答案 C8．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.其中正确的命题个数是( )．A．1 B．2 C．3 D．4解析①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B.答案 B9．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提__________________________________________________；小前提_______________________________________________________；结论_______________________________________________________.答案一次函数的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x ＋5的图象是一条直线10．“如图，在△ABC中，AC >BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>BCD”．证明：在△ABC中，因为CD ⊥AB ，AC >BC ，① 所以AD >BD ，② 于是∠ACD >∠BCD .③则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)解析 由AD >BD ，得到∠ACD >∠BCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD >BD ”，而AD 与BD 不在同一三角形中，故③错误． 答案 ③11．已知函数f (x )，对任意x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.(1)求证：f (x )为奇函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． (1)证明 ∵x ，y ∈R 时，f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， ∴令x ＝y ＝0得，f (0)＝2f (0)，∴f (0)＝0. 令y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． (2)解 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)， ∵x >0时，f (x )<0，∴f (x 2－x 1)<0， 即f (x 2)－f (x 1)<0，∴f (x )为减函数．∴f (x )在[－3,3]上的最大值为f (－3)，最小值为f (3)． ∵f (3)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)＝－6，f (－3)＝－f (3)＝6，∴函数f (x )在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.12．(创新拓展)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点，已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．解 类似的性质为：若M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．证明如下： 可设点M (m ，n )，则点N 的坐标为(－m ，－n )，有m 2a 2－n 2b2＝1. 又设点P (x ，y )，则由k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋nx ＋m， 得k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2.把y 2＝b 2x 2a 2－b 2，n 2＝b 2m 2a2－b 2代入上式，得k PM ·k PN ＝b 2a2.。
选修2-2演绎推理课时作业
选修2-2演绎推理课时作业(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--课时作业12演绎推理时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．演绎推理的特征为( )A．前提为真时，结论一定真B．前提为真时，结论可能真C．前提为真时，结论一定假D．前提为真时，结论不确定真假【答案】A【解析】由演绎推理的特征知前提为真时，结论一定真．2．如图，因为AB∥CD，所以∠1＝∠2，又因为∠2＝∠3，所以∠1＝∠3.所用的推理规则为( )A．三段论推理、假言推理B．三段论推理、传递性关系推理C．三段论推理、完全归纳推理D．三段论推理、三段论推理【答案】B【解析】本题前面证“∠1＝∠2”用的是三段论推理，后半部分则用的是传递性关系推理．3．在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF∥BC这个问题的大前提为( )A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF∥CB【答案】A【解析】大前提是三角形的中位线平行于第三边．x是4．“因为对数函数y＝log a x是增函数(大前提)，y＝log13x是增函数(结论)．”上面推理的对数函数(小前提)，所以y＝log13错误是( )A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错【答案】A【解析】大前提y＝log a x是增函数不一定正确．因为a>1还是0<a<1不能确定，所以选A.5．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1,2]D．(－∞，1]∪[2，＋∞)【答案】 A【解析】∵|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4?x ≤－3?，2x ＋2?－3<x <1?，4?x ≥1?，∴|x ＋3|－|x －1|的最大值为4. 故a 2－3a ≥4，∴a ≥4或a ≤－1.6．“如图，在△ABC 中，AC >BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD >∠BCD .①证明：在△ABC 中，因为CD ⊥AB ，AC >BC .② 所以AD >BD ，于是∠ACD >∠BCD .”③ 则在上面证明过程中错误的是( )A ．①B ．②C ．③D ．①②【答案】 C【解析】 由AD >BD 得到∠ACD >∠BCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD >BD ”，但AD 与BD 不在同一三角形中，③错误．二、填空题(每小题10分，共30分)7．函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线，用三段论表示为： 大前提____________________．小前提_______________． 结论________________．【答案】 所有一次函数的图象都是一条直线 函数y ＝2x ＋5是一次函数 函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线8．因为当a >0时，|a |>0；当a ＝0时，|a |＝0；当a <0时，|a |>0，所以当a 为实数时，|a |≥0，此推理过程运用的是演绎推理中的________推理．【答案】 完全归纳【解析】 把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫完全归纳推理．9．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Crypto system)，其加密、解密原理如下：明文――→加密密钥密码密文――→发送密文――→解密密钥密码明文现在加密密钥为y ＝log a (x ＋2)，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得到的明文为________．【答案】 14【解析】 运用映射概念，实质上当x ＝6时，y ＝3，可得a ＝2，从而当y ＝4时，x ＝24－2＝14.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．【证明】 在△ABD 中，因为E ，H 分别是AB ，AD 的中点，所以EH ∥BD ，EH ＝12BD ，同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD ，所以EH ∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形．11．(13分)如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC .【证明】 证法一：取BC 中点O ，连接AO 、SO . 因为AS ＝BS ＝CS ，所以SO ⊥BC ， 又因为∠ASB ＝∠ASC ＝60°. 所以AB ＝AC ，从而AO ⊥BC .设AS ＝a ，又∠BSC ＝90°，则SO ＝BO ＝22a .又AO ＝AB 2－BO 2＝a 2－12a 2＝22a ，所以AS 2＝AO 2＋SO 2，故AO ⊥OS .从而AO ⊥平面BSC ，又AO ?平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BSC . 证法二：同法一证明得AO ⊥BC ，SO ⊥BC . 所以∠AOS 就是二面角A －BC －S 的平面角． 再同法一证明得AO ⊥OS ，即∠AOS ＝90°，所以平面ABC ⊥平面BSC .12．(14分)设a 为实数，函数f (x )＝x 3－ax 2＋(a 2－1)x 在(－∞，0)和(1，＋∞)上都是增函数，求a 的取值范围．【分析】 本题考查导数的综合应用，解决本题的关键是把判别式的各种情况都考虑全面，逐一分析．【解析】 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋(a 2－1)，其判别式Δ＝4a 2－12a 2＋12＝12－8a 2.①若Δ＝12－8a 2＝0，即a ＝±62.f ′(x )≥0，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．∴a ＝±62符合题意．②若Δ＝12－8a 2<0，恒有f ′(x )>0，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．∴a 2>32，即a ∈(－∞，－62)∪(62，＋∞)．③若Δ＝12－8a 2>0，即－62<a <62，令f ′(x )＝0，解得x 1＝a －3－2a 23，x 2＝a ＋3－2a 23.当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数． 依题意得x 1≥0且x 2≤1.由x1≥0得a≥3－2a2，解得1≤a<6 2 .由x2≤1得3－2a2≤3－a，解得－62<a<62.从而a∈[1，62 )．综上，a的取值范围为(－∞，－62]∪[1，＋∞)．。
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课时作业12演绎推理
时间：45分钟满分：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．演绎推理的特征为()
A．前提为真时，结论一定真
B．前提为真时，结论可能真
C．前提为真时，结论一定假
D．前提为真时，结论不确定真假
·
【答案】A
【解析】由演绎推理的特征知前提为真时，结论一定真．
2．如图，因为AB∥CD，所以∠1＝∠2，又因为∠2＝∠3，所以∠1＝∠3.所用的推理规则为()
A．三段论推理、假言推理
B．三段论推理、传递性关系推理
C．三段论推理、完全归纳推理
D．三段论推理、三段论推理
~
【答案】B
【解析】本题前面证“∠1＝∠2”用的是三段论推理，后半部分则用的是传递性关系推理．
3．在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF∥BC这个问题的大前提为()
A．三角形的中位线平行于第三边
B．三角形的中位线等于第三边的一半
C．EF为中位线
D．EF∥CB
【答案】A
?
【解析】大前提是三角形的中位线平行于第三边．
4．“因为对数函数y＝log a x是增函数(大前提)，y＝log1
x是对数
3
x是增函数(结论)．”上面推理的错误是函数(小前提)，所以y＝log1
3
()
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
【答案】A
【解析】大前提y＝log a x是增函数不一定正确．因为a>1还是0<a<1不能确定，所以选A.
、
5．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．[1,2]
D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
【答案】A
【解析】∵|x＋3|－|x－1|＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧－4?x≤－3?，
2x＋2?－3<x<1?，
4?x≥1?，
∴|x＋3|－|x－1|的最大值为4.
，
故a2－3a≥4，∴a≥4或a≤－1.
6．“如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD.①
证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC>BC.②
所以AD>BD，于是∠ACD>∠BCD.”③
则在上面证明过程中错误的是()
A．①B．②
C．③D．①②
?
【答案】C
【解析】由AD>BD得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，但AD与BD不在同一三角形中，③错误．
二、填空题(每小题10分，共30分)
7．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提____________________． 小前提_______________． 结论________________．
【答案】 所有一次函数的图象都是一条直线。
函数y ＝2x ＋5是一次函数
函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线
8．因为当a >0时，|a |>0；当a ＝0时，|a |＝0；当a <0时，|a |>0，所以当a 为实数时，|a |≥0，此推理过程运用的是演绎推理中的________推理．
【答案】 完全归纳
【解析】 把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫完全归纳推理．
9．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Crypto system)，其加密、解密原理如下：
明文――→加密密钥密码密文――→发送密文――→解密密钥密码明文
现在加密密钥为y ＝log a (x ＋2)，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得到的明文为________． !
【答案】 14
【解析】 运用映射概念，实质上当x ＝6时，y ＝3，可得a ＝2，从而当y ＝4时，x ＝24－2＝14.
三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
10．(13分)如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．
【证明】 在△ABD 中，因为E ，H 分别是AB ，AD 的中点，所以EH ∥BD ，EH ＝12BD ，同理，FG ∥BD ，且FG ＝1
2BD ，所以EH ∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形．
11．(13分)如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC .
$
【证明】 证法一：取BC 中点O ，连接AO 、SO .
因为AS ＝BS ＝CS ，所以SO ⊥BC ， 又因为∠ASB ＝∠ASC ＝60°. 所以AB ＝AC ，从而AO ⊥BC .
设AS ＝a ，又∠BSC ＝90°，则SO ＝BO ＝2
2a . 又AO ＝AB 2
－BO 2
＝
a 2
－12a 2＝22a ，
所以AS 2＝AO 2＋SO 2，故AO ⊥OS .
从而AO ⊥平面BSC ，又AO ?平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BSC .
\
证法二：同法一证明得AO ⊥BC ，SO ⊥BC .
所以∠AOS 就是二面角A －BC －S 的平面角． 再同法一证明得AO ⊥OS ，
即∠AOS ＝90°，所以平面ABC ⊥平面BSC .
12．(14分)设a 为实数，函数f (x )＝x 3－ax 2＋(a 2－1)x 在(－∞，0)和(1，＋∞)上都是增函数，求a 的取值范围．
【分析】 本题考查导数的综合应用，解决本题的关键是把判别式的各种情况都考虑全面，逐一分析．
【解析】 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋(a 2－1)，其判别式Δ＝4a 2－12a 2＋12＝12－8a 2.
①若Δ＝12－8a 2
＝0，即a ＝±6
2.f ′(x )≥0，f (x )在(－∞，＋∞)上为
增函数． <
∴a ＝±6
2符合题意．
②若Δ＝12－8a 2<0，恒有f ′(x )>0，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ∴a 2>32，即a ∈(－∞，－62)∪(6
2，＋∞)． ③若Δ＝12－8a 2
>0，即－62<a <6
2，令f ′(x )＝0，
解得x 1＝a －3－2a 23，x 2＝a ＋3－2a 2
3. 当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数． 依题意得x 1≥0且x 2≤1.
由x 1≥0得a ≥3－2a 2
，解得1≤a <62.
由x2≤1得3－2a2≤3－a，解得－
6
2<a<
6
2.
从而a∈[1，
6 2)．
综上，a的取值范围为(－∞，－
6
2]∪[1，＋∞)．。