单纯形法解线性规划问题

一、用单纯形第Ⅰ阶段和第Ⅱ阶段解下列问题

min f=5x1+x2

s.t. 2x1+x2≥2

−x1+x2≤1

x1+2x2≥2

x1,x2≫0

解：1)、将该线性问题转为标准线性问题

2x1+x2−x3=2

−x1+x2+x4=1

x1+2x2−x5=2

x1,x2,x3,x4,x5≫0

一、第一阶段求解初始可行点

2)、引入人工变量修改约束集合

2x1+x2−x3+x6′=2

−x1+x2+x4+x7′=1

x1+2x2−x5+x8′=2

x i≥0,i=1,2,…,8

取人工变量为状态变量，问题变量和松弛变量为决策变量，得到如下单纯形表，并是所有决策变量的值为零，得到人工变量的非负值。

2

计算改变的限值。

4)、由于x7′，x8′为人工变量，当其到达零值时，将其从问题中拿掉保证其值不会再变。

5）使所有人工变量为零的问题变量的值记为所求目标函数的初始可行点，本例为x1=13⁄，x2=43⁄

二、第二阶段用单纯形法求解最优解

12

此x1或x2不能再减小了，故该初始可行点即为最优解。

min f=5x1+x2=3

2、求解问题

max f=2x1+x2+x3

s.t. x1+x2+x3≤10

x1+5x2+x3≥20

x1,x2,x3≥0

如果目标函数变成 f=cx1+x2+x3，确定使原解仍保持最优的c值范围，并把目标函数最大值变达成c的函数。

解：先采用单纯形法求解最优解，再对保持最优解时C值的范围进行讨论。

1）将问题华为标准线性问题

minf′=−2x1−x2−x3

s.t. x1+x2+x3+x4=10

x1+5x2+x3−x5=20

x1,x2,x3,x4,x5≥0

2）用单纯形表表示约束条件，同时在不引入人工变量的前提下，取松弛变量得初始值

和决策变量x交换进行转轴

由目标函数minf123，x2增加时f会继续减小。

4）由上图可得x4和x5都为0，问题变量不能继续减小，所以已到达最优解。

x1=152⁄，x2=52⁄，x3=0时，

目标函数max f=2x1+x2+x3=352⁄。

5）如果目标函数为max f=cx1+x2+x3，由最后一次变形得x1=10−x2−x3−x4，x2=(x5+x4+10)/4，得

min f′=−cx1−x2−x3=−152⁄c−5/2+(5c−1)

4x4+(c−1)

4

x5+（c-1）x3

决策变量x3，x4，x5都为零，要使最优解保持不变，则系数为正：

5c−1>0

c−1>0

解得c>1