LINDO软件求解线性规划的应用案例
用LINDO软件分析案例
358668
80341 -
358668
80341 -
117656
0 -
1st.
运用LINDO软件进行运算
从以上几种思路得出的结果中选出最优解：
花园洋房 利润 建筑面积 90㎡套数 0 高层 990062000 358668 0 80341 联排别墅
60㎡套数
3414
2nd
2nd
运用LINDO软件进行灵敏度分析 ROW 2) 3) 4) 5) SLACK OR SURPLUS 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 DUAL PRICES 837.622192 728.622192 2602.222168 1279.377808
(X1+X2+X3)/(Y1+Y2+Y3) ≤1.7 Y1+Y2+Y3≤258241.59 x1+x2+x3≤439010.703 x1+x2+x3≤361538.226 x1+x2+x3≤464834.862 x1+x2+x3≤516483.18
2nd
运用LINDO软件进行灵敏度分析
总容积率 利润
1.7 990062000
1.4 890945432
1.8 1023100856
2.0 1089178568
3rd.
运用LINDO软件进行灵敏度分析
3. 当售价上下浮动5%和10%时，最优产品组合产 品方案会不会发生变化
灵敏度分析：
X1 X2 X3
X2/Z2=18
X3/Z3=3
1st.
•国六条
第一种思路：假设90㎡共有M1套，60㎡共有M2套
线性规划Lindo软件-整数规划
定制化不足
对于特定领域的整数规划问题， 可能需要针对具体问题对软件进 行定制化开发。
未来研究的方向与展望
算法改进
随着计算技术的发展，未来可以进一步优化 Lindo软件的算法，提高求解速度和精度。
扩展应用领域
随着整数规划问题的多样化，未来可以进一步拓展 Lindo软件的应用领域，如金融、物流、能源等领 域。
整数规划的求解方法
分支定界法
通过不断分割可行解空间和排除不可行解空 间来逼近最优解。
割平面法
通过逐步构建整数解来逼近最优解，适用于 小规模问题。
回溯法
通过添加割平面来缩小可行解空间，最终找 到最优解。
Lindo软件求解法
使用Lindo软件进行整数规划求解，具有高效 、稳定、易操作等优点。
04
使用Lindo软件进行整数规划
在求解结果查看界面中，可以查看问题的最优解、最优值、变量取值等信 息。
可以使用软件提供的图表功能，绘制变量取值与目标函数之间的关系图， 以便更好地理解问题的解。
05
案例分析
案例一：简单的整数规划问题
问题描述
01
考虑一个简单的整数规划问题，目标是最小化目标函数，同时
满足一系列线性约束条件。
解决方案
• 易用性：用户界面友好，操作简单，无需复杂的编程知识 即可使用。
Lindo软件在整数规划中的优势与限制
依赖性
Lindo软件的功能和性能高度依赖 于计算机硬件配置，高性能计算 机是求解大规模问题的必要条件。
模型限制
对于某些特殊类型的整数规划问 题，如非凸或非线性问题，Lindo 软件的求解效果可能有限。
在约束条件设置界面中，根据问题数据设置相 应的约束条件，如“less than”、“equal to”或“greater than”。
Lindo解线性规划问题实例
标题：LINDO 软件包介绍；副标题：Lindo 解线性规划问题实例导语：LINDO 软件包首先由Linus Schrage 开发，现在，美国的LINDO 系统公司（LINDO System Inc.）拥有版权，是一种专门求解数学规划（优化问题）的软件包。
它能求解线性规划、（0，1）规划、整数规划、二次规划等优化问题，并能同时给出灵敏度分析、影子价格以及最优解的松弛分析，非常方便实用。
1.注意事项（1） 低版本的LINDO 要求变量一律用大写字母表示；（2） 求解一个问题，送入的程序必须以MIN 或MAX 开头，以END 结束；然后按Ctrl + S （或按工具栏中的执行快捷键）进行求解；（3） 目标函数与约束条件之间要用SUBJECT TO （或ST ）分开，其中字母全部大写；（4） LINDO 已假定所有变量非负，若某变量，例如X5有可能取负值，可在END 命令下面一行用FREE X5命令取消X5的非负限制；LINDO 要求将取整数值的变量放在前面（即下标取小值），在END 下面一行用命令INTEGER K ，表示前K 个变量是（0，1）变量；在END 下面一行用命令GIN H 表示前H 个变量是整数变量；（5） 在LINDO 中，“<”等价于“≤” ，“>”等价于“≥” ；（6） 在LINDO 的输出结果中有STATUS （状态栏），它的表出状态有：OPTIMAL （说明软件包求得的结果是最优解）、FEASIBLE （说明软件包求得的结果只是可行解）、INFEASIBLE （说明软件包求得的结果是不可行解）。
（7） 在LINDO 命令中，约束条件的右边只能是常数，不能有变量；（8） 变量名不能超过8个字符；（9） LINDO 对目标函数的要求，每项都要有变量，例如，LINDO 不认识MIN 2000-X+Y ，要改为MIN –X+Y ；（10）LINDO 不认识400（X+Y ）要改为400X+400Y 。
实验三运用Lindo与Lingo解规划问题
运用Lindo 与Lingo 解规划问题【实验目的】1．了解Lindo 与Lingo 的基本使用方法。
2．熟悉掌握运用Lindo 与Lingo 求解规划问题。
【实验内容】(一) 运用Lindo 求解规划问题Lindo 示例1：线性规划问题1212121127264..5012848031000,0Max z x x s t x x x x x x x =++≤+≤≤≥≥在Lindo 环境下，打开一个新文件，直接输入： max 72x1+64x2 st2) x1+x2<50 3) 12x1+8x2<480 4) 3x1<100 end说明: ①第1行是目标函数,2),3),4)是为了标示各约束条件,便于从输出结果中查找相应信息.②每行行尾不用标点符号，程序最后以"end"结束. ③Lindo 中已规定所有决策变量均为非负.④乘号省略,式中不能有括号,右端不能有数学符号. ⑤符号,≤≥与<,>等效. Lindo 示例2：整数规划问题123123123123123234..1.535600280250400600000,0,0,,Max z x x x s t x x x x x x x x x x x x =++++≤++≤≥≥≥均为整数对应的程序是：max 2x1+3x2+4x3 st1.5x1+3x2+5x3<600 280x1+250x2+400x3<60000 end gin 3说明: 最后一行 "gin 3"是说明"3个变量均为整数". Lindo 示例3：0-1变量规划问题123123123111222333123123234..1.53560028025040060000801000801000801000,,,,Max z x x x s t x x x x x x y x y y x y y x y x x x y y y =++++≤++≤≤≤≤≤≤≤均为整数均为0-1变量对应的程序是：max 2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3<600 280x1+250x2+400x3<60000 x1-1000y1<0 x1-80y1>0 x2-1000y2<0 x2-80y2>0 x3-1000y3<0 x3-80y3>0 end gin 3 int y1 int y2 int y3说明: 最后3行是说明"123,,y y y 均为0-1变量". (二) 运用Lingo 求解规划问题Lingo 示例：非线性规划问题11211222123111221221121122212312231234.8() 5.6()(1086)..5001000015000.50.500.40.60(500)0(500)00,,500Max z x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+++≤++≤≤≤-≥-≥=++-=-=≤≤在Lingo 环境下，打开一个新文件，直接输入： Model:max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3; x11+x12<x+500; x21+x22<1000; 0.5*x11-0.5*x21>0; 0.4*x12-0.6*x22>0; x=x1+x2+x3; (x1-500)*x2=0; (x2-500)*x3=0; x1<500; x2<500; x3<500; end说明: ①程序以"Model:"开始,每行最后加"；",并以"end "结束.②乘号*不能省略,符号,≤≥与<,>等效. ③式中可有括号,右端可有数学符号. ④Lingo 中已规定所有决策变量均为非负.作业1: 用Lingo 或Lindo 软件求6.4中提出的线性规划模型. 作业2：用Lingo 软件求非线性规划模型123123123123112233234..1.53560028025040060000,,(80)0(80)0(80)0.Max z x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤++≤≥-≥-≥-≥0作业3：分别用Lindo 或Lingo 软件对下题进行求解某广告公司想在电视、广播上做宣传广告，其目的是争（1）受广告影响的女顾客数超过200万；（2）电视广告的费用不超过45万元；（3）电视广告白天至少播出4次，最佳时段至少播出2次；（4）通过网络媒体、杂志做广告各自要重复5到8次。
用LINGO软件求解目标规划问题
10 x1 + 15 x2 + d1 d1+ = 40 + x1 + x2 + d 2 d 2 = 10 s.t. d1+ = 0 x1 , x2 , d , d + ≥ 0, j = 1,2 j j
用LINGO求解,得最优解 d = d 具体LINGO程序及输出信息如下:LINGO程序为(参见图 4.4.4):
+ 1
=0, 1
d2 = 6 ,最优值为6.
精品课程《运筹学》
图4.4.4
精品课程《运筹学》
LINGO运算后输出为(参见图4.4.5):
图4.4.5 精品课程《运筹学》
d 对应于第三优先等级,将d1+ =0, 2 = 6 作为约束条件, 建立线性规划问题:
min z = d 3 10 x1 + 15 x2 + d1 d1+ = 40 + x1 + x2 + d 2 d 2 = 10 x2 + d 3 d 3+ = 7 s.t. d1+ = 0, d 2 = 6 + x1 , x2 , d j , d j ≥ 0, j = 1,2,3
10 x1 + 15 x 2 + d 1 d 1+ = 40 + x1 + x 2 + d 2 d 2 = 10 s.t. x 2 + d 3 d 3+ = 7 x1 , x 2 , d , d + ≥ 0, j = 1,2,3 j j
精品课程《运筹学》
解:首先对应于第一优先等级,建立线性规 划问题:
x1 = 4, x2 = 0, d1+ = d1 = 0 , 用LINGO求解,得最优解是
Lindo软件介绍及应用
Iterations Infeasibility Objective Best IP IP Bound Branches Elapsed Time
Update Interval 状态窗口更新周期（秒）。你可以把这个值设成任何一个非 负数，如果把它设成零的话很可能会增加求解时间。 Interrupt Solver 按下该按钮，solver将立刻停止并返回当前得到的最优解。 Close 按下该按钮关闭状态窗口，solver继续运行。状态窗口可以 通过选取相应命令重新打开。
进入lindo
Lindo应用实例求解 Lindo应用实例求解
【例一】 例一】 某河流上下游相距10km,已建成灌溉泵站 某河流上下游相距10km,已建成灌溉泵站 A、B两处，灌溉甲、乙、丙三个灌区，如图 两处，灌溉甲、 丙三个灌区， 所示。 所示。甲、乙、丙各灌区所需供水量的下限 分别为400万m3、800万 600万 分别为400万m3、800万m3和600万m3，现A 两泵站供水能力分别为1200万 、B两泵站供水能力分别为1200万m3和800 万m3，每万供水费用简表。 每万供水费用简表。 两泵站应如何对甲、 问A、B两泵站应如何对甲、乙、丙三灌区供 费用最小？ 水、费用最小？
Optimizer） Optimizer）
是一种专门用于求解数学规划问题的软 件包。LINDO主要用于解线性规划 主要用于解线性规划、 件包。LINDO主要用于解线性规划、非线 性规划、二次规划和整数规划等问题。 性规划、二次规划和整数规划等问题。也可 以用于一些非线性和线性方程组的求解以及 代数方程求根等。 代数方程求根等。 因此在数学、科研和工业界得到广泛应用。
返回
“DUAL PRICE”（对偶价格）列出最 PRICE”（对偶价格） 优单纯形表中判别数所在行的松弛变量的 系数，表示当对应约束有微小变动时， 系数，表示当对应约束有微小变动时，目 标函数的变化率， 标函数的变化率，输出结果中对应每一个 约束有一个对偶价格。若其数值为Ｘ， Ｘ，表 约束有一个对偶价格。若其数值为Ｘ，表 示对应约束中不等式右端项若增加一个单 目标函数将增加Ｘ个单位（ 位，目标函数将增加Ｘ个单位（max 型问 ）。上例中 上例中： 题）。上例中：第二行对应的对偶价格值 应为2.5表示当约束 y<10变为 应为2.5表示当约束 ２）y<10变为 ２） y<11时 目标函数值＝145+2.5＝ y<11时，目标函数值＝145+2.5＝147.5
Lindo软件的基本使用方法
2.1Lindo 软件入门2.1.1编写一个简单的Lindo 程序下面通过一个简单的例子，说明如何编写、运行一个Lindo 程序的完整过程.例2.1 求解下面的简单线性规划（LP ）问题：m ax 23s.t.4310,3512,,0.z x y x y x y x y =++≤+≤≥ 123(4)（）（）（）我们可以直接在<untitled>这个新的、空白的模型窗口中输入这个LP 模型：图2-1 输入一个简单的优化模型 我们看到这段程序有以下特点：（1） 这个Lindo 程序以“max ”开头，表示目标是最大化问题（容易想到，对于最小化问题，自然以“min ”开头），后面直接写Lindo 软件的基本使用方法出目标函数的表达式和约束的表达式（目标函数和约束之间用“ST ”分开）程序以“end ”结尾（end 也可以省略）；Lindo 运行状态窗口这个对话框询问你是否需要作灵敏性分析（DO RANGE(SENS- ITIVITY)ANALYSIS ？）Lindo 的结果报告窗口“LP OPTIMUM FOUND A T STEP 2”表示单纯形法在两次迭代（旋转）后得到最优解；“OBJECTIVE FUNCTION V ALUE 1) 7.454545表示最优目标值为7.454545（注意：Lindo中目标函数所在的行总是被认为是第1行，这就是这里1）的含义）. “V ALUE ”给出最优解中各变量(V ARIABLE)的值： 1.272727 ,X =1.636364Y =“REDUCED COST ”给出最优的单纯形表中目标函数（第1行）中变灵敏性分析对话框量对应的系数（即各个变量的检验数（也称为判别数））.其中，基变量的REDUCED COST值一定为0；对于非基变量（注意：非基变量本身取值一定为0），相应的REDUCED COST值表示当该非基变量增加一个单位（其他非基变量保持不变）时目标函数减少的量（对Max问题）.“SLACK OR SURPLUS（松弛或剩余）”给出约束对应的松弛变量的值：第2，3行松弛变量均为0，说明对最优解来说。
运用Lingo进行线性规划求解(实例)
LinDo
输入模型 求解
点击求解按钮 结果
即可
♂返回
!注释内容，可用中文
输
!目标函数：最大-max,最小-min,大小写不分
max 3 x1+5 x2+4 x3
入
!约束，以subject to开始
模
subject to
型
2 x1+3 x2<=1500
2 x2+4 x3<=800
3*x1+2*x2+5*x3<=2 000; end
注意与LinDo的区别
目标函数中加等号 变量与系数之间用“*” Model:-end可省略
♂返回
LinGo 模 式
Model: Sets: !定义集合
Endsets
Data:
！定义数据
Enddata 调用函数与计算
end
♂返回
model: ！开始
数
@sum(set(set_index_list)|condition:expressi
on)
@min(max)(set(set_index_list)|condition:ex pression)
♂返回
Global optimal solution found at
iteration:
3
结
Objective value: 2675.000
果
Variable Value
Reduced Cost
C( 1) 3.000000
0.000000
C( 2) 5.000000
0.000000
C( 3) 4.000000
0.000000
用lingo解线性规划问题
2. 所用原料钢管总根数最少
决策变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7)
目标1（总余量） Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7
模 式 1 2 3 4 5 6 7 需 求 4米 根数 4 3 2 1 1 0 0 50 6米 根数 0 1 0 2 1 3 0 20 8米 根数 0 0 1 0 1 0 2 15 余 料 3 1 3 3 1 1 3
x1 x2 50
12x1 8x2 480
约束条件
劳动时间 加工能力 非负约束
3x1 100 x1 , x2 0
线性 规划 模型 (LP)
模型求解
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。
结果解释
Max＝ 72x1+64x2
2）x1+x2<50 3）12x1+8x2<480
解：直接在LINGO的模型窗口中输 入程序
LINDO/LINGO软件的求解过程
1. 确定常数
2. 识别类型
LINDO/LINGO预处理程序
LP QP NLP IP 全局优化(选) 分枝定界管理程序
ILP
线性优化求解程序 1. 单纯形算法 2. 内点算法(选)
IQP
INLP
非线性优化求解程序
LINDO和LINGO软件能求解的优化模型
钢管下料问题1
模式 1 2 3 4 5 6 7 4米钢管根数 4 3 2 1 1 0 0
合理切割模式
8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2 余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式 切割多少根原料钢管，最为节省？ 两种 标准 1. 原料钢管剩余总余量最小
4-线性规划Lindo软件-整数规划
1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值z=629，与 LP最优值632.2581相差不大。 2）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数 值z，通过比较可能得到更优的解。
• 但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？
3） 模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解。
0.000000 0.000000
3）12x1+8x2<480
4）3x1<100 end 原料无剩余 三 种 时间无剩余 资 源 加工能力剩余40
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 3) 0.000000 0.000000 48.000000 2.000000
4)
40.000000
l1 : x1 x2 50
Байду номын сангаас
x2 A
l1 B l2 C Z=3360 l3
Max z 72x1 64x2
z=c (常数) ~等值线
0
l5
Z=0
x1 D Z=2400
在B(20,30)点得到最优解 最优解一定在凸多边 形的某个顶点取得。
目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线
NO. ITERATIONS=
2
• 35元可买到1桶牛奶，要买吗？
35 <48, 应该买！
• 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！
Yes 最优解不变时目标函 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: 数系数允许变化范围
OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000
运用Lingo进行线性规划求解(实例)
LINGO
支持多种线性规划算法，包括单纯形法、网络算法等。
要点二
Gurobi
主要采用高级优化算法，如分支定界法、动态规划等。
LINGO与Gurobi的比较
LINGO
支持各种类型的约束条件，包括整数约束、非线性约束 等。
Gurobi
特别擅长处理大规模、非线性问题，但对线性问题的处 理能力稍弱。
LINGO
界面简洁，建模语言直观，易于学习和掌握。
Excel
需要结合多个函数和工具进行建模，对于复杂问题操作相对繁琐。
LINGO与Excel的比较
LINGO
针对优化问题进行了优化，求解速度 较快，精度较高。
Excel
求解速度较慢，对于大规模问题可能 无法得到满意的结果。
LINGO与Gurobi的比较
LINGO软件特点
高效求解
LINGO采用先进的求解算法，能够快速求解大规 模线性规划问题。
灵活建模
LINGO支持多种建模语言，用户可以根据需要选 择合适的语言进行建模。
图形界面
LINGO提供直观的图形界面，方便用户进行模型 设计和结果查看。
LINGO软件应用领域
生产计划
LINGO可用于制定生产计划，优化资源配置， 提高生产效率。
金融投资
LINGO可以用于金融投资组合优化，帮助投 资者实现风险和收益的平衡。
物流优化
LINGO可以帮助企业优化物流配送路线，降 低运输成本。
资源分配
LINGO可用于资源分配问题，如人员、设备、 资金的分配，以达到最优效果。
2023
PART 02
线性规划基本概念
REPORTING
线性规划定义
线性规划是数学优化技术的一种，它通过将问 题抽象为数学模型，利用数学方法来寻找最优 解。
lindo求解线性规划在色列农作物种植安排中的运用
线性规划在色列农作物种植安排中的运用作者：写作时间：2010年11月23日线性规划在色列农作物种植安排中的运用摘要以色列不仅耕地少，而且是一个半干旱地区，降雨量少，季节性强，区域分布不均，淡水资源缺乏的问题极为突出，气候对农业生产很不利。
由于受到多方面的约束，故在农业种值安排上要考虑到多方面因素。
本文通过把各自然条件的约束归为数学不等式，利用线性规划模型，作出约束条件不等式组，经过线性规划软件lindo求解，得到最大利润时的种植安排。
并对各影响条件进行分析，得出欲增大利润，可开发淡水资源，增加配水量的建议。
本文简洁明了，对农业安排具有指导作用。
关键词：线性规划 lindo 以色列农业安排(一).问题提出以色列不仅耕地少，而且是一个半干旱地区，降雨量少，季节性强，区域分布不均，淡水资源缺乏的问题极为突出，气候对农业生产很不利。
下列是以色列的某社区联盟的农业生产受农田面积和灌溉配水量的限制，其资料如表1所示表1用水量及可种植的最大面积如表2所示表2试问，该社区联盟应如何安排这三种农作物的生产，方使总的收益最大？（二）问题分析此问题为最优解问题，其收益方面与每种农作物净收益、每种农作物的种值量相关，而每种农作物的收益是已知的，故现在只需分析每种农作物各种多少即可。
农作物种值量又受配水量、土地面积、种值最大面积约束。
故可用数学表达式表达其约束关系，再运用线性规划知识加以运算即可得出其最优解。
（三）模型假设：1.自然条件、社会条件没有大变动，农作物能如常生长，并获得期望利润。
（四）符号说明:ij x 第i 种农作物在第j 个社区上的种值面积（五）模型建立对问题建立线性规划【1】模型如下： 设在第i 种农作物在第j 个社区上种了ij x 亩，据此设出目标函数如下：)(*100)(*300)(*400max 333231232221131211x x x x x x x x x ++++++++=种植总利润约束条件如下：400312111≤++x x x600322212≤++x x x 三种作物总亩数不超过社区土地面积 300332313≤++x x x60023312111≤++x x x80023322212≤++x x x 三种作物总需水量不超过社区配水量 375123332313≤++x x x600131211≤++x x x500232221≤++x x x 每种作物种植面积上限325333231≤++x x x0≥ij x )3,2,1(==j i 根据实际意义，每种作物种植量均为正值（六）模型求解：运用线性规划软件lindo 编写源文件求解【2】，见附件1。
linprog的实际应用例题
linprog的实际应用例题
"linprog的实际应用例题" 这句话的意思是，寻找线性规划（Linear Programming，简称linprog）在实际问题中的应用例子。
线性规划是一种数学优化技术，用于找到在一组线性约束下最大化或最小化一个线性目标函数的方法。
以下是一些linprog的实际应用例题：
1.生产计划问题：一个公司生产多种产品，每种产品都有固定的生产成本和
售价。
公司希望制定一个生产计划，使得总利润最大，同时满足市场需求和生产能力限制。
这是一个典型的线性规划问题，目标函数是最大化总利润，约束条件包括市场需求、生产能力等。
2.资源分配问题：一个组织有有限的资源（如人力、物力、财力等），需要
分配这些资源到不同的项目或任务中，以实现最佳的效果或效益。
线性规划可以用来找到最优的资源分配方案，使得总的效果或效益最大。
3.运输问题：在物流和运输行业中，经常需要将货物从起始地点运输到目的
地。
运输成本和运输时间是需要考虑的重要因素。
线性规划可以用来制定最优的运输计划，使得总运输成本最低或总运输时间最短。
4.金融投资问题：在金融领域，投资者经常需要在不同的资产或投资项目中
分配资金，以实现最佳的投资回报。
线性规划可以用来找到最优的投资组合，使得在给定风险水平下最大化预期回报。
总结：linprog的实际应用例题包括生产计划问题、资源分配问题、运输问题和金融投资问题等。
这些问题都可以通过建立线性规划模型并使用线性规划算法求解，找到最优的解决方案。
lingo多目标规划模型
x1 x1
15 x2
d
1
d
1
40
x2
d
2Leabharlann d210x2
d
3
d
3
7
x1
,
x
2
,
d
j
,
d
j
0,
j
1,2,3
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解：首先对应于第一优先等级，建立线性规划问题：
minz d1 用LINGO求解，得最优解＝0，最优s值.t.为100。x具1 体x11求,5x解x22过,d程1d如,1d下1：d10 40
理， 。 因此四个方案的优劣性见表。
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非劣性可以用下图说明。
图 多目标规划的劣解与非劣解
在图1中，max(f1, f2) .就 方案①和②来说，①的 f2 目标值比②大，但其目 标值 f1 比②小，因此无 法确定这两个方案的优 与劣。
在各个方案之间， 显然：④比①好，⑤比 ④好, ⑥比②好, ⑦比 ③好……。
当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目 标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能 寻求非劣解。
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二、多目标决策的非劣解的求解方法
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
效用最优化模型 罚款模型 约束模型 目标规划模型
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对于单目标决策问题的解一般具有全 序最优性，而多目标决策问题的可行方案 集中的各方案只有部分序而非全序，并且 一般不存在满足最优性的可行解，而只有 矛盾性，即，尽管某一个可行解能使n个目 标中的某个目标最优，但不可能使其他的
线性规划建模及lindo软件的使用的数学建模实验报告
增长潜力) 15x2+30x3+20x4+5x5+10x6>10
end
2、运行结果和总结
3、总结：
1、在满足上述要求的前提下投资者，以下投资组合使平均年收益率最高。
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 0.571429 0.000000
姓名：王青学号：201100820109班级:1_专业：信息与计算科学
指导教师：荐金峰完成日期：2014-3-25
实验目的
掌握数学软件lindo的基本用法
通过一个经济问题的实例求解，培养利用线性规划解决实际问题的能力
熟悉线性规划的建模过程
一、实验内容
某人有一笔50万元的资金可用于长期投资,可供选择的投资机会包括购买国库券、公司债券、投资房地产、购买股票或银行保值储蓄等。不同的投资方式的具体参数如下表。投资者希望投资组合的平均年限不超过5年，平均的期望收益率不低于13%，风险系数不超过4，收益的增长潜力不低于10%。
3、若允许风险系数不超过5，最佳收益率会如何改变
二、实验过程
1、实验程序（Lindo）：
max 11x1+15x2+25x3+20x4+10x5+12x6+3x7
st
投资总和) x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=1
投资年限) 3x1+10x2+6x3+2x4+x5+5x6<5
期望收益) 11x1+15x2+25x3+20x4+10x5+12x6+3x7>13
用LINGO求解线性规划问题
实验1 用LINGO求解线性规划问题LINGO使用简介LINGO软件是美国的LINDO系统公司（Lindo System Inc）开发的一套用于求解最优化问题的软件包.LINGO除了能用于求解线性规划和二次规划外，还可以用于非线性规划求解以及一些线性和非线性方程（组）的求解.LINGO软件的最大特色在于它允许优化模型中的决策变量为整数，而且执行速度快.LINGO内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO高效的求解器可快速求解并分析结果，这里简单介绍LINGO的使用方法.LINGO可以求解线性规划、二次规划、非线性规划、整数规划、图论及网络优化和排队论模型中的最优化问题等.一个LINGO程序一般会包含集合段、数据输入段、优化目标和约束段、初始段和数据预处理段等部分，每一部分有其独特的作用和语法规则，读者可以通过查阅相关的参考书或者LINGO的HELP文件详细了解，这里就不展开介绍了.LINGO的主要功能特色为：既能求解线性规划问题，也有较强的求解非线性规划问题的能力；输入模型简练直观；运算速度快、计算能力强；内置建模语言，提供几十个内部函数，从而能以较少语句，较直观的方式描述大规模的优化模型；将集合的概念引入编程语言，很容易将实际问题转换为LINGO模型；并且能方便地与Excel、数据库等其他软件交换数据.LINGO的语法规定：（1）求目标函数的最大值或最小值分别用MAX=…或MIN=…来表示；（2）每个语句必须以分号“；”结束，每行可以有许多语句，语句可以跨行；（3）变量名称必须以字母（A~Z）开头，由字母、数字（0~9）和下划线所组成，长度不超过32个字符，不区分大小写；（4）可以给语句加上标号，例如[OBJ] MAX=200*X1+300*X2；（5）以惊叹号“！”开头，以分号“；”结束的语句是注释语句；（6）如果对变量的取值范围没有作特殊说明，则默认所有决策变量都非负；（7）LINGO模型以语句“MODEL：”开头，以“END”结束，对于比较简单的模型，这两个语句可以省略.实验目的1.对于给定的实际应用问题，正确的建立线性规划问题数学模型，并用LINGO求解；2.掌握灵敏度分析以及资源的影子价格的相关分析方法.实验数据与内容问题1.1某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品，已知生产单位产品所需设备台时及对甲、乙两种原材料的消耗，有关数据如表1.1.问：应如何安排生产计划，使工厂获利最大？.问题1.2 某公司饲养实验用的动物以供出售，已知这些动物的生长对饲料中3种营养成分（蛋白质、矿物质和维生素）特别敏感，每个动物每周至少需要蛋白质60g ，矿物质3g ，维生素8mg ，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料1kg 所含各种营养成分和成本如表1.2所示，如果每个小动物每周食用饲料不超过52kg ，求既能满足动物生长需要，又使总成本最低的饲料配方.实验指导问题1.1设计划生产两种产品分别为，则建立线性规划问题数学模型B A ,21,x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,12416482.32max 21212121x x x x x x t s x x S 在LINGO 的MODEL 窗口内输入如下模型：model :max =2*x1+3*x2;x1+2*x2<=8;4*x1<=16;4*x2<=12;end选菜单Lingo|Solve(或按Ctrl+S),或用鼠标点击“求解”按纽，如果模型有语法错误，则弹出一个标题为“LINGO Error Message ”(错误信息)的窗口，指出在哪一行有怎样的错误，每一种错误都有一个编号（具体含义可查阅相关文献或LINGO 的Help ）.改正错误以后再求解，如果语法通过，LINGO 用内部所带的求解程序求出模型的解，然后弹出一个标题为“LINGO Solver Status ”（求解状态）的窗口，其内容为变量个数、约束条件个数、优化状态、耗费内存、所花时间等信息，点击Close 关闭窗口，屏幕上出现标题为“Solution Report ”（解的报告）的信息窗口，显示优化计算（线性规划中换基迭代）的步数、优化后的目标函数值、列出各变量的计算结果.求解结果：Global optimal solution found at iteration: 5Objective value: 14.00000Variable Value Reduced CostX1 4.000000 0.000000X2 2.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 14.00000 1.0000002 0.000000 1.5000003 0.000000 0.12500004 4.000000 0.000000该报告说明：运行5步找到全局最优解，目标函数值为14，变量值分别为.“Reduced Cost ”的含义是需缩减成本系数或需增加利润系数（最优解中取值非零的决策变量的Reduced Cost 值等于零）.“Row ”是输入模型中的行号，目标函数是第一行；“Slack or Surplus ”的意思是松弛或剩余，即约束条件左边与右边的差值，对于“124,2==x x ≤”的不等式，右边减左边的差值为Slack （松弛），对于“”的不等式，左边减右边的差值为Surplus （剩余），当约束条件两边相等时，松弛或剩余的值等于零.“Dual Price ”的意思是对偶价格（或称为影子价格），上述报告中Row2的松弛值为0，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需设备8台时已经饱和，对偶价格1.5的含义是：如果设备增加1台时，能使目标函数值增加1.5.报告中Row4的松弛值为4，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需原材料乙8公斤还剩余4公斤，因此增加原材料乙不会使目标函数值增加，所以对偶价格为0.≥问题1.2设需要饲料分别为 kg ，则建立线性规划数学模型：54321,,,,A A A A A 54321,,,,x x x x x 123451234512345123451234512345min 0.20.70.40.30.50.320.6 1.8600.10.050.020.20.0530.050.10.020.20.088.52,,,,0S x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =++++++++≥⎧⎪++++⎪⎪≥++++⎨⎪++++≤⎪≥⎪⎩≥ 在LINGO 的MODEL 窗口内输入如下模型：Min=0.2*x1+0.7*x2+0.4*x3+0.3*x4+0.5*x5;0.3*x1+2*x2+x3+0.6*x4+1.8*x5>60;0.1*x1+0.05*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.05*x5>3;0.05*x1+0.1*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.08*x5>8;x1+x2+x3+x4+x5<52;求解输出结果如下:Global optimal solution found at iteration: 4Objective value: 22.40000Variable Value Reduced CostX1 0.000000 0.7000000X2 12.00000 0.000000X3 0.000000 0.6166667X4 30.00000 0.000000X5 10.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 22.40000 -1.0000002 0.000000 -0.58333333 4.100000 0.0000004 0.000000 -4.1666675 0.000000 0.8833333因此,每周每个动物的配料为饲料、、分别为12、30和10kg ，合计为52，可使得饲养成本达到最小，最小成本为22.4元；不选用饲料和的原因是因为这两种饲料的价格太高了，没有竞争力.“Reduced Cost ”分别等于0.7和0.617，说明当这两种饲料的价格分别降低0.7元和0.62元以上时，不仅选用这两种饲料而且使得饲养成本降低.从“Slack or Surplus”可以看出，蛋白质和维生素刚达到最低标准，矿物质超过最低标准4.12A 4A 5A kg kg kg 1A 3A g ；从“Dual Price”可以得到降低标准蛋白质1单位可使饲养成本降低0.583元，降低标准维生素1单位可使饲养成本降低4.167元，但降低矿物质的标准不会降低饲养成本，如果动物的进食量减少，就必须选取精一些的饲料但要增加成本，大约进食量降低1可使得饲养成本增加0.88元.kg 对于目标函数系数和约束条件右端常数项的灵敏度分析，可以通过LINGO 软件求解的灵敏度分析给出.如果要看灵敏度分析结果，必须激活灵敏度计算功能才会在求解时给出灵敏度分析结果，默认情况下这项功能是关闭的.想要激活它，必须运行LINGO|Options …命令，选择Gengral Solver ，在Dual Computation 列表框中，选择Prices and Ranges 选项并确定.对于例1.1问题进行灵敏度分析，结果如下：以下是灵敏度分析的结果Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase DecreaseX1 2.000000 INFINITY 0.5000000X2 3.000000 1.000000 3.000000Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 8.000000 2.000000 4.0000003 16.00000 16.00000 8.0000004 12.00000 INFINITY 4.000000对于例1.2问题进行灵敏度分析，结果如下：Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase DecreaseX1 0.2000000 INFINITY 0.7000000X2 0.7000000 INFINITY 0.1358974X3 0.4000000 INFINITY 0.6166667X4 0.3000000 1.400000 1.000000X5 0.5000000 0.1247059 INFINITYRighthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 60.00000 4.800000 4.8000003 3.000000 4.100000 INFINITY4 8.000000 0.3428571 0.48000005 52.00000 1.846154 1.411765思考题某投资公司拟制定今后5年的投资计划，初步考虑下面四个投资项目：项目A：从第1年到第4年每年年初可以投资，于次年年末收回成本，并可获利润15%；项目B：第3年年初可以投资，到第5年年末可以收回成本，并获得利润25%，但为了保证足够的资金流动，规定该项目的投资金额上限为不超过总金额的40%；项目C：第2年年初可以投资，到第5年年末可以收回成本，并获得利润40%，但公司规定该项目的最大投资金额不超过总金额的30%；项目D：5年内每年年初可以购买公债，于当年年末可以归还本金，并获利息6%.该公司现有投资金额100万元，请帮助该公司制定这些项目每年的投资计划，使公司到第5年年末核算这5年投资的收益率达到最大.建立线性规划问题的数学模型，并用LINGO求解.。
数学建模：运用Lindolingo软件求解线性规划
数学建模：运用L i n d o l i n g o软件求解线性规划-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1、实验内容：对下面是实际问题建立相应的数学模型，并用数学软件包Lindo/lingo 对模型进行求解。
某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资.2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划.数学建模论文运用lindo/lingo软件求解线性规划运用lindo/lingo软件求解线性规划一、摘要本文要解决的问题是如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大。
首先，对问题进行重述明确题目的中心思想，做出合理的假设，对符号做简要的说明。
然后，对问题进行分析，根据题目的要求，建立合适的数学模型。
最后，运用lindo/lingo软件求出题目的解。
【关键词】最优解 lindo/lingo软件第二、问题的重述某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资。
2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划。
第三、模型的基本假设1、每一箱饮料消耗的人力、物力相同。
2、每个人的能力相等。
3、生产设备对生产没有影响。
第四、符号说明1、x.....甲饮料2、y.....乙饮料3、z.....增加的原材料第五、问题分析根据题目要求：如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大，可知本题所求的是利润的最大值。
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问题3：若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人 的工资最多是每小时几元？
劳动时间的影子价格为2元，含义 是增加1小时劳动，利润增加2元。 所以，答案是：最多每小时2元
问题4：由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应 否改变生产计划？
X1的价值系数变化范围为（64,96） Z=30*3x1+16*4x2 =90x1+64x2
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university modern post College
LINDO软件求解线性规划的应用案例
例题
一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可 以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小 时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1、A2能全部售出， 且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能 得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时， 并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有 限制。
（1）请为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大。
（2）若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资？
（3）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工 资最多是每小时几元？
（4）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改 变生产计划？
决策变量
设用X1桶牛奶生产A1，用X2桶牛奶生产A2
运 筹 学
劳动时间 加工能力
132xx1 1180x02 480
非负约束
x1 ,x2 0
问题1：请为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大。
20桶牛奶生产A1，30桶牛奶生产 A2，利润3360元。
问题2：若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资？
牛奶的影子价格为48元，含义是 增加1桶牛奶，利润增加48元。 48>35, 所以答案是：应该购买
目标函数
A1的利润：24*3Hale Waihona Puke 1A2的利润：16*4x2
Max Z=24*3x1+16*4x2 =72x1+64x2
约束条件
牛奶供应：x1+x2<=50 劳动时间：12x1+8x2<=480 加工能力：3x1<=100
例题模型
每天获利
maxz = 72x1 + 64x2
原料供应
x1 x2 50
答案是：不改变生产计划
谢谢！