数理统计试卷及答案

安徽大学2011—2012学年第一学期 《数理统计》考试试卷（B 卷）

（闭卷 时间120分钟）

院/系 年级 专业 姓名 学号

一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

1、设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X 是X 的样本，则（ ）.

（A ）

1~(0,1)1X N -； （B ）1

~(0,1)3

X N -； （C ）

1

~(0,1)9X N -； （D

~(0,1)X N ． 2、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，21

2

)(1X X n S i n i n

-=∑=，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。 （A ）

σ

μ）

-X n ( （B ）

n S X n )(1μ-- （C ）σ

μ）

--X n (1 （D ）n S X n )(μ-

3、若总体X ～),(2σμN ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间（ ）.

（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.

4、在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是（ ）.

（A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立.

5、在多元线性回归分析中，设ˆβ

是β的最小二乘估计，ˆˆ=-εY βX 是残差向量，则（ ）.

（A ）ˆn E ()=0ε

； （B ）1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ； （C ）ˆˆ1

n p '--ε

ε是2σ的无偏估计； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.

二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

6、设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X 和129(,,)

Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，则92X U Y

++=

+

+服从的分布是_______ .

7、设1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计，且1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差满足_______ ______________.

8、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________.

9、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，对于给定的显著性水平α，已知关于2σ检验的拒绝域为χ2≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________；

10、多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是ˆβ

=_______ ________.

三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）

11、已知总体X 的概率密度函数为1, 0

(),0, x

e x

f x θ

θ-⎧>⎪=⎨⎪⎩

其它其中未知参数0θ>,

12(,,

,)n X X X 为取自总体的一个样本，求θ的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计

量．

12、设n X X X ,,,21 是来自总体X ～)(λP 的样本，0λ>未知，求λ的最大似然估计量.

13、已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，2

22~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，

112(,,

,)n X X X 和2

12(,,

,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2

122

σσ的置信度为1α-的置信

区间.

14、合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本修正标准差为007.0=S 公斤, 试问：（1）在显著性水平05.0=α下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平0.025α=，结果会怎样？ (023.19)9(2025.0=χ, 919.16)9(205.0=χ, 535.17)8(2025.0=χ, 507.15)8(205.0=χ)

15、设总体X ～)1,(a N ，a 为未知参数，R a ∈，n X X X ,,,21 为来自于X 的简单随机样本，现考虑假设：

00:a a H =，01:a a H ≠(0a 为已知数）

取05.0=α，试用广义似然比检验法检验此假设（写出拒绝域即可）.（96.1025.0=u ，

65.105.0=u ，024.5)1(2

025.0=χ，841.3)1(205.0=χ）

四、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

16、设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一个

UMVUE ．

17、设1,

,n X X 是来自两参数指数分布

()/1

(;,),,0x p x e x μθθμμθθ

--=

>>

的样本，证明(1)(,)X X 是(,)μθ充分统计量.

五、综合分析题（本大题共10分）

18、现收集了16组合金钢中的碳含量X 及强度Y 的数据，求得

16

21

16

1621

1

0.125,

45.788,

()0.3024,

()()25.5218,

()2432.4566.

i

i i

i i

i i x y x

x x

x y y y

y =====-=--=-=∑∑∑

(1)建立Y 关于X 的一元线性回归方程x y 1

0ˆˆˆββ+=; (2)对Y 与X 的线性关系做显著性检验（05.0=α,60.4)14,1(05.0=F , 1448.2)14(025.0=t ,

7613.1)14(05.0=t ）.