数理统计试卷及答案

安徽大学2011—2012学年第一学期 《数理统计》考试试卷（B 卷）
（闭卷 时间120分钟）
院/系 年级 专业 姓名 学号
一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1、设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X 是X 的样本，则（ ）.
（A ）
1~(0,1)1X N -； （B ）1
~(0,1)3
X N -； （C ）
1
~(0,1)9X N -； （D
~(0,1)X N ． 2、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，21
2
)(1X X n S i n i n
-=∑=，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。

（A ）
σ
μ）
-X n ( （B ）
n S X n )(1μ-- （C ）σ
μ）
--X n (1 （D ）n S X n )(μ-
3、若总体X ～),(2σμN ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间（ ）.
（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.
4、在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是（ ）.
（A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立.
5、在多元线性回归分析中，设ˆβ
是β的最小二乘估计，ˆˆ=-εY βX 是残差向量，则（ ）.
（A ）ˆn E ()=0ε
； （B ）1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ； （C ）ˆˆ1
n p '--ε
ε是2σ的无偏估计； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.
二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
6、设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X 和129(,,)
Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，则92X U Y
++=
+
+服从的分布是_______ .
7、设1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计，且1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差满足_______ ______________.
8、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________.
9、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，对于给定的显著性水平α，已知关于2σ检验的拒绝域为χ2≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________；
10、多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是ˆβ
=_______ ________.
三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）
11、已知总体X 的概率密度函数为1, 0
(),0, x
e x
f x θ
θ-⎧>⎪=⎨⎪⎩
其它其中未知参数0θ>,
12(,,
,)n X X X 为取自总体的一个样本，求θ的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计
量．
12、设n X X X ,,,21 是来自总体X ～)(λP 的样本，0λ>未知，求λ的最大似然估计量.
13、已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，2
22~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，
112(,,
,)n X X X 和2
12(,,
,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2
122
σσ的置信度为1α-的置信
区间.
14、合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本修正标准差为007.0=S 公斤, 试问：（1）在显著性水平05.0=α下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平0.025α=，结果会怎样？ (023.19)9(2025.0=χ, 919.16)9(205.0=χ, 535.17)8(2025.0=χ, 507.15)8(205.0=χ)
15、设总体X ～)1,(a N ，a 为未知参数，R a ∈，n X X X ,,,21 为来自于X 的简单随机样本，现考虑假设：
00:a a H =，01:a a H ≠(0a 为已知数）
取05.0=α，试用广义似然比检验法检验此假设（写出拒绝域即可）.（96.1025.0=u ，
65.105.0=u ，024.5)1(2
025.0=χ，841.3)1(205.0=χ）
四、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
16、设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一个
UMVUE ．
17、设1,
,n X X 是来自两参数指数分布
()/1
(;,),,0x p x e x μθθμμθθ
--=
>>
的样本，证明(1)(,)X X 是(,)μθ充分统计量.
五、综合分析题（本大题共10分）
18、现收集了16组合金钢中的碳含量X 及强度Y 的数据，求得
16
21
16
1621
1
0.125,
45.788,
()0.3024,
()()25.5218,
()2432.4566.
i
i i
i i
i i x y x
x x
x y y y
y =====-=--=-=∑∑∑
(1)建立Y 关于X 的一元线性回归方程x y 1
0ˆˆˆββ+=; (2)对Y 与X 的线性关系做显著性检验（05.0=α,60.4)14,1(05.0=F , 1448.2)14(025.0=t ,
7613.1)14(05.0=t ）.
安徽大学2011—2012学年第一学期
《数理统计》（B 卷）考试试题参考答案及评分标准
一、选择题（每小题2分，共10分）
1、A
2、D
3、C
4、C
5、B
二、填空题（每小题2分，共10分）
6、)9(t
7、1212
ˆˆˆˆ()(), ()()E E D D θθθθ=< 8、2/αμσn
9、202σσ< 10、1ˆσ-'2Cov(β)
=()X X
三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）
11、解：（1）()101()x v E X xf x dx xe dx θ
θθ-∞∞-∞====⎰⎰，用11
1n i i v X X n ===∑代替，所以
∑===
n
i i
X X
n
1
1ˆθ． ………………5分
（2）1
1ˆ()()()()n
i i E E X E X E X n θθ=====∑，所以该估计量是无偏估计． (10)
分
12、解: 总体X 的分布律为{}(,),1,2,
!
x
p x P X
x e x x λλλ-====
设12(,,
,)n x x x 为样本12(,,
,)n X X X 的一个观察值，似然函数
1
1
1
()(),!
!i
i
x
x
n
n
n
n i i i i i i L P X x e
e
x x λ
λ
λλλ--=======∏∏
∏ …………………………4分
对数似然函数
[]1
ln ()ln ln(!)n
i i i L n x x λλλ==-+-∑，
11
11ˆ(ln ())0,0,n n
i i i i d L n x x d n λλλλ===-+==∑∑ 2221ˆ1(ln ())0n i
i x d n
L x d x λ
λλλ===-⋅=-<∑， 所以ˆx λ
=是λ的最大似然估计值，λ的最大似然估计量为ˆX λ
=. …………10分 13、解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2221 ,
[]/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 则
22222
1211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭
， 所求
22
21σσ的置信度为
α
-1的置信区间为
2222
1212
1/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭
．………10分
14、解：（1）()()222
202
1:0.005,~8n S H σχχσ-≤=，则应有： ()()222
0.050.05
80.005,(8)15.507P χχχ>=⇒=， 具体计算得：2
2
2
80.00715.6815.507,0.005
χ⨯==>所以拒绝假设0H ，即认为苹果重量标准差指标未达到要
求． ………………5分
（2）新设 20:0.005,H σ≤ 由222
0.0252
80.00717.535,15.6817.535,0.005
χχ⨯=⇒==< 则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求． ………………10分
15、解：似然函数为∑=
=--
n
i i a X n n e
a x x L 1
2)(212
/1)2(1);,,(π ， 从而 ∑=
=--
n
i i a X n n e a x x L 1
20)(212
/01)2(1);,,(π
又参数a 的极大似然估计为X ，于是 ∑=
=--
∈n
i i X X n n R
a e a x x L 1
2)(212
/1)2(1);,,(sup π 得似然比函数为
})(2
ex p{);,,()
;,,(sup ),,(200111a X n
a x x L a x x L x x n n R a n -==∈ λ， ………………5分
给定05.0=α，得
)ln 2)(()|),,((05.00200001λλλ>-==>=a X n P a a x x P n ，
因为当0H 成立时，20)(a X n -～)1(2χ，此即02
05.0ln 284.3)1(λχ==，
从而上述问题的拒绝域是
}84.3)({200>-=a X n W . ………………10分
四、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 16、证明：X 的分布律为
1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．
容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是
2
1
()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==
⎢⎥∂-⎣⎦
． ………………5分
另一方面
1(1)1
Var()Var()()
p p X X n n nI p -===，
即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ． ………………10分
17、证明 样本的联合密度函数为
1
(1)(1)()
11
1
(,
,;,)()().n
i i x nx n n
n
n x x P x x e
I e
I μμ
θ
θ
μμθμθ
θ
=-----
>>∑== ……………
…5分
取(1)(1)11(,),(;)(),(,,)1,2nx n n x n t x x g t e
I h x x μ
θμθθ
-->=== 故由因子分解定理，(1)(,)X X 是(,)μθ充分统计
量. ………………10分 五、综合分析题（本大题共10分）
18、解: (1)根据已知数据可以得到回归系数的估计为
16
1
116
2
1
01()()
25.5218
84.3975,
0.3024
()45.78884.39750.12535.2389.i
i i i i x
x y y x x y x βββ==--=
=
=-=-=-⨯=∑∑
故Y
对X
的回归方程为
ˆ35.238984.3975.=+y
x . ………………………5分 (2)该问题即需要检验假设
0:10=βH
由于
4805.278ˆ1=-=xy yy l l Q β， 从而 9761.2153=-=Q l U yy
于是 2863.108)
2/(=-=
n Q U
F ，
又 60.4)14,1(05.0=F ，
可见 )14,1(05.0F F >，
因此拒绝原假设，即回
归效果显
著。

………………………10分。