数列不等式的放缩法ppt课件
【课件】数列不等式放缩问题课件-2023届高三数学二轮专题复习
（Ⅰ）求{an} 的通项公式；
（Ⅱ）证明数列
bn 2n
1
是等比数列，并求{bn} 的通项公式；
（Ⅲ）求证：对任意的 n N* ， n 1 3 ． b i1 i 2
（Ⅰ）解：设等差数列{an} 的公差为 d ， d 0 ， 因为 a3 3a4 S5 ， a1a5 S4 ，
则
aa11
1 2n 1
1 2n1 1
．
c1
c2
c3
cn
1 21 1
1 22 1
1 22 1
1 23 1
1 2n 1
1 2n1 1
1
1 2n1
1
1
变式
2．设数列{an} 的前 n
项和为 Sn
，数列{Sn }
的前 n
项和为Tn
，且满足Tn
3 2
sn
3n
，n N*
（Ⅰ）求 a1 的值．
（Ⅱ）求数列{an} 的通项公式；
n
n
1
,即
an1 n 1
an n
1 ,又 a2 2
a1 1
1
故数列
an n
是首项为
a1
1
1 ,公差为1的等差数列,所以 an n
1 n 11 n
,所以
an n2 .
（3）当 n 1 时, 1 1 7 ；当 n 2 时, 1 1 1 1 5 7 ；
a1
4
a1 a2
444
an 0 an1 an1 4. 当n 2k 1, k N *时，a2k2 a2k 4; 即a2，a4，a6，• • • • • •，a2k是以4为首项，4为公差的等差数列； a2k 4 （k-1) 4=4k=2 2k; 当n 2k, k N *时，a2k1 a2k1 4; 即a1，a3，a5，• • • • • •，a2k1是以2为首项，4为公差的等差数列； a2k1 2 （k-1) 4=4k-2=2 (2k-1); 综上所述，an 2n, n N *。
反证法与放缩法 课件
,求证 : 2n
b1
b2
bn
2n
3n N*.
【解析】
1.A 1 1 1 1 1 1 1 n n.
123
n nn
nn
答案：A n
共n项
2.
bn
an a n1
a n1 an
n n2
n2 n
n N*,
n n2. n2 n
bn
n
n
2
n
n
2＞2
n n2 2 n2 n
b1 b2 bn 2n.
仅给出一个已知条件：a3+b3=2
假设a+b＞2，则a＞2-b
∵2=a3+b3，又a＞2-b， ∴2＞(2-b)3+b3 2＞8-12b+6b2 即(b-1)2＜0，这是不可能的 故a+b≤2
用反证法证“至多”“至少”型问题
“至多”“至少”型问题的证明方法 在证明中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难 以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法证明.在用反证法 证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当于增加了题 设条件,因此在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无 法推出矛盾.
(2)如何进行放缩？对 n(n 放1)大或缩小.
【规范答题】 n n 1＞ n2 n, n n 1＜ (n 1)2 2n 1,
2
2
n＜ n n 1…＜…2n…1…, ………………………4分
2
1
2
3
n＜a n＜3
5
2
2n
1
1 3 5 2n 1 ,8分
2
n
n 2
1
＜a
n＜
n
12
指数型数列不等式放缩
2 3n1
1 3n1
1
1 2 3n1
1 6 3n2
1
1
1
1
3n 1 9 3n2 1 8 3n2 3n2 1 8 3n2
n2
再改进： 1 1 1
31 1 32 1
3n 1
1 2
1 8
1 8 31
1 8 3n-2
1
1
1
n-2
5 24 3
1 1 83
5 1 11 8 16 16
再改进： 1 31
1
1 32
1
1 3n
1
1 2
1 8
1 2 32Biblioteka 1 2 3n-15
1
1
1
n-2
18 3
8
1 1
3
10 1 11 16 12 16
引例
求证： 1 1 1 11 3
31 1 32 1
3n 1 16 4
1 3n 1
2 3n
1 3n 1
1 3 3n1
1
1
2 3
n
3
1 1
1
3
1 2
1
3
1 n
1
21 13
2
2
2
【课堂小结】
求证：a1 a2 an k的实质：
寻找一个数列bn , 且bn 同时具备两个条件
条件1：
把
数
列bn
的前n项
和
记
为S
n
,
则S
可
n
求
，
且S
n
k
条件2：存在一个最小的N ,当n N时, an bn恒成立
从第几项开始放缩，取决于两个数列的接近程度。
放缩法证明数列不等式【最终】PPT课件
例1 例2 例3
例2 (2013广东文19第(3)问 ) 求证： 1 1 1 13 35 5 7
1
1 (n N)
(2n 1)(2n 1) 2
化简 转化
左边 1 [(1 1) (1 1) ( 1 1 )]
2 3 35
2n 1 2n 1
1 1
2n 1 2n
放大
nn
2n n 2n
将通项放缩 为等比数列
将通项放缩为 错位相减模型
【方法总结之一】
(1) 入手点：不等式左边 若可以直接求和，就先求和再放缩； 若不能直接求和，一般要先放缩成可求 和的数列模型后再求和。
(2) 放缩方法：减小分母（“直接删减”）；
根据 n N* 寻找常数
提示2
1 1 (n 2) n2 n2 n
1 1 1 1
22 32
n2
1 1 + 1 + + 1 2 1
22 2 32 3
n2 n
n
自主探究 合作交流
•
同样是使
1 n2
放大，为什么提示1可以证明原不
等式而提示2会出现问题？
• 如何改进提示1的证明过程？
思路一 在原有基础上，即从第二项开始放缩， 缩小放大程度 将通项放得比提示2更小一点，例如提示1
可求和
先求和再放缩
放缩模型 等比数列 错位相减模型
裂项相消模型
本节课学到的放缩方法
1
11
2n 1 2n
nn
2n n 2n
2
1 n2
n
1 2
1
1 (n 1)(n
1)
1 2
n
数列第8讲 不等式放缩教师版
数列第8讲 不等式放缩金版P 108 典例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝na n ＋2a n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 的前n 项和为T n ，求证：T n <4.解题思路 (1)先根据2S n ＝na n ＋2a n －1和a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，推出数列{a n }的递推公式，再求a n .(2)根据⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 的通项公式的结构形式，联系裂项求和法进行适当放缩，再求和，证明T n <4. 规范解答 (1)解法一：当n ＝1时，2S 1＝a 1＋2a 1－1，所以a 1＝1.当n ≥2时，2S n ＝na n ＋2a n －1，①2S n －1＝(n －1)a n －1＋2a n －1－1.②①－②，得2a n ＝na n －(n －1)a n －1＋2a n －2a n －1，所以na n ＝(n ＋1)a n －1.所以a n n ＋1＝a n －1n . 所以a n n ＋1＝a n －1n ＝…＝a 11＋1＝12，即a n ＝n ＋12. 当n ＝1时，a 1＝1也满足此式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12.解法二：当n ＝1时，2S 1＝a 1＋2a 1－1，所以a 1＝1.当n ≥2时，2S n ＝na n ＋2a n －1，①2S n －1＝(n －1)a n －1＋2a n －1－1.②①－②，得2a n ＝na n －(n －1)a n －1＋2a n －2a n －1，所以na n ＝(n ＋1)a n －1.所以a n a n －1＝n ＋1n . 所以a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝1×32×43×…×n ＋1n ＝n ＋12. 当n ＝1时，a 1＝1也满足此式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12.(2)证明：由(1)得a n ＝n ＋12，所以1a 2n ＝4(n ＋1)2<4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝422＋432＋442＋…＋4(n ＋1)2<41×2＋42×3＋43×4＋…＋4n (n ＋1)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<4. 黄皮（首选卷）P 67 17．对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，已知正数数列{a n }满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，n ∈N *，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是( ) A ．数列{S 2n }是等差数列B ．S n ＝nC ．a n ＝n －n －1D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1S 1＋1S 2＋…＋1S 121＝20 答案 ABCD解析 由题意可知S n ＞0，当n ＞1时，S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(S n －S n －1)＋1S n －S n －1，化简，得S 2n －S 2n －1＝1，当n ＝1时，S 21＝a 21＝1，所以数列{S 2n }是首项和公差都为1的等差数列，A 正确；因为S 2n ＝n ，所以S n ＝n ，n ＝1也符合该式，故S n ＝n ，B 正确；当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n －n －1，n ＝1也符合该式，故a n ＝n －n －1，C 正确；因为当n ＞1时，2(n ＋1－n )＝2n ＋1＋n ＜22S n ＜2n ＋n －1＝2(n －n －1)， 记S ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S 121， 一方面S ＞2[122－121＋…＋2－1]＝2(122－1)＞20， 另一方面S ＜1＋2[(121－120)＋…＋(2－1)]＝1＋2(121－1)＝21. 所以20＜S ＜21.即[S ]＝20，D 正确．故选ABCD ．例3.已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，且n n n a a S 242+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧31n a 前n 项和为n T ，求证.325<n T 【解析】（1）na n 2=))1(1)1(1(161)1)(1(81)1(8181223+--=-+=-<n n n n n n n n n n ）（325)1(1)1(1.....32121116181<+--++⨯-⨯+<）（原n n n n 例4.数列{}n a 中，11=a ，.131+=+n n a a （1）证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 是等比数列；（2）求证：2311121<+++n a a a .【解析】：（Ⅰ）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n -. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：n a =312n -，所以1231n n a =-， 因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅，于是11a +21a +1n a 111133n -≤+++=31(1)23n -32<，所以11a +21a +1n a 32<. （或者放为1311321-<-=n n n a ）。
高考数学复习放缩法与数列不等式
a3 a 2 a1 ，并加以灵活 a2 a1
运用。
例 3 已知 n∈ N, n>1，求证： 4 6 8 35 7
2n 1 2n 1. 2n 1 2
证 4n2 4n2 1
2n
2n 1 , （从何而来你可知到？）
2n 1 2n
468 357
2n 5 7 9 2n 1 4 6 8
2n 1, 2n
468 ( 357
1
a
2 n
1
11 (
a
2 n
1)2
( 1 )1
a 2 22 n2
a
aa
a
( 1 )1 2 ( 1
an2
) 22
3
aa
( 1 )1 2 22
a2 3 n3
a
( 1 )1 2 22 a
a 2 n 2
2n 1 1
(1)2n 1
a 2n 1 1
a
an
a(
a1
) 2n
1
.
a
证明
（ II ）由
a=1，
1 a1 ≤2
线段 Pn-1Pn+1 作 n 等分的分点中最靠近 Pn+1 的点，设线段 P1P2，P2P3，… ，PnPn+1 的长度分别为
a1,a2,a3, … ,an，其中 a1=1. (I) 写出 a2,a3 和 an(n ≥ 2,∈n N*) 的表达式；
(II) 证明： a1+a 2+a3+… +an<3(n∈ N *).
1) xn
C1n xn 1
1 x
C
2 n
x
n
2
1 x2
C
：利用放缩法证明不等式(共35张PPT)
1 1 1 变式1 求证： 1 2 2 2 2 ( n N ) 2 3 n
分析 左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消
模型后求和. 保留第一项， 1 1 1 1 从第二项开 (n 2) 始放缩 n n( n 1) n 1 n 1 1 1 1 1 左边 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 n 1 n
保留前两项， 1 1 1 1 1 2 ( ) (n 3) 从第三项开 2 n n 1 2 n 1 n 1 始放缩
1 1 1 1 1 1 1 1 ) 左边 1 2 ( ) ( ) ( 2 2 2 4 3 5 n 1 n 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) (n 3) 4 2 2 3 3 4 2 2 3 n n 1
1 1 1 1 例1 求证： 2 3 n 1 (n N ) 2 2 2 2
分析 不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
1 1 (1 ) 1 2 2 左边 1 n 1 1 2 1 2
n
表面是证数列不等式， 实质是数列求和
1 2 3 n 变式1 求证： 2 3 n 2 (n N ) 2 2 2 2
当n = 1, 2时，不等式显然也成立.
1 1 1 5 变式3 求证： 1 2 2 2 ( n N ) 2 3 n 3
分析 变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将
变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？
思路二 将通项放得比变式2思路二更小一点.
1 4 4 1 1 2 2 2( ) (n 2) 2 n 4n 4n 1 2n 1 2n 1
数列不等式中的放缩法
数列不等式中的放缩法数列不等式的证明是高中数学一个难点,期中最常见的方法是放缩法,这种方法的思维跳跃性大,不好控制,笔者在多年的教学实践中总结下列几种常见的放缩法.一．裂项放缩例1，已知an=1n2,sn=a1+a2+ …+an 求证sn1)∴sn=a1+a2+ …+an 1),∴sn=a1+a2+ …+anb1所以我们要从第2项开始放大:即要使12=b21-q 取q=12 则b2=14 当n=1时b1=1当n>1时bn=12n+1满足an bn所以sn=a1+a2+a3……+aAT/JINeXTrwZDSX3Y/qtUw==n构造无穷递缩等比数列的方法证明数列不等式是通用方法,其中b1和q的取法是多样的,但是要注意始终保证an bn条件下确定是从第几项开始放大，当然有时候存在前面几项放得太大,也需要确定从第几项开始放大更恰当的问题.例5,已知,an=13n-2n,sn=a1+a2+a3……+an.求证sn0)，则有an a1qn-1，若sn为数列{an}的前n项和，则有sn a1(1-qn)1-q .已知正数数列{an}满足an+1an q(q>0)，则有an a1qn-1，若为数列{an}的前n项和，则有sn a1(1-qn)1-q例7, 已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）（n∈N*），其中xn为正实数.（Ⅰ）用xn表示xn+1；（Ⅱ）若x1=4，记an=lgxn+2xn-2 ，证明数列{an}成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn0.∴bn+1bn=32n-1-132n-1=132n-1+1 1时，bn 4a1+an+4a2+an-1+…+4an+a1=4na1+an所以1a1+1a2+…+1an2na1+an其计算过程是对数列{1an进行倒序相加，再应用均值不等式（调和平均数小于或等于算数平均数）就能得到相应的不等式.例8.设数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,都有an>0,且满足(a1+a2+…+an)2=a31+a32+…+.an(1)求数列{an}的通项公式;(2)当09n-14n+3.解(1):当n=1时,a1=s1=a31,所以a1=1.当n=2时,s2=a31+a32,即a1+a2=a31+a32,所以a2=2.由题知,a31+a32+…+a3n=(a1+a2+…+an)2,①a31+a32+…+a3n+a3n-1=(a1+a2+…+an+an+1)2,②由②-①得a3n+1=(a1+a2+…+an+an+1)2-(a1+a2+…+an)2,因为a n+1>0,所以a2n+1=2(a1+a2+…+an)+an+1,③a2n=2(a1+a2+…+an-1)+an(n≥2),④由③-④得a2n+1-a2n=an+an+1,所以an+1-an=1.因为a2-a1=1,所以当n≥1时都有an+1-an=1,所以{an}是以1为首项,以1为公差的等差数列,故an=n.(2)证明:因为bn=(1-λ)(n+12,cn=λ(n+1),所以1bncn=4λ(1-λ)(2n+1)(2n+2)≥16(2n+1)(2n+2)=162n+1-162n+2,所以Tn≥16[(13-14)+(15-16)+…+(12n+1-12n+2)]=16[13+14+15+…+12n+1+12n+2-2(14 +16+…+12n+2)]=16(1n+2+1n+3+…+12n+2-12).设tn=1n+2+1n+3+…+12n+2,倒序相加得2tn=(1n+2+12n+2)+(1n+3+12n+1)+…+(12n+2+1n+2)>43n+4+43n+4+…+43n+4所以tn>2(n+1)3n+4, 从而Tn>16[2(n+1)3n+4-12]=8n3n+4.因为8n3n+4-9n-14n+3=(5n-4)(n-1)(3n+4)(4n+3)≥0,所以Tn>9n-14n+3.<32</n+1-n.。
高中数学讲义：放缩法证明数列不等式
放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。
本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=×，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=¹-，n n a k q =×（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
数列不等式放缩
数列不等式放缩常见的放缩方法有：增加（减少）某些项，增大（减少）分子（分母），增大（减小）被开方数，增大（减小）底数（指数）。
利用不等式的性质或重要不等式，函数的性质。
一． 对于“和式”数列不等式，放缩的最主要目的是通过放缩，把原数列变为可求和数列1. 先求和后放缩例1.等差数列{}n a 中，113221=+a a ，42623-+=a a a ，其前n 项和为nS（1） 求数列{}n a 的通项公式 （2） 设数列{}n b 满足111-=+n n S b ，其前n 项和为nT 。
求证：)(43*N n T n ∈<变式1.设函数21()1+f x px qx=+（其中220p q +≠），且存在无穷数列{}n a ，使得函数在其定义域内还可以表示为212()1n n f x a x a x a x =+++++ . （1）求2a （用,p q 表示）；（2）当1,1p q =-=-时，令12n n n n ab a a ++=，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：32n S <；2.先放缩后求和类型一：通过放缩把原数列变为可以用“裂项法”求和的新数列 例1．求证：2131211222<++++nL变式1.35131211222<++++n L例2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2)12(1+=n a n 。
求证：41<n S变式1.已知数列{n a }中，n S 为其前n 项和，且12a a ≠，当n N +∈时，恒有n n S pna =（p 为常数）． (Ⅰ)求常数p 的值；(Ⅱ)当22a =时，求数列{n a }的通项公式； （Ⅲ）设14(2)n n n b a a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：74n T <．例3.已知数列{n a }中，31=a ，)(12*1N n a a n n ∈-=+ (1)设)(1*N n a b n n ∈-=.求数列{}n b 的通项n b 和前n 项和nS(2)设12+∙=n n nn a a c .记数列{}n c 的前n 项和为n T .求证:31<n T变式1: 已知数列{n a }的首项21=a ,前n 项和为n S ,且122,,+-n n a S a 成等差数列. (1)求数列{n a }的通项公式(2)记)1)(1(1--=+n n nn a a a b .求数列{}n b 的前n 项和n T ，并证明132<≤n T类型二:放缩为等比数列例1.已知数列{n a }满足11=a ，131+=+n n a a（1）证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 是等比数列，并求数列{n a }的通项公式（2）证明：2311121<+++n a a a L变式1.证明：5412112112112132<++++++++n L （从第三项起放缩为：n n21121<+）变式2.证明：34131213513313132<--++-+-+-n n L 提示：从第二项起放缩为：n nnn 321312<--得左边3433234)33265(21)323634(211132<+-=+-+=++++<++n n n n n n L二．利用均值不等式 例1：证明：2)2()1(3221+<+++∙+∙n n n n L变式 1.设)1(3221+++∙+∙=n n S n L 。
数列型不等式的放缩技巧九法
数列型不等式的放缩技巧九法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种：一 利用重要不等式放缩1． 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n Λ求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k Θ，)21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ， 即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2b a ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a na a a a a a n n n nn n22111111++≤++≤≤++ΛΛΛΛ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。
例2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f Λ（02年全国联赛山东预赛题）简析 )2211()()1()0(22114111414)(⨯->++⇒≠•->+-=+=n f f x x f xx x x Λ .2121)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=⨯-++⨯-++-n n n n n ΛΛ 例3 求证),1(221321N n n n C C C C n n nnnn∈>⋅>++++-Λ.简析 不等式左边=++++nn n n n C C C C Λ32112222112-++++=-n n Λn n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅>Λ=212-⋅n n ，故原结论成立.2．利用有用结论例4 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ简析 本题可以利用的有用结论主要有：法1 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 可得>-⋅⋅122563412n n Λ=+⋅⋅n n 212674523Λ)12(212654321+⋅-⋅⋅n nn Λ ⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n Λ即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ法2 利用贝努利不等式)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+*x x n N n nx x n 的一个特例12121)1211(2-⋅+>-+k k (此处121,2-==k x n )得 =-+∏⇒-+>-+=)1211(121212111k k k k n k .1212121+=-+∏=n k k n k注：例4是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。
24_数列不等式的放缩法课件
保留 第一 项， 从第 二项 开始 放缩
13
评注
14
第14页/共24页
【方法总结之二】
放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程 中，很多时候要“留一手”， 即采用“有所保留” 的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第 二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过 大或缩得过小.
将通项放缩为 等比数列
左边
4
第4页/共24页
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，
如何放缩？
将通项放缩为
注意到
错位相减模型
5
第5页/共24页
【方法总结之一】
6
第6页/共24页
7
第7页/共24页
分析 左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩.
表面是证数列不等式， 实质是数列求和
8
第8页/共24页
15
第15页/共24页
牛刀小试（变式练习1）
证明
当n = 1时，不等式显然也成立. 16 第16页/共24页
17
第17页/共24页
分析
思路 利用指数函数的单调性放缩为等比模型
∵ ∴
左边
18
第18页/共24页
分析 左边不能直接求和，能否仿照例4的方法将通项
也放缩为等比模型后求和？
∵
∴
保留第一项，从
思路一
将变式2思路二中通项从第三项才开始放缩.
保留前两项， 从第三项开
始放缩
左边
当n = 1, 2时，不等式显然也成立.
12
第12页/共24页
分析 变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将变
式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？
数列放缩法
数列放缩法数列放缩法是一种常见的数学证明方法，它通常用于证明不等式。
该方法的基本思想是利用已知的不等式将目标不等式转化为一个更容易证明的不等式。
这种方法在数学竞赛和研究中被广泛使用，因为它可以使证明更加简单和直观。
一般来说，数列放缩法可以分为两种类型：基于平均值不等式（AM-GM不等式）的放缩和基于柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz 不等式）的放缩。
这两种方法都有其独特的优点和适用范围，可以根据具体问题的特点选择合适的方法。
基于平均值不等式的放缩方法通常适用于求证一些简单的不等式，例如求证a+b>=2√ab。
该方法的基本思想是利用AM-GM不等式将目标不等式转化为一个更容易证明的形式。
例如，对于上述不等式，我们可以将其转化为(a+b)/2>=√ab，然后应用AM-GM不等式即可得到证明。
基于柯西-施瓦茨不等式的放缩方法通常适用于求证一些复杂的不等式，例如求证(a+b+c)^2>=3(ab+bc+ca)。
该方法的基本思想是利用柯西-施瓦茨不等式将目标不等式转化为一个更容易证明的形式。
例如，对于上述不等式，我们可以将其转化为(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)>= (a+b+c)^2，然后应用柯西-施瓦茨不等式即可得到证明。
除了AM-GM和柯西-施瓦茨不等式外，数列放缩法还可以使用其他的不等式，例如夹逼准则、均值不等式等。
这些不等式都有其独特的优点和适用范围，可以根据具体问题的特点选择合适的方法。
值得注意的是，数列放缩法虽然可以使证明更加简单和直观，但也存在一些限制和注意事项。
首先，该方法只适用于证明不等式，不能用于证明其他类型的数学问题。
其次，该方法需要掌握一定的数学知识和技巧，否则容易出现错误。
最后，该方法只能在特定的条件下使用，不能滥用。
综上所述，数列放缩法是一种常见的数学证明方法，它可以使证明更加简单和直观。
该方法可以分为基于平均值不等式的放缩和基于柯西-施瓦茨不等式的放缩两种类型，还可以使用其他的不等式。
数列和不等式放缩
数列和不等式放缩嘿，宝子们！今天咱们来唠唠数列和不等式放缩这个有点小头疼但又超级有趣的东西。
数列和不等式放缩啊，就像是一场数字之间的魔法游戏。
你看啊，数列本身就像是一串有规律的数字小队伍，而不等式放缩呢，就是给这个小队伍穿上一件或宽松或紧身的外套，让它们在一定的规则里活动。
先说说数列吧。
数列有很多种类型，像等差数列、等比数列这些是我们比较熟悉的老伙计了。
等差数列就是那种相邻两个数之间的差是个定值的数列，就像每次都迈着同样大小的步子走路一样。
等比数列呢，是相邻两个数之间的比值是个定值，就像细胞分裂，一个变两个，两个变四个，这样成倍地增长。
那不等式放缩咋回事呢？简单来讲，就是要把一个数列或者式子通过一些巧妙的方法，把它变成另外一个形式，这个形式呢，要能够让我们更容易去判断它和某个数或者式子的大小关系。
比如说，我们想证明一个数列的和小于某个值，那我们就可以通过放缩的方法，把这个数列里的每一项都变成一个比较好计算、好比较的形式。
举个小例子哈。
有一个数列是1 / (n(n + 1))，这个数列求和。
我们可以把1 / (n(n + 1))放缩成1 / n²。
为啥能这么放缩呢？因为n(n + 1)>n²（当n是正整数的时候），所以1 / (n(n + 1))<1 / n²。
这样放缩之后，我们就可以利用一些关于1 / n²这个数列求和的已知结论来处理原来的数列求和问题啦。
再比如说等比数列的放缩。
如果有一个等比数列aₙ = a₁qⁿ⁻¹（q>1），我们想对它的前n项和进行放缩。
当我们要证明它的前n项和小于某个数的时候，我们可以利用等比数列求和公式Sₙ = a₁(1 - qⁿ) / (1 - q)，然后根据q>1这个条件，把qⁿ进行放缩。
比如说，我们可以找到一个合适的数m，使得qⁿ<m，这样就可以把原来的等比数列的和放缩成一个比较简单的形式，然后再去和我们要比较的数进行比较。
高考数学数列不等式的放缩初探课件
证明: 1 1 a1 a2
2021届高考数学-数列不等式的放缩初 探 课件
1 3. an 2
2021届高考数学-数列不等式的放缩初 探 课件
题④an
3n -2n，证明: 1 a1
1 a2
思路一 1 1
1
an 3n 2n 3n1
1 3. an 2
思路二
1 an
3n
1 2n
3 2n1
思路三
题目呈现
（2020.11 衢丽湖三地市）
已 知 正 项 数 列 an 的 前 n 项 和 为 Sn ， 且 a1 1 ，
Sn1
Sn
a2 n1
nN* .
（Ⅰ）求 a2 ， a3 的值，并写出数列an 的通项公式；
（ Ⅱ ） 设 bn
1 an ， 数 列 {bn} 的 前 n 项 和 为 Tn ， 求 证 ：
<
1 n(n 1)
1 n 1
1 n
n3
思路二
1 an
1 n2
<
n
1 2 -1
1 2
n
1 1
1 n+1
思路三
2021届高考数学-数列不等式的放缩初 探 课件
1 an
1 n2
<
4 4n2
-1
2
1 2n 1
1 2n+1
2021届高考数学-数列不等式的放缩初 探 课件
题（3）若an
=n2
,
证明: 1 a1
2021届高考数学-数列不等式的放缩初 探 课件
1 an
3n
1 2n
1 5 3n2
(n
2)
2021届高考数学-数列不等式的放缩初 探 课件
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变式3 求证： 1 2 3 L n 2 (n N)
2 1 22 2 23 3
2n n
2
例1
求证：1 2
1 22
1 23
L
1 2n
1
(n N)
分析 不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
左边
1 (1 1 ) 2 2n
1 1
1
1 2n
1
2
表面是证数列不等式，
实质是数列求和
3
变式1
将通项放缩为 错 位相减模型
左边 1 2 3 L n 2 n 2 2
2 22 23
2n
2n
6
【方法总结之一】
n
放缩法证明与数列求和有关的不等式，若 ai 可直 i 1
接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要
先将通项 an 放缩后再求和.
问题是将通项 an 放缩为可以求和且“不大不小”的 什么样的 bn 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不
模型后求和.
Q 1 1 1 1 (n 2) n2 n(n 1) n 1 n
保留第一项， 从第二项开
始放缩
左边 1 (1 1) (1 1) L ( 1 1)
2 23
n 1 n
11 1 2 (n 2) n
当n = 1时，不等式显然也成立.
10
变式2 (2013广东理)
求证：1
1 22
多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项
相消模型等. 实际问题中， bn 大多是等比模型或裂项相
消模型.
7
例2 (2013广东文 )
求证： 1 1 1 L
1
1 (n N)
13 35 5 7
(2n 1)(2n 1) 2
变式1
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
2
(n N)
变式2 (2013广东理)
( 1 1) n 1 n
1 1 1 1 7 1 7 (n 3) 42n 4n 4
当n = 1, 2时，不等式显然也成立.
11
变式2 (2013广东理19第(3)问)
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
7 4
(n N)
分析 变式2的结论比变式1强，要达目的，须将变
式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
思路二 将通项放得比变式1更小一点. 保留第一项，
从第二项开
1 n2
1 n2 1
1( 1 2 n 1
1) n 1
(n
2)
始放缩
左边
1
1 2
(1
1) 3
(
1 2
1) 4
L
(
n
1 1
n
1 1)
1 1 (1 1 1 1 ) 1 1 (1 1) 7 (n 2)
2 2 n n1
2 24
当n = 1时，不等式显然也成立.
注意到 1 1 2n 1 2n
将通项放缩为 等比数列
11
左边 1 1 2 22
1 23
L
1 2n
(1 ) 2 2n
1 1
1 1
2n
1
2
5
变式3
求证： 2
1
1
22
2
2
23
3
3
L
n 2n n
2
(n N)
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求
和，如何放缩？
注意到 n n
2n n 2n
1
1 22
1 2
( 12
1) 4
(1 3
1) 5
L
(
n
1 1
n
1 1)
1 1 1 (1 1 1 1 ) 1 1 1 (1 1) 5 (n 3)
4 2 2 3 n n 1
4 22 3 3
当n = 1, 2时，不等式显然也成立.
13
变式3
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
5 3
(n N)
1 2(1 1 ) 1 2 1 5 (n 2)
3 2n 1
33
开始 放缩
当n = 1时，不等式显然也成立. 14
评注
对1 n2
放缩方法不同，得到的结果也不同.
显然 5 3
7 4
2，
故后一个结论比前一个结论更强，也就是说如果证明了变式 3，
1 32
L
1 n2
7 4
(n N)
分析 变式2的结论比变式1强，要达目的，须将
变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
思路一 将变式1的通项从第三项才开始放缩.
1 n2
1 n(n 1)
1 n 1
1 n
(n 3)
保留前两项，从 第三项开始放缩
左边
1
1 22
(1 1) (1 1) L 23 34
12
变式3
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
5 3
(n N)
分析 变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将
变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？
思路一 将变式2思路二中通项从第三项才开始放缩.
1 n2
1 n2 1
1( 1 1 ) 2 n 1 n 1
(n 3)
保留前两项， 从第三项开
始放缩
左边
“放缩法” 证 明数列不等式
1
n
（一）形如 a k (k为常数） i
i 1
例1 求证：1 1 1 L 1 1 (n N)
2 22 23
2n
变式1 求证：1 2 3 L n 2 (n N)
2 22 23
2n
变式2
求证： 1 2 1
1 22 1
1 23 1
L
1 2n 1
1
(n N)
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
左边 1 [(1 1) (1 1) L ( 1 1 )]
2 3 35
2n 1 2n 1
1 (1 1 ) 1 表面是证数列不等式， 2 2n 1 2 实质是数列求和
9
变式1 求证：1 1 1 L 1 2 (n N)
22 32
n2
分析 左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
7 4
(n N)
变式3
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
5 3
(n N)
8
例2 (2013广东文 )
求证： 1 1 1 L
1
1 (n N)
13 35 5 7
(2n 1)(2n 1) 2
分析 左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩.
Q
1
1( 1 1 )
求证：1 2
2 22
3 23
L
n 2n
2
(n N)
分析 不等式左边可用“错位相减法”求和.
由错位相减法得
1 2 3 L n 2 n 2 2
2 22 23
2n
2n
表面是证数列不等式， 实质是数列求和
4
变式2
求证： 2
1
1
1 22
1
1 23
1
L
1 2n
1
1
(n N)
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后 求和，如何放缩？
分析 变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将
变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？
思路二 将通项放得比变式2思路二更小一点.
1 n2
1 n2
1
4 4n2 1
2( 1 2n 1
1) 2n 1
(n 2)
保留 第一
4
左边
1
2
(131) 5Fra bibliotek(1 5
1 7
)
L
(
1 2n 1
1 2n
1)
项， 从第 二项