阶比谱分析瞬时频率的多模式曲线拟合方法_刘洋

果。因此 , 在瞬时频率曲线拟合的过程中要有相 应的步骤对信号的瞬 时频率是否有 突变进行判 断。当发现瞬时频率突变时 , 还应能够采用新的 曲线拟合方法来对瞬时频率进行重新拟合 , 以修 正或弥补瞬时频率突变引起的误差。 由于曲线拟合过程中采用的是最小二乘拟合 方法 , 因此可以在实际计算过程中设定一个最小 二乘误差的阈值。当计算得到的最小二乘误差大 于所设定的阈值时 , 就认为实际的瞬时频率变化 过程中出现了突变 , 需要对信号出现瞬时频率突 变的位置进行定位。由于采样的暂态信号一般为 小范围信号, 在这种情况下, 瞬时频率信号一般为 单调缓变或持续不变的。当由于某些原因出现振 动信号的瞬时频率突变时 , 会引起瞬时频率变化 趋势的改变。这时需要计算采样信号中任意连续 两点的瞬时频率的变化率 , 当某点前后的瞬时频 率变化率出现变化时 , 就认为此点即为瞬时频率 突变的出现点。 当找到了瞬时频率的突变点 , 可以利用曲线 分段拟合的方法进行瞬时频率的曲线拟合。以突 变点为界 , 将采样点数分为两组, 分别进行曲线拟 合, 这样得到的是一个分段拟合函数。通过分段 曲线拟合的方法可以很好地对发生瞬时频率突变 的振动信号进行拟合 , 从而减小计算中出现的误 差, 提高暂态振动信号阶比谱分析的精度。 对形如式 ( 4) 的信号分别利用二次曲线拟合、 五次曲线拟合、 指数拟合和分段拟合的方式进行 曲线拟合。 1 + ( 4f f ( x) = 1 + 4e
多项式的系数 , an
N
=
-1 N
N
i= 1 N N
xi
i= 1 N 2 i i= 1
xn i
i= 1 N n+ 1 i i= 1
f (x i) f ( xi)xi
号的瞬时频率较高时 , 线性拟合的精度就远低于 二次曲线拟合和指数拟合。尤其是当瞬时频率的 变化较快时, 指数拟合的效果最好 , 精度要高出多 项式拟合方法很多。 1. 2 拟合点数的选择 考虑到暂态信号的频率变化范围较大, 为了
第 38 卷
第5期
吉林大学学报( 工学版)
Journal o f Jilin U niv ersity ( Engineering and T echnolo gy Edition)
V ol. 38
N o. 5
2008 年 9 月
S ept . 2008
阶比谱分析瞬时频率的多模式曲线拟合方法
刘 洋, 姜守达
n
f n( x ) =
i= 0
ai x
i
( 1) ,N , 利
结果如表 1 所示。
表 1 两种不同信 号的曲线拟合结果 Table 1 Curve fitting results of slow change signal and fast change signal
信号 线性拟合 9. 8645 1. 7328 二次曲线拟合 指数拟合 10- 8 1023
式中 : 令
为最小二乘拟合误差。 / a i = 0, i = 0, 1 , a0 , a1 ,
N
5. 0694
, n , 可求出拟合
T
由表 1 可以看出 , 当振动信号的瞬时频率较 低, 且变化较为缓慢时, 线性拟合和二次曲线拟合 的效果较好, 且二者之间误差相差不大 , 而线性拟 合计算更为简单 , 相比之下效率较高。当振动信
xi
i= 1 i= 1
x
x
N
N
N
N
x
i= 1
n i i= 1
x
n+ 1 i i= 1
x
2n i i= 1
f (xi) x
n i
ห้องสมุดไป่ตู้
使等时间间隔的采样信号能够满足计算过程中的 ( 3) 需要 , 信号的采样率应该满足暂态振动信号频率
第5期
刘
洋 , 等 : 阶比谱分析瞬时频率的多模式曲线拟合方法
1167
变化范围内最高频率的 2 倍以上。因此, 等时间 间隔采样的信号采样率都要取很高, 故每个振动 信号周期内的采样点数都较多。如果在瞬时频率 曲线拟合的过程中使用全部数据, 则计算量会比 较大 , 影响计算速度。为了在不影响计算精度的 前提下提高运算速度 , 减小运算量 , 可以对计算得 到的瞬时频率采取隔点抽样的方法。在振动信号 不发生剧烈变化的情况下可以有效减少计算量。 计算中具体的抽样率可以根据信号的瞬时频率的 变化率来决定, 当信号的瞬时频率变化较快时 , 抽 样率可以取得小些或不使用抽样; 反之 , 抽样率可 以取得大些。 对上例中的两种信号分别采取信号抽样的计 算方法, 仿真结果如表 2 和表 3 所示, 表中的计算 数据均为曲线拟合的最小二乘拟合误差。从表中 可以看出 , 本例中按 8 选 1 的抽样率得到的计算 结果的精度与用全部采样数据得到的计算结果的 精度相差不大, 而计算过程中计算量却大大减少。
( 哈尔滨工业大学 自动化 测试与控制研究所 , 哈尔滨 150001)
摘
要: 分析了利用瞬时频率的拟合曲线来求取鉴相时标的多种曲线拟合方法 , 并讨论了各种
曲线拟合方法在不同的瞬时频率、 采样点数及有无频率突变等条件下应用的优劣性。 提出了 瞬时频率的多模式曲线拟合方法, 阐述了其在实际应用中对于不同情况的适用性, 并利用仿真 实验证明了结论的正确性 。 关键词: 信息处理技术; 多模式 ; 曲线拟合 ; 瞬时频率; 阶比谱 中图分类号 : T N911. 72 文献标识码 : A 文章编号 : 1671 - 5497( 2008) 05 - 1165 - 05
[2 - 3] [ 1]
信号 时 频分 析和 瞬 时频 率 估计 的 阶比 跟 踪方 法[ 7- 8] 分别被提出。这些基于瞬时频率估计的计 算阶比谱分析方法不需要硬件的鉴相电路来提供 时标 , 而是利用计算得到的瞬时频率通过曲线拟 合的方法产生相应的鉴相时标。此种方法是对传 统阶比分析技术的有力补充, 特别在旋转机械不 方便安装鉴相装置的场合有突出优势。 在使用基于瞬时频率估计的计算阶比谱分析
( 1+ x) bx
1
1. 1
瞬时频率的曲线拟合
瞬时频率曲线拟合方法的选择 由于基于瞬时频率估计的计算阶比谱分析方
法为纯数字的实时应用算法, 应用过程中算法应 尽量简单 , 以达到暂态振动信号分析的实时性 , 因 此宜采用形式简单的常用曲线拟合方法。在众多 的曲线拟合方法中 , 多项式曲线拟合方法是在瞬 时频率曲线的拟合中最常应用的。对于旋转机械 升、 降速阶段, 若信号满足光滑连续条件 ( 在机器 升、 降速阶段基本满足) , 在小范围内用拟合多项 式或样条方程实现高精度逼近是可行的。 设多项式曲线拟 合的最高次数为 n, 则多项 式的形式为
表 2 缓变信号的抽样 曲线拟合结果 Table 2 Curve f itting results of sampling slow change signal
抽样率 1 2 4 8 16 线性拟合 / 10- 13 9. 8645 9. 8654 9. 8727 9. 9092 10. 071 二次曲线拟合 / 10- 14 2. 7267 2. 727 2. 7331 2. 7619 2. 8899 指数拟合 / 10- 8 9. 3204 9. 3207 9. 3265 9. 3591 9. 5085
Abstract: Af t er the analy sis of many curve f it t ing met hods t o o bt ain phasing time scale by using instant aneous f requency and t he advantag e and deficiency w hen they w ere applied in diff erent sisuat io ns, such as w it h diff erent inst ant aneous f requency, w it h dif ferent sam ple pio nt s and w it h o r w it hout sudden fr equency chang e, a multi mode curv e f itt ing met ho d of inst ant aneous f requency w as pro posed. T hen its applicabilit y t o dif ferent sit uat ion was elaborat ed. Sim ulat ion results illust rat e the cor rect ness o f the m et hod. Key words: inf ormat ion processing ; multi mode; curv e fit t ing ; inst ant aneous f requency; or der tr acking spect rum 阶比谱分析是利用等角度增量采样的方法来 实现旋转机械暂态振动信号的一种有效方法 。 传统的计算阶比谱分析的方法是从鉴相信号得到 转速脉冲的抵达时间 , 由角度估算方法估计对应 轴的转角 , 通过时间和角度的数据拟合建立两者 之间的关 系
理论上, 多项式次数越高 ( 即系数越多) , 则曲 线拟合的效果越好。但式 ( 3) 中的元素基本都为 求和的式子, 当多项式的次数每增加一个, 矩阵中 的元素都会增加很多 , 计算量也会大幅度提高, 从 而降低计算的速度, 影响应用的实时性。因此, 在 满足计算精度要求的情况下, 多项式的次数不宜 选择过高。当瞬时频率变化较慢时, 线性拟合的 精度已经可以达到要求; 而在瞬时频率较高 , 单位 时间内频率变化幅度较大时, 线性拟合的精度就 很难达到要求。二次曲线拟合和更高次曲线拟合 的精度相差不大, 但计算量却少很多 , 因此 , 一般 选择二次多项式拟合。 在某些频率变化过快的情况下 , 使用指数曲 线拟合的方法可以得到更好的效果。利用形如 y = ae 的指数曲线对信 号进行拟合 , 等式两端取 对数得到 ln y = ln a + bx , 令 Y = lny , 记 A = ln a, 于是可以转换成 Y = A + bx 的线性拟合的形式。 不但计算量大大减少 , 拟合精度也有很大程度的 提高。 下面分别对瞬时频率为缓变和快速变化的两 种信 号 进 行 曲 线 拟 合 , 其 中 信 号 采 样 频 率 为 62 500 H z, 曲线拟合点数取 400 点, 缓变信号的 形式为 f ( x ) = 10( 1+ sin( x ) ) ; 快速变化信号的 形式为 f ( x ) = 50e 。以仿真曲线与实际信号 的最小二乘拟合误差作为拟合效果优劣的判据,
式中 : ai 为拟合多项式的系数。 设采样 点为 ( x i , f ( x i ) ) , i = 1, 2, 用最小二乘曲线拟合有
N
=
i= 1
[ f n( x i ) - f ( x i ) ]
2
( 2)
缓变信号 快变信号
10- 13 2. 7267 105
10- 14 9. 3204 10- 12 6. 6019
1166
吉林大学学报( 工学版)
第 38 卷
方法中, 当得到信号采样时刻的瞬时频率后, 利用 等时间间隔采样时刻的瞬时频率来估计等角度间 隔采样的采样值是计算过程中的一个重要环节。 原则上是通过曲线拟合的方法得到信号的频率变 化曲线, 利用频率变化曲线再求出相应的等角度 鉴相时标 , 最后通过插值的方法获取鉴相时标处 的信号值 , 从而实现信号的阶比谱分析。上述过 程中 , 在不同条件下 , 利用何种曲线方法来拟合信 号的瞬时频率曲线以达到阶比谱分析的最佳效果 是本文所要研究的重点。
。近年来 , 基于 Gabor 变 换瞬时
[ 4]
频率估计的阶比跟踪法 、 基于短时傅立叶变换 峰值估计瞬时频率的旋转机械阶比跟踪 [ 5- 6] 、 基于
收稿日期 : 2007 - 03 - 29. 基金项目 : 航天支撑基金 ( 2003 年度 H G20) .
作者简介 : 刘洋 ( 1980 ) , 男 , 博士研究生 . 研究方向 : 数字信 号处理 . E - mail: lyhit1980@ 163. com 通信作者 : 姜守达 ( 1964 ) , 男 , 教授 , 博士生导师 . 研究方向 : 自动测试技术和信息处理技术 . E - mail: jsd@ hit. edu. cn
Multi mode curve fitting method of instantaneous frequency in order tracking spectrum analysis
L IU Yang , JIANG Shou - da
( D ep artment of A utomatic T est and Contr ol , H ar bin I nstitute of T echnology , H ar bin 150001, China)