运筹学之对偶单纯形法

单 纯 形 表
x1
x2
x5 1
检验数
1 -2 1 3
x2
1 0 0
x3
1 -3/2 3 2
x4
-1
x5
0
常数列 5
-8 4 -5
-1/2 1 -1/2 1 1 0
( 1 2)
0
二.对偶单纯形法的迭代步骤： 例2-8 min Z 4 x1 x2 3 x3 5.换基运算： 1 0 x1 x2 x3 x4 5 2 1 x1 x2 4 x3 x5 3 3 0 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
基。
单 纯 形 表
min{
x1
x4 x5
检验数
-1 -1 4
x2
-1 1 1
x3
-1 4 3
x4
1 0 0
x5
0 1 0
常数列 -5
-3 0
0
4 1 3 1 , , } 1 1 1 1
x2 为进基变量。 若出基变量所在的行中，
所有元素都 0 ，则原问题无可行解。停止计算。
二.对偶单纯形法的迭代步骤： 例2-8 min Z 4 x1 x2 3 x3 5.换基运算： 1 1 x1 x2 x3 x4 5 1 0 x1 x2 4 x3 x5 3 1 0 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
基。
单 纯 形 表
min{
x1
x2
x5
检验数
3 3 } 2 2
x2
1 0 0
x3
1 3 2
x4
-1 1 1
x5
0 1 0
1 -2 3
常数列 5
-8 -5
0
x1 为进基变量。
二.对偶单纯形法的迭代步骤： 例2-8 min Z 4 x1 x2 3 x3 5.换基运算： 1 0 x1 x2 x3 x4 5 2 1 x1 x2 4 x3 x5 3 3 0 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
式，可 用两阶 段法求 解，麻 烦！
min Z 4 x1 x2 3 x3
x1 x2 x3 x4 5 x1 x2 4 x3 x5 3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
注：对偶单纯形法适用于目标函数系数都 0，不等 式约束都 0 的问题。
单 纯 形 表
x1
x2
x5
检验数
1 -2 3
x2
1 0 0
x3
1 3 2
x4
-1 1 1
x5
0 1 0
常数列 5
-8 -5
0
二.对偶单纯形法的迭代步骤： 例2-8 4.确定进基变量： min Z 4 x1 x2 3 x3 在出基变量所在的行中，找出非基变 x x x x 5 1 2 3 4 量列中的负系数，用相应的检验数分 x1 x2 4 x3 x5 3 别除以这些负系数，再取绝对值，所 得正比值中最小者相应的非基变量进 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
检验数行由有负检验数逐步变为全部 0
对偶单纯形法：在迭代过程中，始终保持检验数行 0 ， 而常数列由有负分量逐步变为全部 0 最 优 表
x1
x2
x3
x4
x5
常数
min Z 2 x1 2 x2 x4 x1 x2 x3 5 x x x 6 1 2 4 6 x1 2 x2 x5 21 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
第二章 线性规划的对偶理论
2.1 对偶线性规划模型
2.2 对偶问题的性质 2.3 对偶单纯形法 2.4 灵敏度分析与参数分析
一.对偶单纯形法与单纯形法的区别： 相同之处：对偶单纯形法与单纯形法都是对单纯形表 进行迭代计算。 当常数列 0，而检验数行都 0 时，单 纯形表是最优表。
最 优 表
x1
x2
x3
x4
x5
常数
min Z 2 x1 2 x2 x4 x1 x2 x3 5 x x x 6 1 2 4 6 x1 2 x2 x5 21 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
0 0
检验数
一.对偶单纯形法与单纯形法的区别： 不同之处： 单纯形法：在迭代过程中，始终保持常数列 0 ，而
单 纯 形 表
x1
x42 x5
检验数
-1 1 -1 4
x2
-1 1 1 1
x3
-1 1 4 3
x4
-1 1 0 0
x5
0 1 0
常数列 -5 5 ( 1)
-3 0
0
二.对偶单纯形法的迭代步骤： 例2-8 min Z 4 x1 x2 3 x3 5.换基运算： 1 1 x1 x2 x3 x4 5 1 0 x1 x2 4 x3 x5 3 1 0 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
单 纯 形 表
x1
x2
x5
检验数
1 -2 -1 4
x2
1 1 0 1
x3
1 4 3 3
x4
-1 0 1 0
x5
0 1 0
常数列 ( 1) 5
-3 -8 0
0
二.对偶单纯形法的迭代步骤： 例2-8 min Z 4 x1 x2 3 x3 5.换基运算： 1 1 x1 x2 x3 x4 5 1 0 x1 x2 4 x3 x5 3 1 0 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
单 纯 形 表
x1
x4 x5
检验数
-1 -1 4
x2
-1 1 1
x3
-1 4 3
x4
1 0 0
x5
0 1 0
常数列 -5
-3 0 有负分量
0
二.对偶单纯形法的迭代步骤： 例2-8 4.确定进基变量： min Z 4 x1 x2 3 x3 在出基变量所在的行中，找出非基变 x x x x 5 1 2 3 4 量列中的负系数，用相应的检验数分 x1 x2 4 x3 x5 3 别除以这些负系数，再取绝对值，所 得正比值中最小者相应的非基变量进 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
单 纯 形 表
x1
x2
x5
检验数
1 -2 3 4
x2
1 0 0 1
x3
1 3 2 3
x4
-1 1 1 0
x5
0 1 0
常数列 ( 1) 5
-8 -5 0
二.对偶单纯形法的迭代步骤： 例2-8 min Z 4 x1 x2 3 x3 2.最优性检验： x1 x2 x3 x4 5 若当前常数列 0，则得到最 x1 x2 4 x3 x5 3 优表。否则转下一步。 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
0 0
检验数
二.对偶单纯形法的迭代步骤： 求解例2-8
min Z 4 x1 x2 3 x3
x1 x2 x3 5 x1 x2 4 x3 3 x1 , x2 , x3 0
标准形
min Z 4 x1 x2 3 x3 不是典
x1 x2 x3 x4 5 x1 x2 4 x3 x5 3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
二.对偶单纯形法的迭代步骤： 例2-8 min Z 4 x1 x2 3 x3 1.建立初始单纯形表 x1 x2 x3 x4 5 j c j CB B1 p j x1 x2 4 x3 x5 3 CB B1b x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
2.1 对偶线性规划模型
2.2 对偶问题的性质 2.3 对偶单纯形法 2.4 灵敏度分析与参数分析
作业：P69
6(1),(3)
作业1
与2.6(1)类似
用对偶单纯形法求解：
min Z 3 x1 4 x2 5 x3 x1 2 x2 3 x3 5 标准形 2 x1 2 x2 x3 6
单 纯 形 表
x1
x4 x5
检验数
-1 -1 4
x2
-1 1 1
x3
-1 4 3
x4
1 0 0
x5
0 1 0
常数列 -5
-3 0 有负分量
0
二.对偶单纯形法的迭代步骤： 例2-8 min Z 4 x1 x2 3 x3 3.确定出基变量： x1 x2 x3 x4 5 将常数列中最负分量所在的 行相应的基变量出基。 x1 x2 4 x3 x5 3 min{5, 3} 5 x4为出基变量 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
单 纯 形 表
x1
x2
x5
检验数
1 -2 3
x2
1 0 0
x3
1 3 2
x4
-1 1 1
x5
0 1 0
常数列 5
-8 -5
0
换基运算完成。得到新的单纯形表。
二.对偶单纯形法的迭代步骤： 例2-8 min Z 4 x1 x2 3 x3 3.确定出基变量： x1 x2 x3 x4 5 将常数列中最负分量所在的 行相应的出变量离基。 x1 x2 4 x3 x5 3 x5为出基变量 8 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
单 纯 形 表
x1
x2 x1
检验数
1 1 3 0
x2
1 0 0
x3
1 -3/2 13/2 2
x4
-1 -1/2 5/2 1
x5
0 -1/2 3/2 0
常数列 5
4 -17 -5
( 3)
二.对偶单纯形法的迭代步骤： 例2-8 min Z 4 x1 x2 3 x3 5.换基运算： 1 0 x1 xLeabharlann Baidu x3 x4 5 2 1 x1 x2 4 x3 x5 3 3 0 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
1 2 3
最 单 优 纯 表 形 表

x1
x2 x1
检验数
1 0 1 0
x2
1 0 0
T
x3
5/2 1 -3/2 13/ 2
x4
-1/2 -1 -1/2 5/2
x5
常数列 1/2 0 1 5
4 -17
-1/2 3/2
X (4,1,0, 0, 0)
Z 17
0
0
第二章 线性规划的对偶理论
cj
4 1 3 0 0
单 CB 纯 0 x4 形 0 x 5 表
检验数
x1
-1 -1 4
x2
-1 1 1
x3
-1 4 3
x4
1 0 0
x5
0 1 0
常数列 -5
-3 0 有负分量
0
注：检验数行 0 ，因此可以用对偶单纯形法求解， 否则不能用。
二.对偶单纯形法的迭代步骤： 例2-8 min Z 4 x1 x2 3 x3 2.最优性检验： x1 x2 x3 x4 5 0 若当前常数列 ，则得 x1 x2 4 x3 x5 3 到最优表。否则转下一步。 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
单 纯 形 表
x1
x2 x1
检验数
1 0 1 0
x2
1 0 0
x3
5/2 1 -3/2 13/ 2
x4
-1/2 -1 -1/2 5/2
x5
常数列 1/2 0 1 5
4 -17
-1/2 3/2
( 1)
0
换基运算完成。得到新的单纯形表。
二.对偶单纯形法的迭代步骤： 例2-8 min Z x 3 x3 x 2.最优性检验： min Z4 x4 1x 2x 1 2 3 3 x1 x x x x 5 2x 3x 45 若当前常数列 0，则得到最 1 2 3 x1 x x 4 x4 x 3 优表。 x x 3 2 3 5 1 2 3 x1 , xx xx xx 0 5 0 2,, 3,, 4, x