探究锥体的体积公式

圆柱、圆锥的侧面展开图。 请同学们动手实验： ①观察 展开图的形状。 实验要求： ②理清展开后图形中的长度。 ③请推导它们的表面积公式。
问题4：
联系圆锥你能想象圆台展开图的 形状，并且画出它吗？如果圆台 r , r 的上、下底面半径分别为 。 l 母线为 ，你能计算出它的表面 积吗？
r 'O’
l
A2
2
B2
3
C2
A2
A2
C2
3
B2
2
1
A1 B1
C1 B1
C1
C1
三、探究锥体的体积公式
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那 么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱 柱的体积有什么关系？
3 2
2 1
3
1
三、探究锥体的体积公式
问题7：
锥体的体积公式
1 V Sh 3
1 V Sh 3
一、探究多面体的表面积
棱柱的侧面展开图是什么？如何 计算它的表面积？
h
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平 面图形。
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
h'
h'
棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图 形。
一、探究多面体的表面积
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
侧面展开
h'
问题5：
你能找出圆柱、圆锥、圆台的联 系系吗？
r O
r 'O’
l
O
r ’＝ r
上底扩大
l
r ’＝ 0
上底缩小
l
r
O
r
O
表面积公式的联系又怎样？
三、探究锥体的体积公式
问题6：
锥体的体积公式
问题7：
你知道我国古代数学家祖暅吗？ 祖暅等积定理的内容是什么呢？
祖暅等积定理：情景设置
取一些书堆放在桌面上(如图所示) ，并改 变它们的放置方法，观察改变前后的体积是 否发生变化？
（其中S为底面面积，h为相 应底面的高）
四、探究台体的体积公式
P
问题8：
A
S
B
D
C
台体的体积公式
A
h
S
D
C
1 V ( S S S S )h 3
B
问题9：
你能找出柱体、锥体、台体三者 的联系吗？
S S
S 0
它们体积公式的联系呢？
五、例题精讲
例1:玻璃金字塔，它的侧面是由菱形玻璃拼 组而成，金字塔的形状是正四棱锥，底面是 正方形，底宽30米，高21米，侧面三角形的 高为25.8米，问①至少需要多少平方的玻璃 才能拼成该金字塔的侧面？ ②求该金字塔的体积。
l r 2 r 2 l r r r r
2 2
O
lr l1 l1 l2 l r r r l2 解得： lr r l l2 1 r r


S圆台表面积 (r r rl rl )
表面积： 各个面的面积的和。 体积：
几何体所占空间的大小。
一、探究多面体的表面积
问题1： 在初中已经学过了正方体和长方体的 表面积，你知道正方体和长方体的展开图 与其表面积的关系吗？
一、探究多面体的表面积
问题2：
棱柱、棱锥、棱台都是由多 个平面图形围成的几何体，它们的 展开图是什么？如何计算它们的表 面积？
3 2
2 1
3
1
三、探究锥体的体积公式
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那 么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱 柱的体积有什么关系？
A2
2 1Βιβλιοθήκη Baidu
C2 A2 B2
3
1
A2
B2
2
A1 B1
C1 A 1
B1
C1
C1 B1
三、探究锥体的体积公式
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那 么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱 柱的体积有什么关系？
从以上事实中你得到什么启发？
三、探究几何体的体积公式
h相等 s 祖暅等积定理： 相 夹在两个平行平面之间的两个几何 等 体，被平行于这两个平面的任何一 个平面所截，如果截面的面积都相 等，那么这两个几何体的体积一定 相等。
三、探究锥体的体积公式
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那 么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱 柱的体积有什么关系？
h'
棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。
一、探究多面体的表面积
总结：
棱柱、棱锥、棱台的侧面积问题
空间问题 转化为平 面问题
求平行四边形、三角形、梯形的面积问题
棱柱、棱锥、棱台的表面积？
二、探究旋转体的表面积
问题3：
圆柱、圆锥、圆台都是旋转 体，它们的侧面展开图是什么？如 何计算它们的表面积？
S A D O B C
H
S A D O B
分析：BC 30m, SO 21m, SH 25.8m
C
H
1 2 解： S 侧 4 30 25.8 1548 m 2
1 1 2 3 V锥 Sh 30 21 6300 m 3 3
答：至少需要1548平方米的玻璃；该玻 璃金字塔的体积为6300立方米。
1.3.1 柱体、锥体、 台体的表面积和体积
台州市实验中学
周敏霞
一、探究多面体的表面积
(经典建筑）
这张图片里的建筑是巴黎卢浮宫玻璃金字塔， 它的侧面是由菱形玻璃拼组而成，金字塔的 形状为正四棱锥。底面为正方形，底宽30米， 高21米，侧面三角形的高为25.8米，问至少 需要多少平方的玻璃才能拼成该金字塔的侧 面？
r
O
r 'O’
2r ' 2r
r
O
圆台的侧面展开图是扇环
l2
l1
r 'O’
2r ' 2r
圆台的侧面展开图是扇环 解：设大扇形的母线为 l1 ,
小扇形的母线为 l2 则l1 l2 l
r
S扇环 S扇大 - S扇小
1 1 l1 2r l2 2r 2 2 l1r l2 r