高数导数和积分教程

2
2
复合而成
dy 1 du 2 x du 2 u dx dy 1 x 2x dx 2 u a2 x2
理论推广
复合函数求导法则可推广到多个中间变量的情形
例如,
y
d y d y d u dv dx d u d v dx
u v x
f ( u ) ( v ) ( x )
关键:
搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例3 设
求
y ln u 、u cos v 解: 函数可以看作由函数 与v e 复合而成
x
dy 1 du dv sin v ex du u dv dx dy 1 1 x x x ( sin v )e (sin e )e x dx u cos e
b a a
例4. 计算
解: 原式 = x arcsin x
1 2
1 1 1 2 2(1 x ) 2 d (1 x 2 ) 12 2 0

0

1 2
x 1 x
0
d x 2

12
(1
1 1 2 2 2 x )
3 1 12 2

0
第三节 广义积分（反常积分）
D
其中D是积分区域
定理
设 f ( x , y ) 在矩形区域 D [a , b] [c , d ]
上可积，且对每个 y [c , d ], 积分 存在，则累次积分 也存在，且

b
b a
f ( x , y ) dx
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d c
dy f ( x , y ) dx
a
d c
b
f ( x, y) d
引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
x2 其含义可理解为 b b dx 1 A lim 2 lim b x 1 b 1 x
1
A
dx
1 y 2 x A
1
b
1 lim 1 1 b b
b
b
b
二、定积分的简单性质
性质1 常数因子可提到积分号外

性质2
b a
b
a
kf ( x)dx k f ( x)dx
a
b
函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
b a
[ f ( x) g ( x)]dx
f ( x)dx g ( x)dx
a
b
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡k，则
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0 i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即
a f ( x) d x a f (t ) d t a f (u ) d u
2 1

2
0
f ( x)dx
xdx
0
( x 1)dx
2
1 21 1 3 2 x |0 ( x x) |1 2 3 23 6
四、 定积分的换元法和 分部积分法
定理 （定积分的换元公式） 设函数 f (x)在区间 [ a , b ]上连续；函数 在
x (t )
三、复合函数的求导法则
定理
如果函数u (x)在点x可导, 而y f(u)
在点u (x)可导, 则复合函数y f[(x)] 在点 x可导, 且其导数为
dy dy du ( 或f [ ( x )] f ( u ) ( x )) dx du dx
即 求导, 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
t 2 1 解: 令 t 2 x 1 , 则 x , dx t d t , 且 2 当 x 0 时, t 1; x 4 时, t 3 .
∴ 原式 =

t 2 1 3 2 2 t dt 1 t
1 3 2 (t 3) d t 2 1 3 1 1 3 ( t 3t ) 2 3 1
(v( x) 0)
例：
设y x cos x 4 ln x sin

7
, 求y
解:
y ( x cos x) (4 ln x) (sin ) 7

( x ) cos x x (cos x) 4(ln x) 0
4 x sin x x 2 x cos x
. 当 x 0 时, t 0 ; x a 时, t 2
2 2 2 cos t dt a ∴ 原式 = 0

y
y a2 x2
a2 2 (1 cos 2 t ) d t 2 0 a 1 ( t sin 2t ) 2 2 2 0
2
o

a x
例2. 计算
(cot x) csc 2 x (csc x) csc xcotx
x ( a ) a ln a 1 (loga x ) x ln a 1 (arcsin x ) 2 1 x 1 (arctanx ) 2 1 x x
( e ) e 1 (ln x ) x
x x
(arccosx )
1
2
1 x 1 ( arc cot x ) 1 x2
二、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1.
函数u u( x)及v v( x)都在 点x具有导数
u( x )及v( x ) 的和、 商 (除分母 差、 积、
为 0的点外) 都在点
x可导,
且
( 2 )[ u( x )v( x )] u ( x )v( x ) u( x )v( x )
例
函数y sin 2x，求y
函数可看作由函数 y sin u与u 2 x复合而成
dy cos u du
du 2 dx
dy dy du 2 cos u 2 cos 2 x dx du dx
例2 求函数y a 2 x 2 的导数
解：此函数可看作由函 数y u与y a x
解
求

2
0
f ( x)dx.

2
0
1
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
0 1
2 1
1
2
( x 1)dx
0
1
1 2 x dx 2
8 3

1 x ( x 1) 2 2 6 0
3 2
1
例3 计算 解:

2
0
f ( x)dx
1
其中
0 x 1 x, f ( x) 2 x 1, 1 x 2
f ( x) dx lim f ( x) dx a a b c lim
( c 为任意取定的常数 )
c b
引入记号
F () lim F ( x) ;
x
F () lim F ( x)
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a

f ( x ) dx F ( x)
a c
c
b
a
c
b
当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如
a b c,
则有
c b
a
c
b
c
a f ( x ) dx a f ( x ) dx b f ( x ) dx

a f ( x ) dx a f ( x ) dx b f ( x ) dx
f ( x ) dx f ( x ) dx
0 0 a 0
令 x t

f ( x) f ( x)时 f ( x) f ( x)时
定理 （定积分的分部积分公式） 设函数 u (x) , v (x) 在 [ a , b ]上有连续导数，则
b b

a
u( x)v( x)dx u( x)v( x) v( x)u( x)dx
解
2 ( x y ) d d x ( x y ) dy 2 D 0 1
F () F (a) F (b) F () F () F ()
f ( x) dx F ( x) f ( x) dx F ( x)

b
例1. 计算广义积分
解:
( ) lim 2 x lim arctan x 2 arctan
练习：求下列函数的导数
1、y e
x3 x
2、y 2 sin x x 3、y ln tan 2 x 4、y xe
2x 1 5、y sin x 6、y 3 e
x 2 x
7、y x x 3 1 8、y 5 x 3 x x
4 2
第二节 定积分
一、定积分的定义
a c c b
b
c
c
三、 牛顿 – 莱布尼兹公式
定理1. 若
x a
则积分上限函数
( x) f (t ) d t
定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 .
' ( x ) f ( x )
定理2. 函数 , 则
a f ( x) dx F (b) F (a)
b
( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
记作
例1、 计算 解:
1
3
3 dx arctan x 2 1 1 x
arctan 3 arctan(1)
7 ( ) 3 4 12


x 1, x 1 例 2、设 f ( x) 1 x 2 , x 1, 2
x x
[ arctan x ]

例2. 计算广义积分
t pt 解: 原式 e p
1 pt 2e p 1 2 p
1 p t e dt p 0
第五节 二重积分

D
f ( x, y ) d f ( x, y) dxdy
例3.
偶倍奇零
(1) 若 (2) 若 证:
a 0
则
a
a
f ( x ) dx 2 f ( x ) dx
0
a
则
a a
a
a
f ( x ) dx 0
a
a f ( x) dx a f ( x) dx 0 f ( x) dx
f (t ) d t f ( x) dx [ f ( x ) f ( x ) ] dx

b
a b
f ( x)dx kdx k dx k (b a)
a a
b
b
a
f ( x)dx 1dx dx b a
a a
b
b
性质4 定积分的区间可加性
若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则

b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
D b a d
dy f ( x , y ) dx
a
特别当 f ( x , y ) 在矩形区域 D [a , b] [c , d ] 连续时，有
f ( x, y) d
D
dx f ( x , y ) dy dy f ( x , y ) dx
c c a
d
b
2 ( x y ) d 其中 D [0,1] [1,0] 例 1 计算 D
第一节 求导法则
dy 已知函数y=f ( x), 求f ( x)的导数, 记为f ( x)或y、 dx
一、基本初等函数导数公式
(C ) 0 (sin x) cos x (tan x) sec x (sec x) sec xtanx
2
1 (x ) x (cos x) sin x
[ , ] 上单值且有连续导数；当 t 时，有 (t ) [a, b]，且 ( ) a, ( ) b
则

b
a
f ( x)dx f [ (t )] (t )dt


例1. 计算
解: 令 x a sin t , 则 dx a cos t d t , 且
第三节 广义积分（反常积分）
定义1. 设 f ( x) C [a , ) , 取 b a , 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 在区间 [a,) 的广义积分,
记作 类似地 , 若 f ( x) C ( , b] , 则定义
若 f ( x) C ( , ) , 则定义