全微分

定理
2
如果函数 z f ( x , y )的两个二阶混合偏导
2
z z 数 及 在区域 D 内连续，那么在该区域内 yx xy
这两个二阶混合偏导数必相等．
验证函数 u( x , y ) ln x 2 y 2 满足拉普拉 2u 2u 斯方程 2 2 0. x y 1 2 2 ln x y ln( x 2 y 2 ), 解 2 例 9
u yz ye , z
所求全微分
1 y du dx ( cos ze yz )dy ye yz dz. 2 2
例4
试证函数
1 , ( x , y ) (0,0) xy sin 2 2 x y 在 f ( x, y) 0, ( x , y ) ( 0, 0 )
解
当( x , y ) (0,0)时,
3 x 2 y( x 2 y 2 ) 2 x x 3 y 3 x2 y 2 x4 y f x ( x, y) 2 2 2 2 2 2 2 2, (x y ) x y (x y ) x3 2 x3 y2 f y ( x, y) 2 2 2 2 2, x y (x y )
所求全微分 dz e 2dx 2e 2dy.
例 2 求函数 z y cos( x 2 y ) ，当x ，y ， 4
dx
解

4
，dy 时的全微分.
z y sin( x 2 y ), x z cos( x 2 y ) 2 y sin( x 2 y ), y
同理
f y (0,0) 0.
当( x , y ) (0,0) 时，
1 x2 y 1 cos 2 , f x ( x, y ) y sin 2 2 2 2 3 2 x y (x y ) x y
( 当点 P ( x , y ) 沿直线 y x 趋于 0,0) 时,
( x , x ) ( 0 , 0 )
[ f ( x , y y ) f ( x , y )],
证 z f ( x x , y y ) f ( x , y )
z z 习惯上，记全微分为 dz dx dy. x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理．
为
z z dz x y ． x y
证 如果函数 z f ( x , y ) 在点P ( x , y ) 可微分,
P ( x x , y y ) P 的某个邻域
z Ax By o( )
总成立,
当y 0 时，上式仍成立，此时 | x | ,
f ( x x , y y ) f ( x , y ) 为函数在点 P 对应于自变量增量x , y 的全增 量，记为 z ， 即 z = f ( x x , y y ) f ( x , y )
全微分的定义
如果函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y ) 可以表示为 z Ax By o( ) ，其中A, B 不依赖于
( 点(0,0) 连续且偏导数存在，但偏导数在点 0,0)
不连续，而 f 在点(0,0) 可微.
思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分
( x , y ) (0,0) ，( x , y ) (0,0) 讨论.
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证 函数在点( 0,0)连续,且偏导数存在易得。
00 f ( x ,0) f (0,0) lim 0, f x (0,0) lim x 0 x x 0 x
函数在点(0,0) 处不可微.
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全
微分存在，
定理２（充分条件） 如果函数 z f ( x , y )的偏
z z 导数 、 在点( x , y )连续，则该函数在点 x y ( x , y )可微分．
[ f ( x x , y y ) f ( x , y y )]
o( ( x )2 ( y )2 )
故 f ( x , y )在点(0,0) 可微
dz ( , )
4
z z 2 dx dy ( 4 7 ). x ( , ) y ( , ) 8
4 4
y 例 3 计算函数u x sin e yz 的全微分. 2
解
u 1, x
u 1 y yz cos ze , y 2 2
f x (0, y ) f x (0,0) 0, f xy (0,0) lim y 0 y
f y ( x ,0) f y (0,0) f yx (0,0) lim 1. x 0 x 显然 f xy (0,0) f yx (0,0).
问题： 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
lim
f x ( x, y)
3
1 x 1 lim x sin cos , 3 x 0 2| x| 2 2| x| 2 | x |
不存在.
所以 f x ( x , y ) 在(0,0) 不连续.
同理可证 f y ( x , y ) 在(0,0) 不连续.
1 f f ( x , y ) f (0,0) x y sin ( x )2 ( y )2
u x 2 , 2 x x y
u y 2 , 2 y x y
2u ( x 2 y 2 ) x 2 x y2 x2 2 2 , 2 2 2 2 2 x (x y ) (x y ) u (x y ) y 2y x y 2 . 2 2 2 2 2 2 y (x y ) (x y )
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
思考题
若 函 数 f ( x , y ) 在 点 P0 ( x0 , y0 ) 连 续，能否断定 f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的偏导数必定存在？
答
不能. 例如,
f ( x, y)
x2 y2 ,
在(0,0) 处连续,
全微分存在．
xy 2 x y2 例如， f ( x , y ) 0
x2 y2 0 . x y 0
2 2
在点(0,0) 处有
f x (0,0) f y (0,0) 0
x y z [ f x (0,0) x f y (0,0) y ] , 2 2 ( x ) ( y )
( 如果考虑点 P ( x , y ) 沿着直线y x 趋近于0,0) ，
则
x y 2 2 ( x ) ( y )

1 x x , 2 2 ( x ) ( x ) 2
说明它不能随着 0 而趋于 0, 当 0时，
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y] o( ),
但
f x (0,0) f y (0,0) 不存在.
第三节 全微分
一元函数 y = f (x) 的微分
y Ax o( x)
d y f ( x)x
本节内容:
应用 近似计算
估计误差
一、全微分的定义
*二、全微分在数值计算中的应用
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x , y ) f ( x , y ) A x o(| x |),
f ( x x , y ) f ( x , y ) z lim A , x 0 x x
同理可得
z B . y
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
当( x , y ) (0,0)时, 按定义可知：
f ( x ,0) f (0,0) 0 f x (0,0) lim lim 0, x 0 x 0 x x f (0, y ) f (0,0) 0 f y (0,0) lim lim 0, y 0 y 0 y y
0
f ( x, y)
故函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续.
二、可微的条件
定理 1（必要条件） 如果函数 z f ( x , y )在点
z ( x , y )可微分，则该函数在点( x , y )的偏导数 、 x z 必存在，且函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全微分 y
f ( x x , y ) f ( x , y ) f x ( x, y )x
f ( x , y y ) f ( x , y ) f y ( x , y ) y
二元函数 对 x 和对 y 的偏增量
二元函数 对 x 和对 y 的偏微分
全增量的概念
如果函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 的某邻域内 有定义，并设 P ( x x , y y ) 为这邻域内的 任意一点，则称这两点的函数值之差
u abeax sin by, xy
2
问题： 混合偏导数都相等吗？ x3 y ( x, y ) (0,0) x2 y 2 例8 设 f ( x, y ) 0 ( x, y ) (0,0)
求 f ( x, y )在(0,0)的二阶混合偏导数.
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
如果函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续.
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
0
x 0 y 0
lim f ( x x , y y ) lim[ f ( x , y ) z ]
x, y 有关， ( x )2 ( y )2 ， x , y 而仅与 则称函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分， Ax By 称为函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 的 全微分，记为dz ，即 dz = Ax By .
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
u u u du dx dy dz. x y z
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
例 1 计算函数z e xy 在点( 2,1) 处的全微分.
解
z xy ye , x
z xy xe , y
z z 2 2 e , 2e , x ( 2 ,1 ) y ( 2,1)
例7
设 u e ax cos by ，求二阶偏导数.
解
u aeax cos by, x
u beax sinby; y
2u 2 ax b e cos by, 2 y u abeax sin by. yx
2
2u a 2e ax cos by, x 2
2 2 2 2 2
y2 x2 x2 y2 2u 2u 2 2 2 2 2 2 2 2 0. (x y ) (x y ) x y
证毕．
三、内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在 • 混合偏导数连续 2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法 函数在此点连续 与求导顺序无关 先代后求 先求后代 利用定义 逐次求导法