量子场论02

上式成立的一般条件为
对自旋为1/2的场，若采用对易关系量子化
则：1、真空不稳定 2、不满足微观因果性
Dirac场的Feynman传播子
可证明
正规乘积，
在正规乘积内部，服从对易关系的玻色算符相互对易
可有明确粒子解释，
回到连续描述，
可合写为4动量形式，
张成这一系统整个Hilbert空间，称为Fock空间
是宗量对称函数
可证明，
二、场的可测性与微观因果性
经典情况下： 任一时空点处
的值都可测量
量子化后： 只有当 可同时测量 时，x, y处的值才

第五节：Dirac场的正则量子化
一、反对易子 Dirac场的拉氏量密度
与对应的共轭动量密度
哈密顿量
H d x (i m) d 3 x i 0 t
3

d 3 x i t
利用Poincare不变性导出场算符的对易关系
按平面波展开
由Poincare不变性
哈密顿量
正则对易关系
对相应实场，
其中，
可证明，
守恒流 守恒荷
可证明， a粒子和b粒子带有相反的Q荷，一种为粒子，另一种为反 粒子。在自由场论中，a，b粒子作用是对称的。 三、编时乘积与Feynman传播子
定义编时乘积
编时乘积
于是
于是 故
i ( 4) ( x x)
于是
是K-G算子的格林函数
对
做平面波展开，
积分测度
共轭动量密度
由
满足
哈密顿量
总动量
分别是各本征振动能量和动量之和，每个本征振动相当于 一频率为 的谐振子。
采用不连续描述，
令
哈密顿量
总角动量
对每一个本征振动，能量和动量算符分别为
令
有
的态，
满足，
在物理上表示真空
真空能量不为0，
无穷多谐振子零点能之和，
重新定义哈密顿量，
的场可同时测量
一般情况下，
洛伦兹不变，满足
由洛伦兹不变性，
可同时测量 非等时对易关系 与等时对易关系自洽
三、复标量场与正反粒子
粒子和反粒子必须带有某种相反的荷，这种荷起源于 某种内部对称性，单个实场不具有这种内部对称性
组合成复场
运动方程 ຫໍສະໝຸດ Baidu足U(1)内部对称性，
相应的守恒流 守恒荷 量子化
成立
对应微分形式
利用 考虑真空的稳定性，算符需满足反对易关系
定义真空态后
标量场
由平移不变性
假定
有
于是，
若基本产生、湮灭算符 b, d , b , d 满足
则
及其它类似三个关系都满足。
为k的粒子 为k的粒子
可证明
也可证明广义角动量算符
满足
M 作为Lorentz变换的生成元与对易关 系自洽 量子化后仍是 Lorentz不变的
第一式可写为
对易关系可写为
另外，
Lorentz协变的
出现不定 度规！
作为算符方程不成立
满足
为线性空间
于是
物理态可写为
态 由于
归结为 仍存在任意性
若
的线性组合
于是
故
系统的哈密顿量
0分量前有负号 用阶梯算符表示，
但对于平均值
对于动量
若只考虑物理的态 ，不仅负几率消失，而且非物理的 纵光子和标量光子对平均值（物理观测）没贡献，物理上 只将横光子的作用表现出来
量子场论02
2012.4.23

3.3K-G场的正则量子化
一、实标量场的量子化与粒子解释 自由场拉氏量密度 运动方程 共轭动量密度 哈密顿量
正则量子化
Heisenberg运动方程
为系统的哈密顿量
易证
作为Poincare变换的生成元与对易关系自洽，
量子场论是Poincare不变的。
场量子化后展现出粒子性，
费米算符满足反对易关系，
二、费米子的Fock空间
满足
可证明
于是
分别带有Q荷+1和-1
可证明，
的作用是使 Q荷加 1
引入自旋投影算符
于是
对
构造自旋投影算符
有
于是
又
有
即
即
对于多粒子态
三、自旋与统计的关系、传播子 任意时空间隔的自由场算符反对易关系
Lorentz不变的
由
有等时对易关系 于是 由Lorentz不变性 保证了微观因果性 考虑可观测量
于是
的传播

3.4Maxwell场的正则量子化
电磁场量子化的困难
对应共轭动量密度
一、不定度规量子化
对应运动方程 经典情况下等价于
正则量子化
由对易关系 又 关系不自洽
对易关系可写为
平面波展开
Lorentz不变
极化矢量，可取为实的
选取
可取为
符合上述要求最简单极化矢量的形式为
n (1,0,0,0), k (k 0 ,0,0, k 0 )
物理的态 只能确定到一个等价类。由于纵向和标量光子部分对 态的归一化和物理量平均值均无影响，可取 对中间态求和时需考虑所有态矢量的贡献，包括纵向和 标量光子态。
二、传播子 对于标量场，费曼传播子定义为场算符编时乘积的 真空平均值
对于矢量场，场算符编时乘积
光子传播子
若拉氏量中 费曼传播子
物理结果不依赖于