2016年高考数学北京卷文数(解析版)

0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.
所以该月用水量不超过 3 立方米的居民占 85%,用水量不超过 2 立方米的居民占 45%.
依题意,w 至少定为 3.
(2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表 :
组
号1 2 3 4 5
6
7
8
5
分 组 [2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,17] (17,22] (22,27] 频 率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05
A.y=11-
B.y=cos x
C.y=ln(x+1)
D.y=2-x
1
答案 D 选项 A 中,可设μ=1-x,则 y=1.由 x∈(-1,1),知μ∈(0,2).由同增异减 ,可知复合函数 y=11- 在(-
1,1)上为增函数;选项 B 中,由 y=cos x 在(-π,0)上是增函数 ,在(0,π)上是减函数 ,可知 y=cos x 在(1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数;选项 C 中,可设μ=x+1,则 y=ln μ.由 x∈(-1,1),知μ∈(0,2).由同增异
2
在这 10 名学生中,进入立定跳远决赛的有 8 人,同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人,则 () A.2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 B.5 号学生进入 30 秒跳绳决赛 C.8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 D.9 号学生进入 30 秒跳绳决赛 答案 B 将 30 秒跳绳成绩确定的学生,按其成绩从大到小,把他们的序号排列为 3,6,7,10,1 与 5 并 列,4;由题意可知 3,6,7 号同时进入立定跳远和 30 秒跳绳的决赛.
π-
π 2
,2
π
+
π 2
(k∈Z).
所以 f(x)的单调递增区间
为
π-
3π 8
,
π
+
π 8
(k∈Z).
17.(2016 北京,文 17)某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/ 立方米收费,超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费.从该市随机调查了 10 000 位居民,获得了他们 某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:
(1)第一天售出但第二天未售出的商品有
种;
(2)这三天售出的商品最少有
种.
答案(1)16 (2)29
解析(1)由于前两天都售出的商品有 3 种,因此第一天售出但第二天未售出的商品有 19-3=16 种.
(2)同理可知第三天售出但第二天未售出的商品有 18-4=14 种.当前两天都售出的 3 种商品与后
sin
3,即 sin C=sin323π
12,又 a>c,可得 C=π6,∴B=π-23π
π 6
π6,∴b=c,即 =1.
14.(2016 北京,文 14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出 19 种商品,第二天售出
13 种商品,第三天售出 18 种商品;前两天都售出的商品有 3 种,后两天都售出的商品有 4 种.则该网店
2
解析∵双曲线的方程为 2 2=1,
2
2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为 2x+y=0,一个焦点为( 5,0),则
Hale Waihona Puke 3∴双曲线的渐近线 方程为 y=± x.
2,
∴由题意可知
5,
1, 2.
2 2 + 2.
13.(2016 北京,文 13)在△ABC 中,A=23π,a= 3c,则 =
.
答案 1
解析由正弦定理知sin
根据题意,该市居民该月的人均水费 估计为 4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元). 18.(2016 北京,文 18)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. (1)求证:DC⊥平面 PAC; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PAC; (3)设点 E 为 AB 的中点,在棱 PB 上是否存在点 F,使得 PA∥平面 CEF?说明理由. 解(1)
答案 C 由题意可知圆心坐标 为(-1,0),故圆心到直线 y=x+3 的距离 d=|-1-02+3|
2,故选 C.
6.(2016 北京,文 6)从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人,则甲被选中的概率为( )
A.15
B.25
C.285
D.295
答案 B 从甲、乙等 5 名学生中选 2 人有 10 种方法,其中 2 人中包含甲的有 4 种方法,故所求的概率
∴A∩B={x|2<x<3}.故选 C.
2.(2016 北京,文 2)复数12+-2i i=(
)
A.i
B.1+i
C.-i
答案 A
1+2i 2-i
(1+2i)(2+i) (2-i)(2+i)
2+i+54i-2=i,故选 A.
3.
D.1-i
(2016 北京,文 3)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为( ) A.8 B.9 C.27 D.36 答案 B 由程序框图 可知,k=0,s=0;满足 k≤2,则 s=0+03=0,k=1;满足 k≤2,则 s=0+13=1,k=2;满足 k≤2,则 s=1+23=9,k=3;不满足 k≤2,退出循环,输出 s=9.故选 B. 4.(2016 北京,文 4)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( )
两天都售出的 4 种商品有 3 种是一样的,剩下的 1 种商品在第一天未售出;且第三天售出但第二天未
售出的 14 种商品都在第一天售出的商品中,此时商品总数最少,为 29 种.如图,分别用 A,B,C 表示第一、
二、三天售出的商品种数.
15.(2016 北京,文 15)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通项公式; (2)设 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和.
解(1)等比数列{bn}的公比 q= 3 2
93=3,
所以 b1= 2=1,b4=b3q=27.
设等差数列{an}的公差 为 d. 因为 a1=b1=1,a14=b4=27, 所以 1+13d=27,即 d=2. 所以 an=2n-1(n=1,2,3,…). (2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1. 因此 cn=an+bn=2n-1+3n-1. 从而数列{cn}的前 n 项和
因为 PC⊥平面 ABCD, 所以 PC⊥DC. 又因为 DC⊥AC, 所以 DC⊥平面 PAC. (2)因为 AB∥DC,DC⊥AC, 所以 AB⊥AC. 因为 PC⊥平面 ABCD, 所以 PC⊥AB.所以 AB⊥平面 PAC. 所以平面 PAB⊥平面 PAC. (3)棱 PB 上存在 点 F,使得 PA∥平面 CEF.证明如下: 取 PB 中点 F,连接 EF,CE,CF. 又因为 E 为 AB 的中点,所以 EF∥PA. 又因为 PA⊄平面 CEF, 所以 PA∥平面 CEF.
.
答案π
6
解析设 a 与 b 的夹角为θ,则 cos θ=|
· ||
|
23 2×2
23,且两个向量夹角范围 是[0,π],∴所求的夹角为π6.
10.(2016 北京,文 10)函数 f(x)= -1(x≥2)的最大值为
.
答案 2
解析∵f(x)=1+ 1-1在[2,+∞)上是减函数 ,
∴f(x)的最大值为 2.
2x+9)=4x-9.又∵2≤x≤4,∴-1≤4x-9≤7.∴2x-y 的最大值 为 7,故选 C.
8.(2016 北京,文 8)某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下
表为 10 名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.
学 生 序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号 立 定 跳 远 1.96 1.92 1.82 1.801.781.76 1.74 1.72 1.68 1.60 (单 位: 米) 30 秒 跳 绳 63 a 75 60 63 72 70 a-1 b 65 (单 位: 次)
(1)如果 w 为整数,那么根据此次调查,为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米,w 至少定
为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当 w=3 时,估计该市居民该月的人均水费.
解(1)由用水量的频率分布直方图 知,
该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率依次为
为4
10
25.
7.(2016 北京,文 7)已知 A(2,5),B(4,1).若点 P(x,y)在线段 AB 上,则 2x-y 的最大值为( )
A.-1
B.3
C.7
D.8
答案 C 由题意得,线段 AB 的方程为 y-1=52--14(x-4)(2≤x≤4),即 y=-2x+9(2≤x≤4),∴2x-y=2x-(-
2016 年普通高等学校招生全国统一考试 北京文科数学
1.(2016 北京,文 1)已知集合 A={x|2<x<4},B={x|x<3 或 x>5},则 A∩B=( )
A.{x|2<x<5}
B.{x|x<4 或 x>5}
C.{x|2<x<3}
D.{x|x<2 或 x>5}
答案 C ∵A={x|2<x<4},B={x|x<3 或 x>5},
11.(2016 北京,文 11)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为
.
答案3
2
解析由三视图 可知,四棱柱高 h 为 1,底面为等腰梯形,且底面面积 S=12×(1+2)×1=32,故四棱柱的体
积 V=S·h=32.
2
12.(2016 北京,文 12)已知双曲线 2
a=
;b=
.
答案 1 2
2
假设 5 号学生没有进入 30 秒跳绳决赛,则 1 号和 4 号学生也没有进入 30 秒跳绳决赛.这与“同时 进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人”矛盾.故 5 号学生进入 30 秒跳绳决赛,故选 B.
9.(2016 北京,文 9)已知向量 a=(1, 3),b=( 3,1),则 a 与 b 夹角的大小为
4
Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1
=
(1+2 2
-1)
+
1-3 1-3
=n2+3
2-1.
16.(2016 北京,文 16)已知函数 f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值; (2)求 f(x)的单调递增区间. 解(1)因为 f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx
22
19.(2016 北京,文 19)已知椭圆 C: 2 + 2=1 过 A(2,0),B(0,1)两点. (1)求椭圆 C 的方程及离心率;
6
(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证:四 边形 ABNM 的面积为定值.
2
解(1)由题意,得 a=2,b=1,所以椭圆 C 的方程 为 4 +y2=1.又 c= 2- 2
3,所以离心率 e=
23.
(2)设 P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则 02+4 02=4. 又 A(2,0),B(0,1),
所以直线 PA 的方程 为 y= 00-2(x-2).
令 x=0,得 yM=- 20-02,从而|BM|=1-yM=1+ 20-02. 直线 PB 的方程 为 y= 0-1x+1.
=sin 2ωx+cos 2ωx
= 2sin 2
+
π 4
,
所以 f(x)的最小正周期 T=22π π. 依题意,π=π,解得ω=1.
(2)由(1)知 f(x)=
2sin 2
+
π 4
.函数 y=sin x 的单调递增区间
由 2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,
得 kπ-38π≤x≤kπ+π8.
为2
0
令 y=0,得 xN=- 00-1,从而|AN|=2-xN=2+ 00-1. 所以四边形 ABNM 的面积 S=12|AN|·|BM|
=12
2+
0
0-1
1
+
20 0-2
=
02+4 02+4 0 0-4 0-8 0+4 2( 0 0- 0-2 0+2)
=2
减
,可知复合函数 y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数;选项 D 中,y=2-x=
1 2
,易知该函数在 R 上为减函
数 ,故 y=2-x 在(-1,1)上为减函数.故选 D. 5.(2016 北京,文 5)圆(x+1)2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为( )
A.1
B.2
C. 2
D.2 2