二次型及其矩阵表示

第六章 二次型

第一讲 二次型及其矩阵表示、标准形

教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的基本概念及其矩

阵表示方法.

教学重点与难点：二次型的矩阵表示 教学计划时数：2课时 教 学 过 程：

一、二次型的概念

定义1：含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数

22

2

121112221212112323221,1(,,

,)22222n nn n n n

n n n n n n

f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x x a x x --=+++++

++++++ （1）

称为二次型.

附：1、当ij a 为复数时,f 称为复二次型；当ij a 为实数时,f 称为实二次型； 2、ij a 可以等于0，即（1）式中的各项都存在.

例1 ()2

2

2

12312313,,2454f x x x x x x x x =++-；()123121323,,f x x x x x x x x x =++

都为实二次型；

二、二次线性与对称矩阵

在（1）式中,取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=令12(,,,)T n x x x x =，则（1）

式可化为

11121121

22

22121212(,,,)(,,

,).n n T

n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x x Ax a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪

⎪⎪⎝⎭⎝⎭

称12(,,

,)T n f x x x x Ax =为二次型的矩阵形式，记为()T f x x Ax =，其中实对称矩阵A 称

为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型.实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，即()()R A R f =.

例2 二次型

222

123112132233

(,,)3245f x x x x x x x x x x x =+--+ 对应的实对称矩阵为

312112.2

5A ⎛

⎫ ⎪ ⎪=--

⎪⎪⎪-⎪⎝

⎭

反之,

实对称矩阵3121122

52A ⎛

⎪

=--

⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭

所对应的二次型是

11232331(,,)112252T

x x Ax x x x x x ⎛ ⎛⎫

⎪ ⎪=--

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝

⎭

222

1231213233524.x x x x x x x x =-+++-

三、合同矩阵

定义2：关系式

11111221221122221122n n n n

n n n nn n

x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩

称为由变量n x x x ,,,21 到变量n y y y ,,,21 的线性变换，并简记为x Cy =.其中系数矩阵

1112

12122212

n n n n nn c c c c c c C c c c ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 称为线性变换矩阵.如果C 可逆，则称该线性变换为可逆线性变换.

说明：对于一般二次型()T

f x x Ax =，问题：求可逆线性变换x Cy =，将二次型化为标准形.将x Cy =代入()T

f x x Ax =，得

()T f x x Ax =()()()T T T Cy A Cy y C AC y ==

其中，()T T

y C AC y 是关于n y y y ,,,21 的二次型，对应的矩阵为AC C T .

关于A 与AC C T 的关系，我们给出下列定义.

定义3：设A ,B 为两个n 阶矩阵,如果存在n 阶可逆矩阵C ,使得,B AC C T =则称矩阵

A 合同于矩阵

B ,或称A 与B 合同.

矩阵的合同的性质:

1、反身性 对任意方阵A ,A 与A 合同T

E AE A ⇐=. 2、对称性 若A 与B 合同，则B 与A 合同.

3、传递性 若A 与B 合同,且B 与C 合同则A 与C 合同.

4、若A 为对称阵,则T

B C AC =也为对称阵,且()()R B R A =，即合同的两个矩阵的

秩不变.

四、标准形的定义

定义4：只含有平方项的二次型：22

2

1122,n n f b y b y b y =++

+称为二次型的标准形(或

法式).

说明：二次型12(,,,)T n f x x x x Ax =在可逆线性变换x Cy =下,可化为()T T y C AC y .

如果AC C T 为对角矩阵

1

2

n b b B b ⎛⎫

⎪ ⎪∧== ⎪ ⎪⎝

⎭

则12(,,

,)T n f x x x x Ax =→就可化为标准形：,2

222211n n y b y b y b +++ 且其标准形中的系

数恰好为对角矩阵B ∧=的主对角线上的元素, 因此上面的问题归结为A 能否合同于一个

对角矩阵的问题.

五、化二次型为标准形的方法

我们要研究用可逆线性变换x Cy =把二次型12(,,,)T n f x x x x Ax =化为标准形的方

法.

1.用配方法化二次型为标准形

定理1：任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤是:

(1)若二次型f 含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止,经过可逆线性变换,就得到标准形；