泰勒公式的应用论文

目录
引言 (2)
1．泰勒公式 (3)
1.1 泰勒多项式 (3)
1.2 两种类型的泰勒公式 (4)
2．泰勒公式的应用 (6)
2.1 利用泰勒公式求极限 (6)
2.2 利用泰勒公式证明不等式 (11)
2.3 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计 (15)
结束语 (17)
参考文献 (17)
致谢 (18)
泰勒公式及其应用
理学院数学082 陈培贤指导教师：卢晓忠
摘要：泰勒公式是数学分析中重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。

运用泰勒公式可以有效地解决某些问题，在微积分的各个方面都有重要的应用。

本文将介绍泰勒公式及其在求极限、不等式的证明、近似计算三方面的应用，从而能够对泰勒公式有更深入的了解，认识到泰勒公式的重要性。

关键词：泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项;应用
引言
不论是进行近似计算还是理论分析，我们总希望用一些简单的函数来近似表示比较复杂的函数。

多项式是比较简单的一种函数，它只包含加、乘两种运算，最适于使用计算机计算。

因此，我们常用多项式来近似表示函数。

泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的，泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式。

泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式。

它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。

它建立了函数的增量，自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用。

这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。

用泰勒公式可以很好的解决某些问题，如求极限、不等式证明、近似计算、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性等方面。

比如在求某一初等函数的定积分时，由于此函数的原函数无法用初等函数表示，考虑到一般初等函数都可以近似地用泰勒公式表示，故可运用泰勒公式进行近似计算，并能满足一定的精确度。

因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，用泰勒公式这一有力的工具能解决更多的数学实际问题。

在高等数学教材中，一般只讲泰勒公式及几个常用函数的麦克劳林公式，对其在解题中的应用介绍很少。

但泰勒公式在解决一些问题中确实有十分重要的作用，因此在泰勒公式
及其应用方面我们有必要进行归纳总结，并且有很大的空间。

本文将从求极限、不等式的证明、近似计算三个方面介绍泰勒公式的应用。

1．泰勒公式
1.1 泰勒多项式
当0)(0≠'x f ，并且x ∆很小时，有如下的近似等式
x x f y y ∆'=≈∆)(d 0
或
))(()()(000x x x f x f x f -'+≈ 上式就是用一次多项式来近似表达一个函数.在0x x =处，这个一次多项式及其导数的值分别等于被近似表达的函数及其导数的值.但是，这种近似表达式存在不足之处.它所产生的误差仅是关于)(0x x -的高阶无穷小，精确度不高.为了提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数.因此，可设想用高次多项式来近似表达函数.于是提出如下的问题：设函数)(x f 在含有0x 的开区间内具有直到n 阶的导数，试找出一个关于)(0x x -的n 次多项式 n n n x x a x x a x x a a x P )()()()(0202010-++-+-+= )1(
用它来近似表达)(x f ，要求它与)(x f 之差是关于n x x )(0-高阶的无穷小.
为了使求得的近似多项式与)(x f 在数值与性质方面吻合得更好，如函数的单调性、凹凸性等.于是可进一步要求)(x P n 在0x 处的函数值以及它的直到n 阶的导数值与)(x f 在0x 处的函数值以及它的直到n 阶的导数值分别相等，即要求
)()(0)(0)(x f x P k k n = 0(=k ，1， ，)n )2(
按此要求，可求得)1(式中多项式的各个系数为
)(00x f a =,)(01x f a '=,)(!2102x f a ''=
, ,)(!
10)(x f n a n n = 于是
n n n x x x f n x x x f x x x f x f x P ))((!
1))((!21))(()()(0)(200000-++-''+-'+= )3(
)3(式中的)(x P n 称为)(x f 在0x 处的泰勒多项式.
那么)(x P n 与)(x f 的吻合程度如何？是否是我们要找的多项式呢？即是否有
))(()()(0n n x x o x P x f -=-成立，这将从下文给出证明.
1.2 两种类型的泰勒公式
1.2.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式
定理1.1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有))(()()(0n n x x o x P x f -+=，即
+-''+
-'+=200000))((!21))(()()(x x x f x x x f x f x f ))(())((!
1000)(n n n x x o x x x f n -+-+ )4( 证明： 设 )()()(x P x f x R n n -=，n n x x x Q )()(0-=，
现在只要证 0)()(lim 0=→x Q x R n
n x x 由关系式)2(可知 0)()()(0)(00==='=x R x R x R n n n
n 并易知 0)()()(0)1(00==='=-x Q x Q x Q n n n
n ，!)(0)(n x Q n n = 因为)(0)(x f n 存在，所以在点0x 的某邻域)(0x U 内)(x f 存在1-n 阶导函数. 于是
当)(0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1-n 次，得到
)()(lim )()(lim )()(lim )1()1(000x Q x R x Q x R x Q x R n n
n n x x n n x x n n x x --→→→==''= 0
)()()(lim !1)
(2)1())(()()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1(00=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---=-----=--→--→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f n n n x x n x n x x
证毕.
定理所证的)4(式称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x P x f x R n n -= 称为
泰勒公式的余项，形如))((0n x x o -的余项称为佩亚诺型余项.所以)4(式又称为带有佩亚诺
型余项的泰勒公式.
泰勒公式)4(在00=x 时的特殊形式：
)(!
)0(!2)0()0()0()()(2n n n x o x n f x f x f f x f +++''+'+= .称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式.
1.2.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式
上面我们从微分近似出发，推广得到用n 次多项式逼近函数的泰勒公式)4(.它的佩亚诺
型余项只是定性地告诉我们：当0x x →时，逼近误差是较n x x )(0-高阶无穷小.现在将泰
勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计.
定理1.2 （泰勒中值定理）
若函数)(x f 在[a ，]b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(a ，)b 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定的x ，[a x ∈0，]b ，至少存在一点(a ∈ξ，)b ，使得
+-''+-'+=200000)(!
2)())(()()(x x x f x x x f x f x f 10)1(00)()()!
1()()(!)(++-++-+n n n n x x n f x x n x f ξ )5( 证明： 作辅助函数 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++-'+-=n n t x n t f t x t f t f x f t F )(!)())(()()()()( ，1)()(+-=n t x t G . 所要证明的)5(式即为
)!1()()()()(!1)()()1(000)1(0+=+=++n f x G x F x G n f x F n n ξ或）（ξ
不妨设0x ＜x ，则)(t F 与)(t G 在[0x ，]x 上连续，在(0x ，)x 内可导，且
n n t x n t f t F )(!
)()()1(--='+
0))(1()(≠-+-='n t x n t G
又因0)()(==x G x F ，所以由柯西中值定理证得
)!
1()()()()()()()()()()1(0000+=''=--=+n f G F x G x G x F x F x G x F n ξξξ 其中(0x ∈ξ，)(a x ⊂，)b 证毕.
)5(式同样称为泰勒公式，它的余项为
10)1()()!1()()()()(++-+=-=n n n n x x n f x P x f x R ξ，)(00x x x -+=θξ
(0＜θ＜)1 称为拉格朗日型余项.所以)5(式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.
注意到0=n 时，)5(式即为拉格朗日种植公式 ))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ 所以，泰勒中值定理可以看作拉格朗日中值定理的推广
当00=x 时，得到泰勒公式
1)1()(2)!
1()(!)0(!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ (0＜θ＜)1 )6( )6(式也称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式
2．泰勒公式的应用
2.1 利用泰勒公式求极限
极限是微积分的基础，极限运算是学习微积分的基本功。

求极限有许多方法，其中用等价无穷小量替换求极限是一种常用、方便、有效的方法。

但寻求等价无穷小量并非易事，在替换过程中也容易出错。

对于未定式的极限问题，一般可以采用洛必达法则来求。

但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛必达法则的情况，泰勒公式往往是比洛必达法则更为有效的求极限工具。

利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。

当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限
2.1.1用泰勒公式寻求等价无穷小量及用等价无穷小量替换求极限
命题：))(()()(0n x x o x P x f -+=，200000))((!
21))(()()(x x x f x x x f x f x P -''+-'+= n n x x x f n ))((!
100)(-++ ，若)(0)(x f i 1(=i ，2， ，)n 不全为零，且当0x x →时， 0)(→x f . 则当0x x →时，)(x P 与)(x f 为等价无穷小.
证明：因为)(0)(x f i 1(=i ，2， ，)n 不全为零，设0)(0)(≠x f k ，且0)(0)(=x f j
1(=j ，2， ，)1-k ，则有)
())((lim 00x P x x o n x x -→ n
n k k k k n x x x x x f n x x x f k x x x f k x x o ))((!
1))(()!1(1))((!1)
)((lim 00)(100)1(00)(00-++-++--=++→ 0))((!1))(()!1(1)(!1)())((lim 00)(00)1(0)(000=-++-++--=-+→k
n n k k k
n x x x x x f n x x x f k x f k x x x x o ，所以
1))
())((1(lim )())(()(lim )()(lim 00000=-+=-+=→→→x P x x o x P x x o x P x P x f n x x n x x x x .因此，当0x x →时， )(x P 与)(x f 为等价无穷小. 证毕.
由此命题可以看出，可以用泰勒公式求某一无穷小量，从而利用等价无穷小量替换求极限
例1 试说明求极限3
0sin tan lim
x x x x -→时，为什么不能用x tan 与x sin 的等价无穷小x 分别替换它们？
解： 我们用三阶的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式分别将x tan 与x sin 表示为 )(3tan 33x o x x x ++=，)(!
3sin 33
x o x x x +-= 于是)(2sin tan 33x o x x x +=-，这说明函数x x sin tan -与23x 是等价无穷小（即2
3
x 是 x x sin tan -的主要部分）.因此只能用2
3
x 来替代x x sin tan -，而不能用)(x x -来替代它. 例2 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求极限2
0)1ln(cos lim x x x x x -+→ 解： 因为分式函数的分母是2x ，我们只需将分子中的x cos 与)1ln(x +分别用二阶的
麦克劳林公式表示：)(!211cos 22x o x x +-=，)(2
1)1ln(22x o x x x +-=+ 于是 x x o x x x o x x x x -⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-+•)(21)(!211)1ln(cos 2222 对上式作运算是把所有比2x 高阶的无穷小的代数和仍记为)(2
x o ，就得 )(2
1)(21)1ln(cos 2222x o x x x o x x x x x +-=-+-
=-+ 故 2121lim )1ln(cos lim 22
020-=-=-+→→x
x x x x x x x 例3 求极限3
0arcsin 22arcsin lim x x x x -→ 解： x x arcsin 22arcsin -的泰勒展开式为)(4
9553x o x x ++ 则原式149lim 35
30=+=→x x x x 2.1.2 泰勒公式代换求极限应至少取到第几项
在高等数学中，有时求极限,用带佩亚诺余项的泰勒公式代换的方法求，许多高等教学教材中都有例子，但都没有说明取到哪一项才合适。

因此，这一点必须弄清楚，否则在解题 过程中可能会出现错误以及一些不必要的麻烦，故给出以下定理。

定理2.1 设21αα±及β是0x x →时的无穷小量，+-'+=))(()(0002x x x f x f α
))(()())(()(!)(0000)(n n n n n x x o x P x x o x x n x f -+=-+-+ .如果=-→k x x x x )(lim 00
β 0≠c （c 是常数，k 是正整数），βα)(lim 10x P n x x ±-存在，则βαβαα)(lim lim 12100x P n x x x x ±=±→→ 的充要条件是n ≥k .
证明：必要性 若βαβαα)(lim lim 12100x P n x x x x ±=±→→，则[]00lim )(lim 121x x n x x x P →→=±-±βααα []
0)(2=-±βαx P n ，故)()(2βαo x P n =-，即)())((0βo x x o n =-.因k
x x x x )(lim 00-→β
0≠=c （c 是常数）
，故β与k x x )(0-是同阶无穷小)(0x x →，所以n ≥k . 充分性 因β与k x x )(0-是同阶无穷小)(0x x →，故当n ≥k 时，可以得到
)())((0βo x x o n =-，又))(()(02n n x x o x P -+=α，所以00lim lim 21x x x x →→=±βαα βαβββαβα)(lim )(lim )(lim )])(()([11010
00x P o x P x x o x P n x x x x n x x n n ±=±±=-+±→→→ 证毕.
推论1 设1α及21ββ±是0x x →时的无穷小量，))(()(02n n x x o x P -+=β，如果
0)(lim 00≠=-→c x x k x x α，（c 是常数），)(lim 10x P n x x ±→βα存在且不等于零，则210lim ββα±→x x
)(lim 10x P n x x ±=→βα
的充要条件是n ≥k .
证明：由定理2.1知αβαββ)(lim lim 1210
0x P n x x x x ±=±→→的充要条件n ≥k ，也就是α
βαββ)(lim 1lim 1
12100x P n x x x x ±=±→→的充要条件.即)(lim lim 12100x P n x x x x ±=±→→βαββα的充要条件. 证毕.
定理2.2 设1α，2α，β均为0x x →时的无穷小量，))(()(02n n x x o x P -+=α，
βα)(lim 10x P n x x →存在，如果0)(lim 00≠=-→c x x k x x β（c 是常数），则βαβαα)(lim lim 12100x P n x x x x →→= 的充分条件是n ≥1-k
证明：因0)(lim 00≠=-→c x x k x x β
，故β与k x x )(0-是同阶无穷小.当n ≥1-k 时，
)())((0βO x x o n =- )(0x x →.即有界.又))(()(02n n x x o x P -+=α，所以β
αα210lim x x → βαβαβα10101))((lim )(lim )])(()([lim 0
00n x x n x x n n x x x x o x P x x o x P -+=-+=→→→，又1α是无穷小量，所以0))((lim 1
00=-→βαn x x x x o ，即βαβαα)(lim lim 1210
0x P n x x x x →→=. 证毕. 推论2 α，1β，2β均为0x x →时的无穷小量，))(()(02n n x x o x P -+=β，如果
0)(lim 00≠=-→c x x k x x α（c 是常数），)(lim 10x P n x x βα
→存在且不等于零，则0
0lim lim 21x x x x →→=ββα )(1x P n βα
的充分条件是n ≥1-k .
证明：由定理2.2知，αβαββ)(lim lim 1210
0x P n x x x x →→=的充分条件是n ≥1-k .也就是 α
βαββ)(lim 1lim 1
12100x P n x x x x →→=的充分条件.即)(lim lim 12100x P n x x x x βαββα→→=的充分条件. 例1 求)
1(tan )
1sin(1)1(61lim 531--++--→x x x x x 解：这里10=x ，1)1(6
131+--=x x α，)1sin(2-=x α，)1(tan 5-=x β.因为 01)1()1(tan lim 5
51≠=--→x x x ，即5=k .故由定理2.1知)1sin(-x 的带有佩亚诺余项的泰勒公式只要取到含5
)1(-x 项即可.所以取 ))1(()1(!
51)1(!31)1()1sin(553-+-+---=-x o x x x x 即 53)1(!
51)1(!31)1()(-+---=x x x x P n 因此,原式53531531)
1(1)1(61)1(!51)1(!311lim )1(tan 1)1(61)(lim -+--+-+---=-+--+=→→x x x x x x x x x x P x n x 120
1)1()1(!51lim 55
1=--=→x x x 例2 求)
1(sin ln )(e lim 311---→x x x x x 解：这里10=x ，x ln 1=α，x x -=-12e α，)1(sin 3-=x β.由于331)1()1(sin lim --→x x x 01≠=，即3=k .故由定理2.2知1e -x 的泰勒公式取到含213)1()1(-=--x x 项即可.取
2)1(!
21)1(1)(-+-+=x x x P n ，所以原式 31321321)1sin()1()1(ln lim 21)
1(sin ln )1(!21lim )1(sin ln )1(!21)1(1lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=--=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-+→→→x x x x x x x x x x x x x x x 21
=
2.2 利用泰勒公式证明不等式
关于不等式的证明，我们以前学过了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凹凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.
定理2.3 设函数)(x f y =在0x 点附近二阶可导，则
)1(若)(x f ''＞0，则有)(x f ≥))(()(000x x x f x f -'+
)2(若)(x f ''＜0，则有)(x f ≤))(()(000x x x f x f -'+
等号当0x x =是成立. 2.2.1 证明代数不等式
例1 证明设N n ∈，则n n n n n n n n -++≤n n 2，n ≥2
证明：设n x x f =)( (x ＞)0，则n n x n x f -='11)(，n n x n n n x f 2111)(--⋅=''＜0
由定理3.3得 )(n n n f +≤))(()(n n n f n f '+，)(n n n f -≤))(()(n n n f n f -'+ 两式相加即得结论.
例2 设+∈R x i ，1=i ，2， ，n .∑==n i i a x
1，α≥2,求证
n n x a x x a x x a x x a x -++-+-+-αααα 332211≥21
)1(---ααn
n a 证明：作函数x a x x f -=α)(，(0＜x ＜)a ，则21)
()()(x a x x a x x f -+-='-α
αα 2122)(2)(2)()1()(x a x x a x x a x x f -+-+--=''--α
ααααα.注意到(0＜x ＜)a ，则
)(x f ''＞0.利用定理2.3，取n x x x x n +++= 210，因为∑==n i i a x 1，有n a x =0，则可得
)(1x f ≥⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛n a x n a f n a f 1 )(2x f ≥⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛n a x n a f n a f 2
)(n x f ≥⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛n a x n a f n a f n n 式相加得)()()(21n x f x f x f +++ ≥()a x x x n a f n a nf n -+++⎪⎭
⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛ 21 即n n x a x x a x x a x x a x -++-+-+-αααα 332211≥21)1(---=-⎪⎭⎫ ⎝⎛ααα
n n a n
a a n a n 原结论得证.
2.2.2 证明含导函数不等式 例3 设)(x f 在区间(a ，)b 内二阶可导，且)(x f ''≥0，则⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++++++n n n p p p x p x p x p f 212211 ≤n
n n p p p x f p x f p x f p ++++++ 212211)()()(，其中1p ，2p ， ，n p 均为正数，1x ，2x ， ，(a x n ∈，)b .
证明： 记n
n n p p p x p x p x p x ++++++= 2122110，则(a x ∈0，)b ，由于)(x f 在(a ，)b 内二阶可导，故)(x f 在点0x 处一阶泰勒公式成立.！ξ2)())(()()(000f x x x f x f x f ''+
-'+= 20)(x x -，ξ在0x 与x 之间.因为)(x f ''≥0，(a x ∈，)b ，所以)(x f ≥+)(0x f ))((00x x x f -'.分别取1x x =，2x ， ，n x ，则有
)(1x f ≥))(()(0100x x x f x f -'+
)(2x f ≥))(()(0200x x x f x f -'+
)(n x f ≥))(()(000x x x f x f n -'+
以上各不等式分别乘以1p ，2p ， ，n p 得
)(11x f p ≥))(()(010101x x x f p x f p -'+
)(22x f p ≥))(()(020202x x x f p x f p -'+
)(n n x f p ≥))(()(000x x x f p x f p n n n -'+
将上面n 个不等式相加得
)()()(2211n n x f p x f p x f p +++ ≥++++)()(021x f p p p n
])()[(02122110x p p p x p x p x p x f n n n +++-+++' 因为n
n n p p p x p x p x p x ++++++= 2122110，所以 )()()(2211n n x f p x f p x f p +++ ≥)()(021x f p p p n +++ 则
)(0x f ≤n
n n p p p x f p x f p x f p +++++ 212211)()()(，从而得 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++++n n n p p p x p x p x p f 212211≤n n n p p p x f p x f p x f p ++++++ 212211)()()(.结论得证. 例4 若函数)(x f 在区间[a ，]b 上具有二阶导数，且0)()(='='b f a f ，则在(a ，)b 内至少存在一点η，使)(ηf ''≥2)()
()(4a b a f b f --成立.
证明：因为)(x f 在[a ，]b 上具有二阶导数，所以)(x f 在0x 处一阶泰勒公式成立
20000)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+
-'+=！
ξ )1( 其中ξ在x 与0x 之间，[a x ∈0，]b ，在)1(式中取a x =0，2b a x +=，则有
2122)(2)()()2(⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+''+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+'+=+a b a f a b a a f a f b a f ！ξ，因为0)(='a f ，所以 2122)()()2(⎪⎭
⎫ ⎝⎛-''+=+a b f a f b a f ！ξ，a ＜1ξ＜2b a + )2( 在)2(式中取b x =0，2
b a x +=，又因为0)(='b f ，所以 2222)()()2(⎪⎭
⎫ ⎝⎛-''+=+a b f b f b a f ！ξ，2b a +＜2ξ＜b )3( )3(式减去)2(式并取绝对值得
)()()(81)()(122ξξf f a b a f b f ''-''-=-≤[])()()(8
1122ξξf f a b ''+''- 取{)(Max )(1ξf f ''=''η，})(2ξf ''，(a ∈η，)b ，则
)()(a f b f -≤)()(4
1)(2)(8122ηηf a b f a b ''-=''⋅- 即)(ηf ''≥2)()
()(4a b a f b f -- 证毕.
2.2.3 证明含定积分不等式
例5 设函数)(x f 在区间[a ，]b 上二阶连续可导，且02=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+b a f ，证明 ⎰b
a x x f d )(≤24
)(3a b M -，其中)(max x f M b x a ''=≤≤. 证明： 将)(x f 在2
0b a x +=
处展开，得 20000)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=！ξ，其中ξ是0x 与x 之间的某个值. 因为02=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+b a f ，所以有2000)(2)())(()(x x f x x x f x f -''+-'=！ξ 上式在[a ，]b 作定积分，然后取绝对值
⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-''+-'=
b a b
a x x x f x x x f x x f d )(!2)())((d )(2000ξ ⎰-''=b
a x x x f d ))((21
20ξ≤
320)(24
d )(2a b M x x x M b a -=-⎰
即⎰b
a x x f d )(≤24
)(3a b M - 证毕. 2.3 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计
根据泰勒展开式的余项可以具体地估计出用泰勒公式近似地表示一个函数所产生的误差.由拉格朗日型余项10)1()()!
1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，如果)()1(x f n +≤M ，M 为一定数，则其余项不会超过10)!1(+-+n x x n M .由此可以近似地计算某些数值并估计它们的误差. 正弦函数及其近似多项式)(x P n 1(=n ，3， ，)19通过计算机作出的图象如下图所示，可以看到x sin 与其近似多项式)(x P n 的图形随着n 的增大而变得贴近起来，也就是说，误差)(x R n 随着n 的增大而变小.特别当x 偏离原点较远时，选取阶数较高的麦克劳林多项式)(x P n 来近似表示x sin 时，其精度就较高.
例1 求101的近似值
解： 100
11101100101+=+= 由42732)1(128
5161812111x x x x x x -+-+-+=+θ，(0＜θ＜)1
可得到049875625.10100116110018110012111010132=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
⋅+⋅-⋅+≈ 此时误差⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1001103R R ＜541090625.31001128510-⨯=⋅⋅ 由此可见，精确度很高.
例2 求定积分⎰1
0d sin x x x 的近似值. 解： 该被积函数的原函数不是初等函数，故用牛顿—莱布尼茨公式是无法求出其精确解的.考虑x sin 的泰勒展开，能方便地求出其近似数. 753!
7cos !51!31sin x x x x x x θ-+-
=，(0＜θ＜)1 则 642!
7cos !51!311sin x x x x x x θ-+-=，(0＜θ＜)1 所以⎰⎰-⨯+⨯-=106105310d !
7cos )!551!331(d sin x x x x x x x x x θ 可得⎰≈⨯+⨯-≈109461.0!551!3311d sin x x x 此时误差⎰⎰==1
06106d !7cos d )(x x x x x x R R θ≤⎰⨯=106!771d !71x x ＜5103-⨯. 例3 )1( 计算e 的值，使其误差不超过610-；
)2( 证明数e 为无理数.
解：)1(当1=x 时有)!
1(e !1!31!2111e +++++++=n n θ
(0＜θ＜)1. )(* 故)!1(e )1(+=n R n θ＜)!
1(3+n ，当9=n 时，便有 )1(9R ＜3628800
3!103=＜610-. 从而略去)1(9R 而求得e 的近似值为 718285.2!
91!31!2111e ≈+++++≈ . )2(由)(*式得
1
e )143!!(e !+=+++++-•n n n n n n θ
.
倘若q
p =e （p ，q 为正整数），则当n ＞q 时，e !n 为正整数，从而上式左边为整数.因为1e +n θ＜1e +n ＜1
3+n ，所以当n ≥2时右边为非整数，矛盾.从而e 只能是无理数.
结束语
本文主要介绍了泰勒公式在求极限、不等式的证明、近似计算三方面的应用。

在求极限方面，用泰勒公式求等价无穷小量并且讨论了替换求极限时应取到哪一项。

不等式证明主要从三类不等式入手，用典型的例题加以阐述泰勒公式在这方面的应用。

近似计算应该是泰勒公式最贴近实际的应用了，并能满足很高的精确度。

但并不是所有的近似问题都可以用泰勒公式，它的限制条件比较多，必须是n 阶连续可微函数，如果近似的阶数越小，则求出的误差也就会越大。

由于自己的水平能力有限，虽然已经学习了一些有关方面的知识，但在写论文的过程中还是碰到了许许多多的困难，所写的论文难免有不足之处。

正是有了这些困难，才给自己解决问题的机会，才能锻炼自己的思维，培养自己的能力。

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Taylor formula and its application
Faculty of science Mathematics 082 Chen pei-xian Director: Lu xiao-zhong
Abstract: The Taylor formula is important in mathematical analysis , the theory has become an indispensable mathematical tool by the research function limits and estimation error , embodies the essence of the calculus “approximation method”. Use the Taylor formula can effectively solve some problems , have important applications in various aspects of the calculus . This article will introduce Taylor formula and its applications in three aspects of asks the limit，proof of inequalities and approximate calculation , allowing a deeper understanding in the Taylor formula , understanding the importance of the Taylor formula .
Keyword:Taylor formula Peano remainder Lagrange remainder applications
致谢
本论文自始至终在指导教师卢晓忠老师的亲切关怀和悉心指导下完成的，卢老师严谨的学习与工作态度使我受益匪浅，也感染着每一位他所指导的学生。

在本论文的撰写过程中给与我大量的指导和帮助。

真挚地感谢卢晓忠老师对本论文的精心指导。

同时也感谢家人和同学在学习生活中对我的关怀和支持。