初中数学竞赛专题讲义2

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初中数学竞赛专题:四边形 §10.1 平行四边形与梯形

10.1.1★如图(a),在四边形ABCD 中,AC 、BD 是对角线,已知ABC △是等边三角形,30ADC ∠=︒,3AD =,5BD =,求边CD 的长．

D

A

B

C D

A

B C

E

(a)

(b)

解析 如图(b),以CD 为边向四边形ABCD 外作等边CDE △,连结AE ．由于AC BC =,CD CE =,

BCD BCA ACD ∠=∠+∠DCE ACD =∠+∠ACE ∠．

所以BCD △≌ACE △,从而BD AE =．

又因为30ADC ∠=︒,5BD =,3AD =,于是90ADE ∠=︒,从而在Rt ADE △中

,4DE ==．所以

4CD =．

10.1.2★在ABCD 中,2AB AD =,F 为AB 中点,CE AD ⊥D 交AD (或延长线)于E ．求证:3BFE AEF ∠=∠．

解析 如图,取CD 中点G ,连结FG 、CF ．

A F

B

E D

G

C

易知四边形ADGF 与FGCB 均为菱形,FG 垂直平分CE ,于是EFG ∠CFG CFB =∠=∠,于是

33BFE EFG AEF ∠=∠∠=∠．

10.1.3★AD 、BE 、CF 是ABC △的三条中线,FG BE ∥,EG AB ∥,四边形ADCG 是平行四边形． 解析 如图,连结EF ,则EF 是中位线．

A G

F

E

B D C

由条件知EG BF ∥,故EG AF ∥,于是AG EF CD ∥∥,故结论成立．

10.1.4★延长矩形ABCD 的边CB 到E ,使CE CA =,F 是AE 的中点,求证:BF FD ⊥． 解析 如图,取BD 中点G ,连结FG ,则()11112222

FG AD BE CE CA BD =+===,于是BF FD ⊥．

A

D

B

C

A

D

F

G

E

B

C

题10.1.4

题10.1.5

10.1.5★菱形ABCD 中

,2BD AC -=120BAD ∠=︒,求菱形的面积． 解析 如图,易知ABC △与ACD △均为正三角形．

设菱形边长为x ,则由120BAD ∠=︒,

得BD =,AC x =,

所以

)12x =

x =,因此菱形

面积为212

BD AC x ⋅=

． 10.1.6★在梯形ABCD 中,AD BC ∥,中位线MN 分别交AB 、CD 、AC 、BD 于M 、N 、P 、Q ,若延长AQ 、DP 的交点正好位于BC 上,求

BC

AD

． A

D

M

Q

P

N

B R

C

解析 设AQ 、DP 延长后交于R ,且R 在BC 上,则由中位线知2AD PQ =,2AD PN =,2BC QN =,故

2BC

AD

=． 10.1.7★★四边形ABCD 中,135ABC ∠=︒,120BCD ∠=︒

,AB =

5BC =,6CD =,求AD ． 解析 如图所示,作AF BC ⊥,DE BC ⊥分别交BC 所在直线于F 、E ,作FG AD ∥交DE 于G ,则

AFB △为等腰直角三角形,90AFB ∠=︒

,AB =

故FB AF =；90DEC ∠=︒,60DCE ∠=︒,6CD =,

故3CE =

,DE =．

F B

C

E

A

D

G

所以EF FB BC CE =+

+538==

,

GE DE DG DE AF =-=-==

从而AD FG ==

10.1.8★★★已知ABC △中,90A ∠=︒,D 是BC 上一点,D 关于AB 、AC 的对称点分别为F 、E ,若

BE CF =,1

2

AD BC =

． 解析 如图,连结AF 、AE 、BF 、CE ．

F

A

E

B

D

C

由对称,有22180FAD EAD BAD CAD ∠+∠=∠+∠=︒,故F 、A 、E 共线．

又180BFE FEC ADB ADC ∠+∠=∠+∠=︒,故FB ∥EC ,而BE CF =,所以梯ECBF 为等腰梯形．又

AF AD AE ==,于是11

22

AD EF BC ==．

10.1.9★★将梯形的各个顶点均作关于不包含该顶点的对角线的对称点,证明:如果所得到的四个像点也形成四边形,则必为一个梯形．

B'

C'

A

D

B

C

A'

D'

O

解析 如图,AD BC ∥,A 、B 、C 、D 关于对应对角线的对称点分别为A ′、B ′、C ′、D ′． 设AC 、BD 交于O ,连结A ′O 、B ′O 、C ′O 、D ′O ．则A ∠′OB =AOB COD C ∠=∠=∠′OD ,故A ′、O 、C ′共线,且A O AO C O CO '=',同理B ′、O 、D ′共线,B O D O ''BO DO =,所以由1BO CO

DO AO

=≠

得

1B O C O

D O A O

''=≠''． 故如A ′、B ′、C ′、D ′不位于同一直线上,则A ′D ′∥B ′C ′,即A ′B ′C ′D ′成梯形．

10.1.10★已知:直角梯形ABCD ,AD BC ∥,AB BC ⊥,AB BC =,E 是AB 上一点,AE AD =,75CEB ∠=︒,求ECD ∠．

A

D

E B

C

解析 如图,连结AC ,则由AB BC =,AB BC ⊥,得45BAC DAC ∠=︒=∠． 又AE AD =,故AEC △≌ADC ,EC CD =．

又180754560DEC ∠=︒-︒-︒=︒,故DEC △为正三角形,于是60ECD ∠=︒．

10.1.11★★在四边形ABCD 中,60A ∠=︒,90B D ∠=∠=︒,2AB =,1CD =,求BC 、AD 和BD 的长．

A

C

E

D

解析 如图,延长AD 、BC 至E ,则60DCE ∠=︒,22CE CD ==．