21 章非线性规划

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Ｅｎｄ ｏｆ Ｃｈａｐｔｅｒ ２１
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n
数乘的最优值非唯一性
Z = x1 + y1[ − x2 + (1 − x1 ) 3 ] + y 2 [ 2 − 2 x1 − x2 ] ∂Z 2 = 1 − 3 y ( 1 − x ) − 2 y2 ≤ 0, x1 ≥ 0 1 1 ∂x 1 ∂Z ∂x = − y1 − y2 ≤ 0, x1 ≥ 0 2 ∂Z = − x + (1 − x ) 3 ≥ 0, y ≥ 0 2 1 1 ∂y1 ∂Z = 2 − 2 x − x ≥ 0, y ≥ 0 1 2 2 ∂y2
i =1 m
max : π = f ( x1 , x2 , L , xn ) s.t. g 1 ( x1 , x2 , L, xn ) ≤ r1 g 2 ( x1 , x2 ,L , xn ) ≤ r2 L g m ( x1 , x2 , L, xn ) ≤ rm x≥0
m ∂Z j = f − y g ∑ i j i ≤ 0, xi ≥ 0 ∂x j =1 i ∂Z =0 xi ∂ x i ∂Z = r − g i ≥ 0, y ≥ 0 i i ∂yi y ∂Z = 0 i ∂yi
•Ｆｊ（ｘ＊）＞０
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Arrow-Enthoven Theorem
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Arrow-Enthoven Theorem –cnt.
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Arrow-Enthoven Theorem –cnt.
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21.6 经济应用 – 最大效用问题
n
问题
max : U = U ( x1 , L , xn ) s.t. P 1 x1 + L + P n xn ≤ B x1 , L , xn ≥ 0
n
分析 •约束函数是线性的／规范 Z = U ( x1 ,L, xn ) + y[ B − ( P1 x1 + L + Pn xn )]
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21.6 经济应用 –计算方法
n
Ｋｕｈｎ－Ｔｕｃｋｅｒ条件
Suppose that R = 32Q − Q 2 and C = Q 2 + 8Q + 4 and π 0 = 18 then max : R = 32Q − Q 2 − π = −{[32Q − Q 2 ] − [Q 2 + 8Q + 4]} ≤ −π 0 s.t. Q ≥ 0 Lagrange Function : Z = [32Q − Q 2 ] + y{−π 0 + [32Q − Q 2 ] − [Q 2 + 8Q + 4]} ∂Z ∂Q = 32 − 2Q − y (4Q − 24) ≤ 0 K − TConditions ∂Z = −2Q 2 + 24Q − 22 ≥ 0 ∂y
n
经济问题（非线性） •时间关联性／趋势 •长期短期记忆性质
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２１．１ 非线性规划的性质 － 续
n
古典优化
2 max : π = f ( x1 , x2 , L , xn ) + ( s12 + L + sm )
s.t. g 1 ( x1 , x2 , L , xn ) + s12 = r1
n
模型
max : π = f ( x ), x ∈ R n s.t. g i ( x) ≤ ri , i = 1,2, L , m x≥0
n
充分性定理 •在非负正交划分体中，目标函数ｆ（）可微且拟凹 •在非负正交划分体中，约束函数ｇｉ（）可微且拟凸 •Ｘ＊满足Ｋｕｈｎ－Ｔｕｃｋｅｒ极大条件
•满足下列任一条件
n
约束函数 •绿色 stFun1 = 6 − 2 x1 − 3x2 •兰色 stFun2 = −12 + 3x1 + 2 x2 可行集
8
6
n
4
2
0
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0
2
4
6
8
２１．３ 约束规范 –续
n
示例
x2 − (1 − x1 )3 ≤ 0 ( x1 , x2 ) = (1,0) max : π = x1 s.t. 2 x1 + x2 ≤ 2 ⇒ π * = 1 x , x ≥ 0 1 2
n
图释
n
Ｋ－Ｔ条件
f i ≤ 0, xi ≥ 0 xi f i = 0
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２１．２ Ｋｕｈｎ－Ｔｕｃｋｅｒ 条件 － 不等式约束条件
n
不等式约束
Ｋ－Ｔ条件（充分）
Z = f ( x1 , x2 , L , xn ) + ∑ yi [ri − g i ( x1 , x2 , L , xn )]
第21章 非线性规划
• 动态经济学 • 数学规划
– 目标函数 – 约束条件
• 内容 • 非线性规划的性质 • 经济学中的非线性问题 • 库恩－塔克条件 • 约束规范 • 库恩-塔克充分性定理 - 凹规划 • 阿罗-恩索文充分性定理 –拟凹规划 • 经济运用实例
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∂Z & & & ∂Q = R (Q) − y[C (Q) + R (Q)] ≤ 0 (1) ∂Z = −π − C (Q) + R (Q ) ≥ 0 (2) 0 ∂y & (Q) = On the Eq(1), R & (Q) if y > 0 & (Q) ≤ C R y & C (Q), 1+ y
min : C = PK K + PL L) s.t. K α Lβ ≥ Q0 > 0 K, L ≥ 0
n
分析 •目标函数是线性的（凸） •约束函数是拟凹函数 •约束函数满足规范条件 •约束函数的偏导数为正
Z = PK K + PL L + y[Q0 − K α Lβ ] ∂Z α −1 β = − P y α K L ≥0 K ∂K ∂Z = PK − yβ K α Lβ −1 ≥ 0 ∂K ∂Z α β = [ Q − K L ]≤0 0 ∂y
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示例 –图解 –轮廓线
n
目标函数 •红色 －
objFun = ( x1 − 4) 4 + ( x2 − 4) 4
min : C = ( x1 − 4) 4 + ( x2 − 4) 4 s.t. 2 x1 − 3 x2 ≥ 6 − 3 x1 − 2 x2 ≥ −12 x1 , x2 ≥ 0
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２１．２ Ｋｕｈｎ－Ｔｕｃｋｅｒ条件
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２１．２ Ｋｕｈｎ－Ｔｕｃｋｅｒ 条件 –经济解释
n
解释 （资源利用） •边Leabharlann Baidu利润 •影子价格 •边际产品的资源利用量 •边际投入成本
– 产品的资源边际投入成本 – 产品的总边际投入成本
２１．１ 非线性规划的性质
n
模型表示
max : π = f ( x1 , x2 , L , xn ) s.t. g 1 ( x1 , x2 , L , xn ) ≤ r1 g 2 ( x1 , x2 , L , xn ) ≤ r2 L g m ( x1 , x2 , L , xn ) ≤ rm x≥0
n
计算方法
n置选择变量为零 n求解方程
如果变量太多 ， 过程无法实施
n检验Ｋ－Ｔ条件 © ２００４ Ｍｉｎｇ－Ｈｅｎｇ／ＩＴＱｕａｎｔ™
２１．７ 数学规划的局限性
n
数学规划局限性 •变量的连续假设 •优化解是静态的 动态优化方法 Ø 变分法 Ø 最优控制理论 Ø 动态规划
n
n
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
) ( x1 , x2 ; y1 , y2 ) = (1,0;1, 1 2 π * = 1
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２１．４ Ｋｕｈｎ－Ｔｕｋｅｒ必要条件
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２１．４ Ｋｕｈｎ－Ｔｕｋｅｒ充分条件
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２１．４ Ｋｕｈｎ－Ｔｕｋｅｒ充分性定理 –凹规划
n
充分条件 •目标函数在非负的正交划分体中可微，且为凹函数 •每个约束函数在非负的正交划分体中可微，且微凸 函数 •点满足Ｋｕｈｎ－Ｔｕｃｋｅｒ极大化条件
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２１．５ Ａｒｒｏｗ－Ｅｎｔｈｏｖｅｎ充分性定理 –拟凹规划
f i ( x1 , x2 , L.xn ) = yi
df dxi
dg i g ( x1 , x2 , L.xn ) = dx j
i j
yi g ij
∑yg
i =1 i
m
i j
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２１．３ 约束规范
n
示例
x2 − (1 − x1 )3 ≤ 0 ( x1 , x2 ) = (1,0) max : π = x1 s.t. ⇒ π * = 1 x1 , x2 ≥ 0
•目标函数是拟凹的 •目标函数是递增的
∂Z ∂x = U i − y1 Pi ≤ 0 i ∂Z = B − ( P x + L + P x ) ≥ 0 1 1 n n y ∂ 1
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21.6 经济应用 – 最小成本组合
n
问题
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21.6 经济应用 – 销售利润最大化
n
问题
max : R = R(Q) ≥ π 0 s.t. π = R (Q ) − C (Q) ≥ π 0 Q≥0
Z = R (Q) + y[−π 0 − C (Q ) + R(Q)]
n
分析 Ø收益函数Ｒ（）可微且凹的 Ø费用函数Ｃ（）可微且凸的 Ø约束函数Ｃ（）－Ｒ（） 可微且凸的
Z = x1 + y1[ x2 − (1 − x1 )3 ] ∂Z 2 = 1 − 3 y ( 1 − x ) ≤ 0, x1 ≥ 0 1 1 ∂x 1 ∂Z = (1 − x )3 ≥ 0, y ≥ 0 1 1 ∂ y 1
n
最优解的Ｋ－Ｔ条件失效
• 歧点
∂Z = 1 − 3 y1 (1 − 1) 2 = 1 ≠ 0, x1 ≥ 0 ∂x1
2 g 2 ( x1 , x2 , L , xn ) + s2 = r2
L
2 g m ( x1 , x2 , L , xn ) + sm = rm
x≥0
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２１．２ Ｋｕｈｎ－Ｔｕｃｋｅｒ 条件 － 非负限制
n
仅有非负限制
max : π = f ( x1 , x2 , L , xn ) s.t. x≥0