频率特性及其图示法剖析

Qs
Qs
Qs
h1 T1 Qs
h2 Q出
t
T2
h3 T3
Q出
Q出
hss h3
h2 h1
t
Qs
Qs
Qs
h1 T1 Qs
h2 Q出
t
T2
h3 T3
Q出
Q出
hss h3
h2 h1
t
对输出波形从物理意义上进行分析。
截面积小的水槽对输入信号响应快，稳定后，液位 波动的量大； 截面积大的水槽对输入响应慢，稳定后，液位波动 的量小; 截面积的大小反映的是系统动态参数－时间常数的 大小。
1 T 2 2 e j2 2 j
式中：1 arctgT , 2 1 arctg(T )
整理可得：
KA
j( t )
j( t )
y e e
T ss
1
2
2
2j
2 j
KA
1 T 2 2
sin(
t
2)
B sin(t
2 )
注：欧拉公式：
sin e j e j
2j
t 2
Qs
Qs
Qs
h1 T1 Qs
h2 Q出
t
T2
h3 T3
Q出
Q出
hss h3
h2 h1
t
当对不同系统施加相同信号时，由于它们的动态特 性不同，其稳态响应差异也很大; 频率特性虽然是从系 统的稳态输出求出的，但却反映了系统的动态特性。 频率响应是在强制振荡输入信号作用下的输出响应， 此时系统进入稳定状态，但并没有进入静止状态，输 出仍在稳定的等幅振荡之中，系统的动态特性对变化 的信号必然有影响。
r=Asinωt
K Ts 1
Yss
KA
1 T 2 2
sin(
t
2)
稳态输出仍是一个正弦信号，输出幅值和相位发生 了变化，角频率ω没变。
稳态输出与输入 r Asint 比较可得：
幅值比 B
K
A 1 T 22
相位差 2 arctg(T )
A
B
2
它们都是ω和系统特征参数的函数。
考
察
第五章 频率特性分析方法
频率特性分析方法的主要特点：
1、是一种几何图解的近似方法，适于工程应用。 2、是频域的分析方法，系统或环节的动态特性 用频率特性表示。 3、它不仅适用于线性定常系统，还可以推广应用 于某些非线性系统。 4、系统或环节的频率特性容易通过实验获得。
本章主要内容：
1、频率特性的定义； 2、研究频率特性的物理意义； 3、频率特性的几种图示方法；
KA
KA
a
(Ts 1)(s
j)(s
(s j)
j) s j
(1
jT) 2 j
a
KA (Ts 1)(s j )(s
(s
j )
j )
s j
(1
KA jT) 2
j
y e e ∴
KA
jt
KA
jt
ss (1 jT ) 2 j
(1 jT ) 2 j
KA
e jt
KA
e jt
1 T 2 2 e j1 2 j
G( s )
G( jω)
以一阶环节为例，G(s) K Ts 1
当输入 r Asint时，输出的幅值比：B
A
K 1 2T 2
相位差： arctg(T )
传递函数直接变换后，
G( j ) K
K
K
e j2
jT 1 1 T 22 e j1
1 T 22
其中，1 arctgT，2 1 arctg(T ) arctgT
5.1.1.3 频率特性的获取
三种方法：
1 解析法 — 如前例一阶系统，输入正弦信号，求 时域解y(t)， t →∞，求yss，与输入之比； 2 直接由传递函数得知； 3 由实验测取。
（1）已知系统传递函数，求频率特性
对于线性定常系统，将传递函数中的变量s 用jω代替，就得到了频率特性G( jω)。
A是幅值，ω是角频率.
稳态响应
，是频率的函数。
利用频率特性研究的系统必须是稳定的系统。
一阶线性系统
r=Asinωt
K
R(s)
Ts 1
Y(s)
当输入
r Asint时， R(s)
A s2 2
Y (s) G(s)R(s)
K A Ts 1 s2 2
K
A
b a a
Ts 1 (s j )(s j ) Ts 1 s j s j
▪极坐标图√ ▪对数坐标图（伯徳图） Bode √ ▪对数幅相图（尼柯尔斯图）Nichols
4、利用频率特性方法分析和设计控制系统
5.1 频率特性及其图示法
5.1.1 频率特性 5.1.1.1 频率特性的定义
系统或环节对正弦输入信号的稳态响应与输入函数 之比为频率特性。
r=Asinωt
y(t)
G(s)
其函数关系统称为频率特性。
B A
∽
ω
的关系称为幅频特性。
Φ ∽ ω 的关系称为相频特性。
频率特性
3、频率特性与系统（环节）的动态特性有关，例
T、k。可以推论，尽管频率特性是从系统的稳
态响应中得到的，却反映出系统的动态特性，
是描述动态特性的一种方法。
5.1.1.2 物理意义
三个截面不同的水槽，时间常数T1>T2>T3， 在输入的流量调节阀上安装超低频信号发生器，使 输入信号Qs做正弦变化，如图所示，观察系统输 出液位h的变化：
幅
值 比
r=sinωt
1
R(s)
0.5s 1 Y(s)
ω=0.2π ω=1π
ω=5π
考
ω=0.2π
察
相
位
差
ω=1π
ω=5π
结论 推广到一般，得出以下
：
wk.baidu.com
1、对稳定的线性系统作用正弦信号，其稳态输出
仍是一正弦函数，频率不变，幅值和相位发生变化。
2、幅值比 B 和相位差Φ都是输入信号频率ω的函数，
A
b/T a a s 1 / T s j s j
b/T
a
a
K A
Y(s)
s 1/T
s
j
s
j
Ts 1
s2
2
经拉氏反变换，有： y(t )
b
t
eT
ae jt
ae jt
T
y 频率特性是研究系统稳态响应的， ae jt ae jt ss
其中 a, a 可以按复变函数中求系数的留数方法求得：
G( j) 为频率特性，是一复数，模 K 为系统频率特性
1 T 22
的幅值比
B A
，其相角 2 为系统频率特性的相位差。
推广到一般的情况，对于任何线性定常系统，只 要将传递函数中的变量s用jω代替，便得到了系统的 频率特性。
G( jω)用复数表示： G( j ) G( j ) e j[G( j )]
模 G( j) 为系统的幅频特性 B () ,
A
其相角 [G( j)] 为系统的相频特性 () 。
证： 系统的传递函数： G( j ) G( j ) e j[G( j )]
G(s)
m
K (s zi )
i 1
q
r
(s pj ) [(s k k ]
j1
k 1
p j, j 1,..q