证明线段相等的10种方法

※．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，且BD ＝CE ，连DE 交BC 于F ，求证：DF ＝EF 。

［证法1］过D 作DG ∥AC 交BC 于G 。

∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠。

∵DG ∥AC ，∴DGB ∠＝ACB ∠，∴ABC ∠＝DGB ∠，∴BD ＝DG ， 又BD ＝CE ，∴BD ＝CE 。

∵DG ∥AC ，∴FDG ∠＝FEC ∠、FGD ∠＝FCE ∠，而BD ＝CE ，
∴DFG ∆≌EFC ∆，∴DF ＝EF 。

［证法2］过D 作DG ∥AC 交BC 于G 。

∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠。

∵DG ∥AC ，∴DGB ∠＝ACB ∠，∴ABC ∠＝DGB ∠，∴BD ＝DG ，
又BD ＝CE ，∴DG ＝CE ，而DG ∥CE ，∴四边形DGEC 是平行四边形，∴DF ＝EF 。

［证法3］过E 作EH ∥BD 交BC 的延长线于H 。

∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠＝ECH ∠。

∵EH ∥BD ，∴ABC ∠＝EHC ∠，∴ECH ∠＝EHF ∠，∴CE ＝EH ， 又BD ＝CE ，∴BD ＝EH 。

∵EH ∥BD ，∴DBF ∠＝EHF ∠、BDF ∠＝HEF ∠，而BD ＝EH ，
∴BDF ∆≌HEF ∆，∴DF ＝EF 。

［证法4］过E 作EH ∥BD 交BC 的延长线于H 。

∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠＝ECH ∠。

∵EH ∥BD ，∴ABC ∠＝EHC ∠，∴ECH ∠＝EHF ∠，∴CE ＝EH ，
又BD ＝CE ，∴BD ＝EH ，而BD ∥EH ，∴四边形BDHE 是平行四边形，∴DF ＝EF 。

［证法5］过D 作DJ ∥BC 交AC 于J 。

∵DJ ∥BC ，∴
AB BD ＝AC CJ
，而AB ＝AC ，∴BD ＝CJ ，又BD ＝CE ， ∴CJ ＝CE 。

由DJ ∥BC 、CJ ＝CE ，得：DF ＝EF 。

［证法6］显然有BFD ∠＝CFE ∠，又BD ＝CE ，∴
sin BD BFD ∠＝sin CE
CFE
∠。

由正弦定理，有：sin BD BFD ∠＝sin DF DBF ∠、sin CE CFE ∠＝sin EF
ECF
∠，
∴sin DF DBF ∠＝sin EF ECF
∠。

∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠，∴sin DBF ∠＝sin ECF ∠，∴DF ＝EF 。

［证法7］过E 作EK ∥CB 交AB 的延长线于K 。

∵EK ∥CB ，∴
AB BK ＝AC
CE
，而AB ＝AC ，∴BK ＝CE ，又BD ＝CE ， ∴BD ＝BK 。

由EK ∥FB 、BD ＝BK ，得：DF ＝EF 。

A B C D E G
F
A
B C
D E
F
H A
B
C
D E
F
J A
B C
D E
K
F
［证法8］∵BD ＝CE 、BFD ∠＝CFE ∠， ∴BDF ∆的外接圆、CEF ∆的外接圆是等圆。

∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠，∴DCF ∠、ECF ∠互补。

∵BDF ∆的外接圆、CEF ∆的外接圆是等圆，且DCF ∠、ECF ∠互补， ∴DF ＝EF 。

［证法9］显然，BC 与ADE ∆中AD 的延长线、DE 、AE 依次相交于B 、F 、C ， ∴根据梅涅劳斯定理，有：AB DF CE
BD EF AC
⋅⋅
＝1，而AB ＝AC 、BD ＝CE ， ∴DF
EF
＝1，∴DF ＝EF 。

［证法10］以BC 所在直线为x 轴、BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，使A 落在y 轴半轴上。

∵AB ＝AC ，∴B 、C 关于y 轴对称，∴可令A 、B 、C 的坐标依次为(),0a -、()0,b 、(),0a 。

设AB ＝AC ＝m 、BD ＝CE ＝n ，则有：BD AD ＝n m n -、CE AC ＝n
m 。

由定比分点坐标公式，得：D 的纵坐标＝
01n b
m n n m n
+⋅-+
-＝nb m 。

设E 的纵坐标为t ，则由定比分点坐标公式，有：C 的纵坐标＝
1n t b
m n m
+⋅+＝0，∴t ＝－nb m 。

∵D 、E 的纵坐标分别是nb m 、－nb m ，∴由中点坐标公式，得：DE 的中点纵坐标＝2
n n b b
m m -＝0， ∴DE 的中点在x 轴上，而DE 与x 轴相交于F ，∴DF ＝EF 。

A
B
C
D
E
F。