第二讲-流动基本方程

第二章 基本流动方程

本项目研究需要计算进气道内外流耦合的复杂三维粘性流动，采用的流场控制方程为三维的Navier-Stokes 方程组，它是连续方程、动量方程、能量方程的联立方程组。本章给出了积分形式和微分形式的N-S 方程组，以及在有限体积法离散中需使用的坐标转换后N-S 方程组，另外还给出了湍流计算使用的平均化后的湍流N-S 方程。

§2.1 积分形式N-S 方程组

在直角坐标系下，忽略重力做功和辐射传热的积分形式N-S 方程组可写为如下的矢量形式：

质量守恒方程

⎰⎰⎰⎰⎰=⋅+∂∂s

ds n v d t 0

ρνρν （2-1） 动量守恒方程

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⋅-+⋅+∂∂s s

s ds n ds n p ds n v v p d t v 0ˆ)()(τνρν

（2-2） 能量守恒方程

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⋅+⋅-⋅+⋅+∂∂s s

s s ds q n ds n v ds n v p ds n v E d t E 0)ˆ()()()(

τρνρν （2-3） 这是一个关于时间的双曲型方程组，其中E 代表总比能（内能和动能之和）；q

为能量流矢量（energy flux vector ），这里假定能量流矢量仅仅表达分子能量的运输，它可以用Fourier 定律来描述，即

T grad K q ⋅-=

（2-4）

K 为热传导系数，根据Prandtl 数：K

C p μ

⋅=Pr 为常数，及Sutherland 公式：

T

T T

K K f +⨯

=02

30来确定，其中0K 和 0f T 是与流体有关的常数，详见表2-1。

对于理想气体，总比能可表述为下述张量缩并的形式：

()2

12i i i i u u p

u u e E +-=+

=γρ 并且总焓为：

ρ

p

E H +=

这里ｅ代表内能，Ｈ为总焓，γ为比热比。

方程（2-2）中τ

是粘性应力张量（viscous stress tensor ），对于牛顿流体，假定

应力张量τˆ随着变形率张量S

ˆ连续变化（Stokes 假设） )(3

2ˆ2ˆV S

⋅∇-=μμτ （2-5）

变形率张量S

ˆ表为 ⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣

⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=z w

y

w z v x w z u y w z v y v x v y u x w z u x

v y u x u S

)(21)(21)(21)(21)(21)(21ˆ μ为粘性系数，层流的粘性系数与压力的关系可以忽略不计，于是可采用Sutherland 公式 T

T T

+⨯

=02

3

0μμ，其中0μ和 0T 是与流体有关的常数，详见表2-1。

§2.2 微分形式N-S 方程组

在直角坐标系下，忽略重力做功和辐射传热的微分形式N-S 方程组可以按守恒型变量写为如下的矢量形式：

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂u t x y z x y z

+++=++

f g h a b c

（2-6） 其中，u 是守恒变量，f 、g 、h 是对流通量，a 、b 、c 粘性通量，它们的表达

式为：

u f g h =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=+⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=+⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=+⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρu v w E u u p vu w u uH v uv v p w v vH w uw vw w p w H ,,,,22

2

a b =++-⎡⎣⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=++-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎥00σσσσσσσσσσσσxx yx zx xx yx zx x xy yy zy xy yy zy y z u v w q u v w q ,, c =++-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎥0σσσσσσxz yz zz xz yz zz z u v w q （2-7）

粘性通量中，应力和热流量的表达式为：

σμ∂∂∂∂∂∂xx u x v y w z =--232() σμ∂∂∂∂∂∂yy v y u x w z

=--2

32()

σμ∂∂∂∂∂∂z z w z u x v y =--2

32() σσμ∂∂∂∂xy yx v x u y

==+()

σσμ∂∂∂∂yz z y w y v z ==+(

) σσμ∂∂∂∂z x xz u z w

x

==+() x T K q x ∂∂= y T K q y ∂∂= z

T

K q z ∂∂= （2-8） 上述公式中，t 是时间，x ， y ， z 是空间坐标，ρ是密度，u v w ,,是三个坐标方向的速度分量，E 是单位质量气体的总能，p 是压强，T 是温度，μ为粘性系数，K 为热传导系数。对于量热完全气体，可给出下述形式的气体状态方程：

p E u v =--+()[()]γρ11

2

22 （2-9）

§2.3 方程坐标变换

N-S 方程组可以从笛卡尔坐标系转换到任意曲线坐标系下，其中

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨

⎧====)

,,,(),,,(),,,(t z y x t z y x t z y x t

t ςςηηξξ （2-10） 这里介绍的坐标变换是由Viviand [1]和Vinokur [2]发展的，变换的选取是如此进行，以便使曲线空间网格间隔是均匀的，且为单位长度。这将导致计算域ξ、η 和ζ为矩形域且为均匀的规则网格。所以在数值计算式中标准的非加权差分格式可以应用。原笛卡尔空间将被称为物理域，在物理域的点与计算域中的点将形成一一对应的关系（奇异点例外）。在奇异点区域，通常是一个物理点对应许多个计算点（这通常出现在计算边界上）。

按式（2-10）进行变换，对于某变量F ，有： ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ςηξςηξςηξςηξF F F F F F z z z y y y x x x z y x 令上式的变换矩阵为J ，则其行列式称为雅可比行列式，记作：

),,()

,,(z y x J ∂ζηξ∂=

则有ςηξςηξ)1

()1()1(1x x x x F J F J F J F J ++=

ςηξςηξ)1

()1()1(1y y y y F J F J F J F J ++=

ςηξςηξ)1

()1()1(1z z z z F J F J F J F J ++=

变换后得守恒型N-S 方程：