无理不等式的解法课件
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高中数学课件根式不等式的解法优选文档PPT
根式不等式的解法-------
f (x) g(x) com/tmxk_docin ；
根式不等式的解法-------
例2 解不等式 x27 2x30 解：原不等式可化为 x272x3
根据根式的意义及不等式的性质，得
x27 0 x2 2 x7 3 (x 03)2...1 ( )或 2 xx 237 0 0...2 ()
根式不等式的解法-------
例1 解不等式 3x4 x30 解：原不等式可化为 3x4 x3
根据根式的意义及不等式的性质，得
3x 4 0
x3 0
3 x 4 x 3
解这个不等式组，得
x
|
x
4
3
x|x3 x
|
x
1
2
x|x3
1⊙
⊙
4
23
所以，原不等式的解集为
●
3
x| x3
根式不等式的解法-------类型（1）
f (x)0
2.
f(x) g(x)
f
(xg)(x)[g(0x)]2或gf ((xx))
0 0
f (x) 0
3. 4.
f(x) g(x)
(1) f(x)•g(x)0
g(x
fg((xx) )
f (x)
)0 [g(x
0 0
)]
2
(2) f(x)•g(x)0 gf((xx))00或f(x)0
解这个不等式组（1），得
解这 个x |不x 等 式2 组 （7 2x ）|x ， 得2 3 x ●2|7 2 x 2 9 ● 23 x |2 3 9 x 9
所x 以|，x 原 不2等 7 式 的x|解x 集2 3 为 x |●2 72 7 x 2 3 3 2 x| 2 7x2 3 x|2 3x 9 x| 2 7x9
f (x) g(x) com/tmxk_docin ；
根式不等式的解法-------
例2 解不等式 x27 2x30 解：原不等式可化为 x272x3
根据根式的意义及不等式的性质，得
x27 0 x2 2 x7 3 (x 03)2...1 ( )或 2 xx 237 0 0...2 ()
根式不等式的解法-------
例1 解不等式 3x4 x30 解：原不等式可化为 3x4 x3
根据根式的意义及不等式的性质，得
3x 4 0
x3 0
3 x 4 x 3
解这个不等式组，得
x
|
x
4
3
x|x3 x
|
x
1
2
x|x3
1⊙
⊙
4
23
所以，原不等式的解集为
●
3
x| x3
根式不等式的解法-------类型（1）
f (x)0
2.
f(x) g(x)
f
(xg)(x)[g(0x)]2或gf ((xx))
0 0
f (x) 0
3. 4.
f(x) g(x)
(1) f(x)•g(x)0
g(x
fg((xx) )
f (x)
)0 [g(x
0 0
)]
2
(2) f(x)•g(x)0 gf((xx))00或f(x)0
解这个不等式组（1），得
解这 个x |不x 等 式2 组 （7 2x ）|x ， 得2 3 x ●2|7 2 x 2 9 ● 23 x |2 3 9 x 9
所x 以|，x 原 不2等 7 式 的x|解x 集2 3 为 x |●2 72 7 x 2 3 3 2 x| 2 7x2 3 x|2 3x 9 x| 2 7x9
2021年中考数学复习第8讲 不等式(组)的解法及不等式的应用(教学课件)
由①得，x≥－3， 由②得，x＜2， 不等式组的解集是－3≤x＜2， 它的整数解为：－3，－2，－1，0，1， 所以，所有整数解的和为－5.
重点题型
1．(2020·吉林)不等式3x＋1＞7的解集为
3x－2＜x，① 2．(2020·湖州)解不等式组13x＜－2.②
x＞2
3x－2＜x，① 解：13x＜－2.② 解①得 x＜1； 解②得 x＜－6. 所以，不等式组的解集为 x＜－6.
(1)求这两种书的单价；
(2)若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半 ，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案 ？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
重点题型
题题组组训训练练
解：(1)购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；
(2)设购买《北上》的数量 n 本，则购买《牵风记》的 数量为(50－n)本，
题题组组训训练练
．
重重点点题题型型
题 型 二 应用一元一次不等式(组)解决问题
题组训练
例3.(2020·哈尔滨)昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种 地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买 2个大地球仪和1个小地球仪需用132元． (1)求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元？ (2)昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960 元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？
精讲释疑
重重点点题题型型
题组训练
题 型 一 解一元一次不等式(组)
例1.(2020·嘉兴)不等式3(1－x)＞2－4x的解在数轴上表示正确的 是( A )
重重点点题题型型
题组训练
4（x＋1）≤7x＋13，
例 2.(2020·枣庄)解不等式组x－4＜x－3 8，
重点题型
1．(2020·吉林)不等式3x＋1＞7的解集为
3x－2＜x，① 2．(2020·湖州)解不等式组13x＜－2.②
x＞2
3x－2＜x，① 解：13x＜－2.② 解①得 x＜1； 解②得 x＜－6. 所以，不等式组的解集为 x＜－6.
(1)求这两种书的单价；
(2)若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半 ，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案 ？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
重点题型
题题组组训训练练
解：(1)购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；
(2)设购买《北上》的数量 n 本，则购买《牵风记》的 数量为(50－n)本，
题题组组训训练练
．
重重点点题题型型
题 型 二 应用一元一次不等式(组)解决问题
题组训练
例3.(2020·哈尔滨)昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种 地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买 2个大地球仪和1个小地球仪需用132元． (1)求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元？ (2)昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960 元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？
精讲释疑
重重点点题题型型
题组训练
题 型 一 解一元一次不等式(组)
例1.(2020·嘉兴)不等式3(1－x)＞2－4x的解在数轴上表示正确的 是( A )
重重点点题题型型
题组训练
4（x＋1）≤7x＋13，
例 2.(2020·枣庄)解不等式组x－4＜x－3 8，
高考数学总复习 71 不等式的性质及解法课件 新人教B
答案：C
(文)(2011·淄博统考)若 a＞0，b＞0，则不等式－b<1x
<a 等价于( )
A．－1b<x<0
或
1 0<x<a
B．－1a<x<b1
C．x<－1a或
1 x>b
D．x<－1b或
1 x>a
解析：由题意知 a>0，b>0，x≠0， (1)当 x>0 时，－b<1x<a⇔x>1a； (2)当 x<0 时，－b<1x<a⇔x<－b1. 综上所述，不等式－b<1x<a⇔x<－b1或 x>1a，故选 D.
答案：D
数的大小比较
[例 2] (1)若 x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－ y2)(x＋y)的大小；
(2)设 a>0，b>0 且 a≠b，试比较 aabb 与 abba 的大小．
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
(文)(2011·淄博统考)若 a＞0，b＞0，则不等式－b<1x
<a 等价于( )
A．－1b<x<0
或
1 0<x<a
B．－1a<x<b1
C．x<－1a或
1 x>b
D．x<－1b或
1 x>a
解析：由题意知 a>0，b>0，x≠0， (1)当 x>0 时，－b<1x<a⇔x>1a； (2)当 x<0 时，－b<1x<a⇔x<－b1. 综上所述，不等式－b<1x<a⇔x<－b1或 x>1a，故选 D.
答案：D
数的大小比较
[例 2] (1)若 x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－ y2)(x＋y)的大小；
(2)设 a>0，b>0 且 a≠b，试比较 aabb 与 abba 的大小．
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
浙教版初中数学八年级上册 3.2 不等式的基本性质 课件 优秀课件PPT
(1)去分母 (2)去括号 (3)移项 (4)合并 (5)系数化为1
想想一元一次不等式怎样解。
例1 利用不等式的性质解下列不等式：
(1) x – 7 ＞ 26
解：
移项得：x＞ 7 + 26
合并得： x＞ 33
这个不等式的解集在数轴上表示如图：
。
x ＞ a o 33
例1 利用不等式的性质解下列不等式：
1a7<__ _7_（不b等式性质1）
2 a _<___b
55
（不等式性质2）
33a_>__ 3b_ （不等式性质3）
40•a_=_0 _•b __
例1 利用不等式的性质解下列不等式：
(1) x – 7 ＞ 26
分析：解未知数为x的不等式，就是要使不
等式逐步化为 x＞a 或 x＜a 的形式。
类似于一元一次方程的解法，
不等式的性质1
引入
1.不等式 x +3>6 解集是_x__>_3__.
不等式 2x <8 的解集是__x__<_4__。
2.你能直接想出不等式 5x12的解x集5吗？
6
4
复习
等式的性质1： 等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。
如果 a = b，那么 a ± c = b ± c
等式的性质2:
2.两边乘以(或除以)同 2.不等式两边乘以(或
一个数(除数不为0),结 除以)同一个正数,不等
果仍相等.
号方向不变.
3.不等式两边乘以或
系数化为１ 除以同一个负数,不等
号方向改变.
1.用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题
后
括号内填写理由.
(1)∵a＞＞b 不等式基
想想一元一次不等式怎样解。
例1 利用不等式的性质解下列不等式：
(1) x – 7 ＞ 26
解：
移项得：x＞ 7 + 26
合并得： x＞ 33
这个不等式的解集在数轴上表示如图：
。
x ＞ a o 33
例1 利用不等式的性质解下列不等式：
1a7<__ _7_（不b等式性质1）
2 a _<___b
55
（不等式性质2）
33a_>__ 3b_ （不等式性质3）
40•a_=_0 _•b __
例1 利用不等式的性质解下列不等式：
(1) x – 7 ＞ 26
分析：解未知数为x的不等式，就是要使不
等式逐步化为 x＞a 或 x＜a 的形式。
类似于一元一次方程的解法，
不等式的性质1
引入
1.不等式 x +3>6 解集是_x__>_3__.
不等式 2x <8 的解集是__x__<_4__。
2.你能直接想出不等式 5x12的解x集5吗？
6
4
复习
等式的性质1： 等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。
如果 a = b，那么 a ± c = b ± c
等式的性质2:
2.两边乘以(或除以)同 2.不等式两边乘以(或
一个数(除数不为0),结 除以)同一个正数,不等
果仍相等.
号方向不变.
3.不等式两边乘以或
系数化为１ 除以同一个负数,不等
号方向改变.
1.用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题
后
括号内填写理由.
(1)∵a＞＞b 不等式基
2021_2022学年新教材高中数学2.2.2不等式的解集课件新人教B版必修第一册
熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解
答此类问题的关键.
延伸探究求出例1(1)中所有整数解.
解 因为不等式组的解集为{x|-1<x<2},所以其整数解为0,1.
探究二
解绝对值不等式
解绝对值不等式
例2解不等式3≤|x-2|<4.
分析此题的不等式属于绝对值的连不等式,求解时可将其化为绝对值的不
(-1)(+1)
1
时,
<0,∴a<
.
当 a>1
(-1)(+1)
1
时,
>0,a> .
2 -1
=
(-1)(+1)
,当
a=±1
综上,当 a=0 时,无法比较大小,当 a=±1
-1<a<0 或 a>1
1
时,a= ,当
a<-1 或 0<a<1
1
时,a< ,当
1
时,a> .
1
的距离之和均大于8.∴原不等式的解集为(-∞,-4)∪(4,+∞).
探究三
数轴上的基本公式及应用
例4已知数轴上的三点A,B,P的坐标分别为A(-1),B(3),P(x).
(1)点P到A,B两点的距离都是2时,求P(x),此时P与线段AB是什么关系?
(2)在线段AB上是否存在一点P(x),使得P到A和B的距离都是3?若存在,求
距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|≤c(c>0)或|x-a|-|x-b|≥c(c>0)
的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观.
答此类问题的关键.
延伸探究求出例1(1)中所有整数解.
解 因为不等式组的解集为{x|-1<x<2},所以其整数解为0,1.
探究二
解绝对值不等式
解绝对值不等式
例2解不等式3≤|x-2|<4.
分析此题的不等式属于绝对值的连不等式,求解时可将其化为绝对值的不
(-1)(+1)
1
时,
<0,∴a<
.
当 a>1
(-1)(+1)
1
时,
>0,a> .
2 -1
=
(-1)(+1)
,当
a=±1
综上,当 a=0 时,无法比较大小,当 a=±1
-1<a<0 或 a>1
1
时,a= ,当
a<-1 或 0<a<1
1
时,a< ,当
1
时,a> .
1
的距离之和均大于8.∴原不等式的解集为(-∞,-4)∪(4,+∞).
探究三
数轴上的基本公式及应用
例4已知数轴上的三点A,B,P的坐标分别为A(-1),B(3),P(x).
(1)点P到A,B两点的距离都是2时,求P(x),此时P与线段AB是什么关系?
(2)在线段AB上是否存在一点P(x),使得P到A和B的距离都是3?若存在,求
距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|≤c(c>0)或|x-a|-|x-b|≥c(c>0)
的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观.
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.1 不等式及其解法课件 理
D.a2>ab>b2
答案 D 选项A,∵c为实数,∴取c=0,得ac2=0,bc2=0,此时ac2=bc2,故选项A不正确;选项B, 1 - 1 =
ab
b ,a∵a<b<0,∴b-a>0,ab>0,∴ b>0a,即 >1 ,1故选项B不正确;选项C,∵a<b<0,∴取a=-2,b=-1,
ab
ab
ab
12/11/2021
2.(2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的
取值范围是
.
答案
2 2
,0
解析 要满足f(x)=x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]恒成立,
只需
f f
(即m ) 0,解得-
(m 1) 0,
∵0<log0.20.3<log0.20.2=1,log20.3<log20.5=-1,即0<a<1,b<-1,∴a+b<0,排除D.
∵ b =l o g 2=0 . 3 =llgo0g.220.2,∴b- =logb 20.3-log20.2=log2
a lo g 0.2 0 .3 l g 2
a
解法二:易知0<a<1,b<-1,∴ab<0,a+b<0,
<1,∴3 b<1+
2
⇒ab b<a+b,排除A.故选B.
a
∵ 1 +1 =log0.30.2+log0.32=log0.30.4<1,
不等式的基本性质教学课件
02
01
03
(2) 若a < b，则ac^2 < bc^2 作业3：解下列不等式，并在数轴上表示解集。 (1) 2x - 1 < x + 2
作业布置
(2) 3(x - 2) ≥ 2(x - 1)
作业4：思考并回答：不等式的基本性质在日常生活和实际问题中有哪些应用？请举 例说明。
07
总结与回顾
重点内容回顾
02
不等式的基本概念
不等式的定义
80%
不等式定义
用不等号（<、>、≤、≥、≠） 连接两个数学表达式而构成的数 学式子，称为不等式。
100%
不等式的解
使不等式成立的未知数的值，叫 做不等式的解。
80%
不等式的解集
一个含有未知数的不等式的所有 解，组成这个不等式的解集。
不等式的表示方法
符号表示法
使用不等号来表示不等式关系， 如 x < 5，x > y 等。
区间表示法
使用区间来表示不等式解集的 范围，如 x ∈ (2, 5) 表示 x 在 2 到 5 之间。
数轴表示法
在数轴上标出不等式的解集范 围，用实心点表示包括该点， 空心点表示不包括该点。
不等式的分类
分式不等式
分母中含有未知数的不等式，如 (x - 1)/(x + 2) ≥ 0。
一元二次不等式
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的不等式，如 x^2 -
逐步推导，由因导果，思路清晰。
综合法的应用
适用于已知条件较少，需要逐步 推导的情况。
分析法
分析法的定义
从所要证明的不等式出发，分析使不等式成立的充分条件，逐步 推导，直到找到已知条件或明显成立的事实为止。
人教B版数学必修第一册课件不等式的解集
所以该不等式组的解集是{x|2<x≤4}．
1.把各不等式的解集表示在数轴上，再找出这些解集的公共 部分是解决问题的关键.
2.借助数轴确定不等式组的解集，既形象直观，又不容易漏 解.这体现了数学中的一种重要思想方法——数形结合法.
[变式训练 1]
解不等式组73xx－－21<5>8x0.，
① ②
解：解不等式①，得 x>5. 解不等式②，得 x>－2. 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下图所示．
3．|x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法 解法 1：可以利用绝对值不等式的_几__何__意__义__． 解法 2：利用分类讨论的思想，以绝对值的“零点”为分界 点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的 ___符__号___，进而去掉__绝__对__值__符__号_____．
4．解不等式|x＋3|－|x－3|>3.
解：当 x<－3 时，－(x＋3)＋(x－3)>3，
即－6>Βιβλιοθήκη ，无解．当－3≤x≤3 时，x＋3＋x－3>3，
即 x>32，故32<x≤3. 当 x>3 时，x＋3－(x－3)>3，即 6>3，故 x>3.
综上所述，所求的解集为xx>32
.
[解]
解法 1：如图，设数轴上与－1，1 对应的点分别为 A，B， 那么 A，B 两点的距离和为 2，因此区间[－1,1]上的数都不是不 等式的解．设在 A 点左侧有一点 A1 到 A、B 两点的距离和为 3， A1 对应数轴上的 x.
由－1－x＋1－x＝3，得 x＝－32. 同理设 B 点右侧有一点 B1 到 A、B 两点距离和为 3，B1 对应 数轴上的 x，由 x－1＋x－(－1)＝3，得 x＝32. 从数轴上可看到，点 A1，B1 之间的点到 A，B 的距离之和都 小于 3；点 A1 的左边或点 B1 的右边的任何点到 A，B 的距离之 和都大于 3.
无理不等式的解法课件
答案解析
要点一
解析2
首先移项，然后两边平方，化简后求解。
要点二
解法
将原不等式变形为$\sqrt{3}x + \sqrt{2} - 2x - 1 > 0$， 即$(\sqrt{3} - 2)x > - \sqrt{2} + 1$，两边平方得 $(\sqrt{3} - 2)^{2}x^{2} > (- \sqrt{2} + 1)^{2}$，化简 得$(5 - 2\sqrt{6})x > - (5 - 2\sqrt{6})$，解得$x < \frac{- (5 - 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}}$，即$x < \frac{- (5 - 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}}$，所以原不等式的解集为$x < \frac{- (5 - 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}}$。
易错点分析
忽略根式非负性的限制
在解无理不等式时，学生容易忽略根式非负 性的限制，导致解题错误。
忽视不等式的解集
在解无理不等式时，学生容易忽视不等式的 解集，导致解题错误。
对绝对值的理解不准确
在将根式转化为绝对值时，学生容易对绝对 值的意义理解不准确，导致解题错误。
对负数开平方的错误认识
学生容易认为负数不能开平方，从而在解无 理不等式时出现错误。
中等难度无理不等式例题
总结词
掌握中等难度的无理不等式解题技巧，提高解题能力。
详细描述
通过几个中等难度的无理不等式例题，讲解如何利用平方差公式、不等式的基本性质等技巧解题，并注重解题思 路和方法的讲解。
高难度无理不等式例题
总结词
深入探究高难度无理不等式的解法，拓展解题思路。
数学课件不等式的性质及比较法证明不等式
第6章 不等式
第1节 不等式的性质及比较法证 明不等式
要点·疑点·考点
1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通 过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式 命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假. 不等式有如下8条性质： 1.a＞b b＜a.(反身性) 2.a＞b，b＞c =>a＞c.(传递性) 3.a＞b a+c＞b+c.(平移性) 4.a＞b，c＞0 => ac＞bc； a＞b，c＜0 => ac＜bc.(伸缩性) 5.a＞b≥0 => n a n b ，n∈N，且n≥2.(乘方性) 6.a＞b≥0 => a＞nb，n∈N，且n≥2.(开方性) 7.a＞b，c＞d => a+c＞b+d.(叠加性) 8.a＞b≥0，c＞d≥0 => ac＞bd.(叠乘性)
课前热身
ab 1.“a＞0且b＞0”是“ ab 2
(A)充分而非必要条件 A( ”成立的 ) (B)必要而非充分条件
(C)充要条件
(D)既非充分又非必要条件
2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速 度为a，另一半时间的速度为 b；乙车用速度 a行走了一半路 程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的 情况是( ) A
第2节 用综合法、分析法证明不等式
要点·疑点·考点
1. 不等式证明的分析法和综合法是从整体上处理不等 式的不同形式.分析法的实质是从欲证的不等式出发寻 找使之成立的充分条件 .综合法是把整个不等式看成一 个整体，根据不等式的性质、基本不等式，经过变形、 运算，导出欲证的不等式.
2.综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确， 因此我们常常用分析法寻找解题的思路，再用综合法 表述.分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”. 要注意用分析法证明不等式的表述格式.对于较复杂的 不等式的证明，要注意几种方法的综合使用.
第1节 不等式的性质及比较法证 明不等式
要点·疑点·考点
1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通 过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式 命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假. 不等式有如下8条性质： 1.a＞b b＜a.(反身性) 2.a＞b，b＞c =>a＞c.(传递性) 3.a＞b a+c＞b+c.(平移性) 4.a＞b，c＞0 => ac＞bc； a＞b，c＜0 => ac＜bc.(伸缩性) 5.a＞b≥0 => n a n b ，n∈N，且n≥2.(乘方性) 6.a＞b≥0 => a＞nb，n∈N，且n≥2.(开方性) 7.a＞b，c＞d => a+c＞b+d.(叠加性) 8.a＞b≥0，c＞d≥0 => ac＞bd.(叠乘性)
课前热身
ab 1.“a＞0且b＞0”是“ ab 2
(A)充分而非必要条件 A( ”成立的 ) (B)必要而非充分条件
(C)充要条件
(D)既非充分又非必要条件
2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速 度为a，另一半时间的速度为 b；乙车用速度 a行走了一半路 程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的 情况是( ) A
第2节 用综合法、分析法证明不等式
要点·疑点·考点
1. 不等式证明的分析法和综合法是从整体上处理不等 式的不同形式.分析法的实质是从欲证的不等式出发寻 找使之成立的充分条件 .综合法是把整个不等式看成一 个整体，根据不等式的性质、基本不等式，经过变形、 运算，导出欲证的不等式.
2.综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确， 因此我们常常用分析法寻找解题的思路，再用综合法 表述.分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”. 要注意用分析法证明不等式的表述格式.对于较复杂的 不等式的证明，要注意几种方法的综合使用.
基本不等式(共43张)ppt课件
解法步骤与技巧
01
02
03
移项
将不等式两边的同类项进 行合并，并把未知数移到 不等式的一边，常数移到 另一边。
合并同类项
将移项后的不等式两边的 同类项进行合并。
系数化为1
将不等式两边的系数化为 1，得到不等式的解集。
解法步骤与技巧
注意不等号的方向
在解不等式时，要注意不等号的方向，特别是在乘以或除以一个负数时，不等 号的方向要发生变化。
基本不等式(共43张)ppt课件
目录
• 基本不等式概念及性质 • 一元一次不等式解法 • 一元二次不等式解法 • 绝对值不等式解法 • 分式不等式和无理不等式解法 • 基本不等式在几何中的应用 • 基本不等式在函数中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
基本不等式概念及性质
不等式定义与分类
不等式定义
根）；
04
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
04
绝对值不等式解法
绝对值概念及性质
绝对值定义
对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：若$x geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
绝对值的性质
非负性、对称性、三角不等式。
绝对值不等式解法步骤
将不等式左边进行因式分解，找出不 等式的临界点。
无理不等式解法
第一步
确定无理不等式的定义域，即根 号内的表达式必须大于等于零。
第二步
通过平方消去根号，将无理不等式 转化为有理不等式。
第三步
利用有理不等式的解法，求解转化 后的不等式，得到原无理不等式的 解集。
综合应用举例
例1
《不等式》等式与不等式-PPT标准课件(第3课时一元二次不等式的解法)
栏目 导引
第二章 等式与不等式
不等式（xx－＋15）2≥2 的解是(
)
A.－3，12
B.－12，3
C.12，1∪(1，3]
D.－12，1∪(1，3]
解析：选
D.
x＋5 （x－1）2
≥
2⇔
x＋5≥2（x－1）2， x－1≠0
⇔－12≤x≤3，所以 x≠1，
x∈－12，1∪(1，3]．
栏目 导引
第二章 等式与不等式
栏目 导引
第二章 等式与不等式
法二：不等式－2x2＋x＋3<0 可化为 2x2－x－3>0，因为 Δ＝ (－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程 2x2－x－3＝0 的两根为 x1＝－1，x2＝32，又二次函数 y＝2x2－x－3 的图像开口向上， 所以不等式－2x2＋x＋3<0 的解集是xx<－1或x>32，故选 D.
第二章 等式与不等式
)
A.{x|x<－1}
3 B.xx>2
C.x－1<x<32
D.xx<－1或x>32
解析：选 D.法一：因为－2x2＋x＋3＝－(2x2－x－3)＝－(x＋
1)(2x－3)，
所以－(x＋1)(2x－3)<0，即(x＋1)(2x－3)>0，
所以 x>32或 x<－1，
所以不等式的解集为x|x>32或x<－1.
栏目 导引
第二章 等式与不等式
(2)原不等式可化为23x－－41x－1>0，即34xx－－23<0. 等价于(3x－2)(4x－3)<0. 所以23<x<34. 所以原不等式的解集为x|23<x<34.
第二章 等式与不等式
不等式（xx－＋15）2≥2 的解是(
)
A.－3，12
B.－12，3
C.12，1∪(1，3]
D.－12，1∪(1，3]
解析：选
D.
x＋5 （x－1）2
≥
2⇔
x＋5≥2（x－1）2， x－1≠0
⇔－12≤x≤3，所以 x≠1，
x∈－12，1∪(1，3]．
栏目 导引
第二章 等式与不等式
栏目 导引
第二章 等式与不等式
法二：不等式－2x2＋x＋3<0 可化为 2x2－x－3>0，因为 Δ＝ (－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程 2x2－x－3＝0 的两根为 x1＝－1，x2＝32，又二次函数 y＝2x2－x－3 的图像开口向上， 所以不等式－2x2＋x＋3<0 的解集是xx<－1或x>32，故选 D.
第二章 等式与不等式
)
A.{x|x<－1}
3 B.xx>2
C.x－1<x<32
D.xx<－1或x>32
解析：选 D.法一：因为－2x2＋x＋3＝－(2x2－x－3)＝－(x＋
1)(2x－3)，
所以－(x＋1)(2x－3)<0，即(x＋1)(2x－3)>0，
所以 x>32或 x<－1，
所以不等式的解集为x|x>32或x<－1.
栏目 导引
第二章 等式与不等式
(2)原不等式可化为23x－－41x－1>0，即34xx－－23<0. 等价于(3x－2)(4x－3)<0. 所以23<x<34. 所以原不等式的解集为x|23<x<34.
不等式的解法课件
f ( x)⋅ g ( x) ≤ 0 g ( x) ≠ 0
x − 2x − 8 3x − 1 ≥ 0 （2） （1） 2 ≥1 x + 2x − 3 2− x 2 x − 2x − 8 ≥0 解： 2 x + 2x − 3 ( x − 4 ) ⋅ ( x + 2 ) ⋅ ( x + 3 ) ⋅ ( x − 1) ≥ 0 ⇒ x ≠ 1且 x ≠ − 3
△≥0
b x≠− 2a
x< x1或x> x2
例1：解不等式4x2-4x +1>0 解不等式4
解: 由于4x2-4x+1=(2x-1)2≥0 4 故原不等式的解集为{ 故原不等式的解集为 x| x ≠ 1/2 }
例2：解不等式 x2 + 2x – 3 >0 ：解不等式解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0 整理， 因为△ 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0 方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根 无实数根 所以原不等式的解集为ф 所以原不等式的解集为
x2 −2 x
例4．解下列不等式： ．
2
⇔
(x − 2) x < 0
∴ 原 不 等 式 的 解 集 ：0， ) ( 2
1 + x2 (2) log 2 x 1 + a < 0 2x > 1 0 < 2 x < 1 2 1+ x 2 log 或 1 + x2 < 0 ⇔ 1+ x 解： 2 x 1+ a <1 >1 0 < 1+ a 1+ a
f (x) ≥ 0 f (x) < g (x) ⇔ g (x) ≥ 0 2 f ( x ) < g ( x )
人教版七年级数学下册第九章《 9.1.1 不等式及其解集》公开课课件(共39张PPT)
第九章 不等式与不等式组 9．1 不等式 9．1.1 不等式及其解集
1．用“__＞__”或“__＜__”表示大小关系的式子叫做不等式，用“__≠__”表示不等 关系的式子也是不等式．
2．使不等式成立的__未知数的值__叫做不等式的解；一般地，一个含有未知数的不等式 的__所有的解__组成这个不等式的解集．求不等式的__解集__的过程叫做解不等式．
21．(16分)阅读下列材料，并完成填空． 你能比较2 0142015和2 0152014的大小吗？ 为 了 解 决 这 个 问 题 ， 先 把 问 题 一 般 化 ， 比 较 nn ＋ 1 和 (n ＋ 1)n(n≥1 ， 且 n 为 整 数 ) 的 大 小．然后从分析n＝1，n＝2，n＝3…的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜 想得出结论． (1)通过计算(可用计算器)比较下列①～⑦组两数的大小；(在横线上填上“＞”“＝”或“＜”) ①12__＜__21；②23__＜__32；③34__＞__43； ④45__＞__54；⑤56__＞__65；⑥67__＞__76； ⑦78__＞__87. (2)归纳第(1)问的结果，可以猜想出nn＋1和(n＋1)n的大小关系； (3)根据以上结论，请判断2 0142 015和2 0152 014的大小关系． 解：(2)当n＝1或2时，nn＋1＜(n＋1)n；当n≥3时，nn＋1＞(n＋1)n
第九章 不等式与不等式组 9．1.2 不等式的性质
4．(4分)平面直角坐标系中，点Q(2，－3m＋1)在第四象限，则m的取 值范围是( D ) A．m＜ B．m＞－ C．m＜－ D．m＞
5．(3分)在下列不等式的变形后面填上依据： (1)如果a－3＞－3，那么a＞0；__不等式的性质1__ (2)如果3a＜6，那么a＜2；__不等式的性质2__ (3)如果－a＞4，那么a＜－4.__不等式的性质3__
1．用“__＞__”或“__＜__”表示大小关系的式子叫做不等式，用“__≠__”表示不等 关系的式子也是不等式．
2．使不等式成立的__未知数的值__叫做不等式的解；一般地，一个含有未知数的不等式 的__所有的解__组成这个不等式的解集．求不等式的__解集__的过程叫做解不等式．
21．(16分)阅读下列材料，并完成填空． 你能比较2 0142015和2 0152014的大小吗？ 为 了 解 决 这 个 问 题 ， 先 把 问 题 一 般 化 ， 比 较 nn ＋ 1 和 (n ＋ 1)n(n≥1 ， 且 n 为 整 数 ) 的 大 小．然后从分析n＝1，n＝2，n＝3…的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜 想得出结论． (1)通过计算(可用计算器)比较下列①～⑦组两数的大小；(在横线上填上“＞”“＝”或“＜”) ①12__＜__21；②23__＜__32；③34__＞__43； ④45__＞__54；⑤56__＞__65；⑥67__＞__76； ⑦78__＞__87. (2)归纳第(1)问的结果，可以猜想出nn＋1和(n＋1)n的大小关系； (3)根据以上结论，请判断2 0142 015和2 0152 014的大小关系． 解：(2)当n＝1或2时，nn＋1＜(n＋1)n；当n≥3时，nn＋1＞(n＋1)n
第九章 不等式与不等式组 9．1.2 不等式的性质
4．(4分)平面直角坐标系中，点Q(2，－3m＋1)在第四象限，则m的取 值范围是( D ) A．m＜ B．m＞－ C．m＜－ D．m＞
5．(3分)在下列不等式的变形后面填上依据： (1)如果a－3＞－3，那么a＞0；__不等式的性质1__ (2)如果3a＜6，那么a＜2；__不等式的性质2__ (3)如果－a＞4，那么a＜－4.__不等式的性质3__
幂函数及三类不等式的解法(绝对值、高次、无理)-高考复习课件
2
2 + 1 ≠ 0,
4.不等式(x-1)(x-2)(x-3)<0的解集为
.
答案 (-∞,1)∪(2,3)
解析 方程(x-1)(x-2)(x-3)=0的三个根分别为1,2,3,标根穿线如图所示.故解
集为(-∞,1)∪(2,3).
关键能力 学案突破
考点1
幂函数的概念
α
【例 1】 (1)已知幂函数 f(x)=k·x 的图像经过点
() ≥ 0,
(3) ()<g(x)⇔ () ≥ 0,
() < 2 ().
5.一元高次不等式的解法(标根穿线法)
(1)化x的最高次系数为正;
(2)在数轴上标出方程的根;
(3)从数轴上方穿针,奇穿偶回;
(4)写出解集.
常用结论
1.幂函数y=xα的图像在第一象限的两个重要结论
(1)恒过点(1,1);
综上,不等式的解集为(-3,2).
(3)由|2x-1|-|x-2|<0,得|2x-1|<|x-2|,∴(2x-1)2<(x-2)2,
∴3x2<3,解得-1<x<1.
∴不等式的解集为(-1,1).
解题心得1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点,选择更简便的方法.
2.零点分段法的好处在于,一段范围可将所有的绝对值一次性去掉,缺点在
0<α<1,下凸时α>1;最后由x>1时,在第一象限内α的值按逆时针方向依次增
大得出结论.
对点训练2(1)下面给出4个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应的是
(
)
1
3
1
2
A.①y= ;②y=x2;③y= ;④y=x-1
1
2 + 1 ≠ 0,
4.不等式(x-1)(x-2)(x-3)<0的解集为
.
答案 (-∞,1)∪(2,3)
解析 方程(x-1)(x-2)(x-3)=0的三个根分别为1,2,3,标根穿线如图所示.故解
集为(-∞,1)∪(2,3).
关键能力 学案突破
考点1
幂函数的概念
α
【例 1】 (1)已知幂函数 f(x)=k·x 的图像经过点
() ≥ 0,
(3) ()<g(x)⇔ () ≥ 0,
() < 2 ().
5.一元高次不等式的解法(标根穿线法)
(1)化x的最高次系数为正;
(2)在数轴上标出方程的根;
(3)从数轴上方穿针,奇穿偶回;
(4)写出解集.
常用结论
1.幂函数y=xα的图像在第一象限的两个重要结论
(1)恒过点(1,1);
综上,不等式的解集为(-3,2).
(3)由|2x-1|-|x-2|<0,得|2x-1|<|x-2|,∴(2x-1)2<(x-2)2,
∴3x2<3,解得-1<x<1.
∴不等式的解集为(-1,1).
解题心得1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点,选择更简便的方法.
2.零点分段法的好处在于,一段范围可将所有的绝对值一次性去掉,缺点在
0<α<1,下凸时α>1;最后由x>1时,在第一象限内α的值按逆时针方向依次增
大得出结论.
对点训练2(1)下面给出4个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应的是
(
)
1
3
1
2
A.①y= ;②y=x2;③y= ;④y=x-1
1
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= {x | x ≥ 1或x = −3}
● -3 -2
● 1
根式不等式的解法-------类型（4）
(1) f ( x) • g ( x) > 0 f ( x) > 0 ⇔ (x g ( x) > 0
( 2) f ( x ) • g ( x ) ≥ 0
f ( x) ≥ 0 ⇔ 或f ( x ) = 0 g ( x) ≥ 0
根式不等式的解法------例3 解不等式 x + 27 − 2 x + 3 < 0 解：原不等式可化为 x + 27 < 2 x − 3 根据根式的意义及不等式的性质，得 x + 27 ≥ 0 2 x − 3 ≥ 0 x + 27 < ( x − 3 ) 解这个不等式组，得
2
根式不等式的解法练习-------
解下列不等式： （ x −4x+3− x−1>0 1 ）
2
答案：
{x | x > 4}
R
(2) x +2 > x
2
(3) 2x+24< x (4)x• x +2x−3 ≥0
2
{x | x ≥ 1或x = −3}
{x | x > 6}
小结：
1. 2. 3. 4.
f ( x) < g ( x)
解这个不等式组（2），得
{x | x ≥ − 27 }I x | x <
所以，原不等式的解集为
3 3 = x | − 27 ≤ x < 2 ● 23 − 27
3 3 ≤ x < 9 = x | − 27 ≤ x < U x | 2 2
4 3
⊙
●
3
所以，原不等式的解集为
{x
| x ≥ 3}
根式不等式的解法-------类型（1）
f ( x) < g ( x)
⇔ ⇔
f ( x) ≥ 0 g ( x) ≥ 0 f ( x) < g ( x)
f ( x) ≥ 0 f ( x) < g ( x)
根式不等式的解法------例2 解不等式 x + 27 − 2 x + 3 > 0 解：原不等式可化为 x + 27 > 2 x − 3 根据根式的意义及不等式的性质，得
根据根ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的意义及不等式的性质，得
3 3 x x − 4 ≥ 0 3 x − 3 ≥ 0 − 4 > x −
解这个不等式组，得
4 x | x ≥ 3
1 I {x | x ≥ 3} I x | x > = {x | x ≥ 3} 2
⊙ 1 2
无理不等式的解法
基本概念
1、无理不等式： 根号下含有未知数的不等式。 2、无理不等式的类型：
(1 ) (2) (3) (4) f (x) < g (x) f (x) > g (x) f (x) < g (x) f (x) • g (x) > 0
根式不等式的解法------例1 解不等式
3x − 4 − x − 3 > 0 解：原不等式可化为 3x − 4 > x − 3
根式不等式的解法------例4 解不等式 ( x + 2) x 2 + 2 x − 3 ≥ 0 解：原不等式可化为
x x + 2 ≥ 0 或 x + 2 x − 3 ≥ 0
2
2
+ 2 x − 3 = 0
解这个不等式组，得
{x | x ≥ − 2 } I {x | x ≤ −3或x ≥ 1} U {− 3,1}
{x | −27 ≤ x < 9}
2
根式不等式的解法-------类型（2）
f ( x) > g ( x)
⇔
⇔
f ( x) ≥ 0 f ( x) ≥ 0 g ( x ) ≥ 0 或 g ( x) < 0 2 f ( x) > [ g ( x)]
g(x) ≥ 0 f ( x) ≥ 0 或 2 f(x) > [g(x)] g ( x) < 0
⇔
⇔
⇔
f ( x) ≥ 0 g ( x) ≥ 0 f ( x) < g ( x)
f ( x) > g ( x)
f ( x) < g ( x)
f ( x) ≥ 0 f ( x) ≥ 0 g ( x ) ≥ 0 或 f ( x) > [ g ( x)]2 g ( x) < 0 (x f (x) ≥ 0 g ( x) ≥ 0 f ( x) < [ g ( x)]2
{x | x ≥ − 27 }I x | x ≥
= {x | x > 9}
-2
3 I {x | x < − 2 或 x > 9 } 2
-27
3/2
9
根式不等式的解法-------类型（3）
f ( x) < g ( x)
⇔
f ( x) ≥ 0 g ( x) ≥ 0 f ( x) < [ g ( x)]2
x + 27 ≥ 0 2 x − 3 ≥ 0 x + 27 > ( x − 3 ) x + 27 ≥ 0 ...( 1 ) 或 ...( 2 x − 3 < 0 2 )
2
解这个不等式组（1），得
{x | x ≥ − 27 }I x | x ≥
3 ● 3≤ I {x ● 2 < x < 9 } = 3 x | 9 x < 9 |− 2 − 27 − 2 2 2
作业：
P24 练习： 2 P29 习题十六： 7 补充题： 解不等式 ( 2 x − 3 ) 2 − x ≤ 0
祝同学们学习愉快！
BYE
● -3 -2
● 1
根式不等式的解法-------类型（4）
(1) f ( x) • g ( x) > 0 f ( x) > 0 ⇔ (x g ( x) > 0
( 2) f ( x ) • g ( x ) ≥ 0
f ( x) ≥ 0 ⇔ 或f ( x ) = 0 g ( x) ≥ 0
根式不等式的解法------例3 解不等式 x + 27 − 2 x + 3 < 0 解：原不等式可化为 x + 27 < 2 x − 3 根据根式的意义及不等式的性质，得 x + 27 ≥ 0 2 x − 3 ≥ 0 x + 27 < ( x − 3 ) 解这个不等式组，得
2
根式不等式的解法练习-------
解下列不等式： （ x −4x+3− x−1>0 1 ）
2
答案：
{x | x > 4}
R
(2) x +2 > x
2
(3) 2x+24< x (4)x• x +2x−3 ≥0
2
{x | x ≥ 1或x = −3}
{x | x > 6}
小结：
1. 2. 3. 4.
f ( x) < g ( x)
解这个不等式组（2），得
{x | x ≥ − 27 }I x | x <
所以，原不等式的解集为
3 3 = x | − 27 ≤ x < 2 ● 23 − 27
3 3 ≤ x < 9 = x | − 27 ≤ x < U x | 2 2
4 3
⊙
●
3
所以，原不等式的解集为
{x
| x ≥ 3}
根式不等式的解法-------类型（1）
f ( x) < g ( x)
⇔ ⇔
f ( x) ≥ 0 g ( x) ≥ 0 f ( x) < g ( x)
f ( x) ≥ 0 f ( x) < g ( x)
根式不等式的解法------例2 解不等式 x + 27 − 2 x + 3 > 0 解：原不等式可化为 x + 27 > 2 x − 3 根据根式的意义及不等式的性质，得
根据根ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的意义及不等式的性质，得
3 3 x x − 4 ≥ 0 3 x − 3 ≥ 0 − 4 > x −
解这个不等式组，得
4 x | x ≥ 3
1 I {x | x ≥ 3} I x | x > = {x | x ≥ 3} 2
⊙ 1 2
无理不等式的解法
基本概念
1、无理不等式： 根号下含有未知数的不等式。 2、无理不等式的类型：
(1 ) (2) (3) (4) f (x) < g (x) f (x) > g (x) f (x) < g (x) f (x) • g (x) > 0
根式不等式的解法------例1 解不等式
3x − 4 − x − 3 > 0 解：原不等式可化为 3x − 4 > x − 3
根式不等式的解法------例4 解不等式 ( x + 2) x 2 + 2 x − 3 ≥ 0 解：原不等式可化为
x x + 2 ≥ 0 或 x + 2 x − 3 ≥ 0
2
2
+ 2 x − 3 = 0
解这个不等式组，得
{x | x ≥ − 2 } I {x | x ≤ −3或x ≥ 1} U {− 3,1}
{x | −27 ≤ x < 9}
2
根式不等式的解法-------类型（2）
f ( x) > g ( x)
⇔
⇔
f ( x) ≥ 0 f ( x) ≥ 0 g ( x ) ≥ 0 或 g ( x) < 0 2 f ( x) > [ g ( x)]
g(x) ≥ 0 f ( x) ≥ 0 或 2 f(x) > [g(x)] g ( x) < 0
⇔
⇔
⇔
f ( x) ≥ 0 g ( x) ≥ 0 f ( x) < g ( x)
f ( x) > g ( x)
f ( x) < g ( x)
f ( x) ≥ 0 f ( x) ≥ 0 g ( x ) ≥ 0 或 f ( x) > [ g ( x)]2 g ( x) < 0 (x f (x) ≥ 0 g ( x) ≥ 0 f ( x) < [ g ( x)]2
{x | x ≥ − 27 }I x | x ≥
= {x | x > 9}
-2
3 I {x | x < − 2 或 x > 9 } 2
-27
3/2
9
根式不等式的解法-------类型（3）
f ( x) < g ( x)
⇔
f ( x) ≥ 0 g ( x) ≥ 0 f ( x) < [ g ( x)]2
x + 27 ≥ 0 2 x − 3 ≥ 0 x + 27 > ( x − 3 ) x + 27 ≥ 0 ...( 1 ) 或 ...( 2 x − 3 < 0 2 )
2
解这个不等式组（1），得
{x | x ≥ − 27 }I x | x ≥
3 ● 3≤ I {x ● 2 < x < 9 } = 3 x | 9 x < 9 |− 2 − 27 − 2 2 2
作业：
P24 练习： 2 P29 习题十六： 7 补充题： 解不等式 ( 2 x − 3 ) 2 − x ≤ 0
祝同学们学习愉快！
BYE