最新高三高考抽象函数总结

最新高三抽象函数总结

抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。

抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。

抽象函数常见题型讲解：

一、定义域问题：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。 例一.若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21

(

+=x

f y 的定义域。 提示：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x

的范围等同。

变式训练1：已知函数)(2

x f 的定义域是［1，2］，求)(x f 的定义域。

变式训练2：已知函数)(x f 的定义域是]2,1[-，求函数)]3([log 2

1x f -的定义域。

二、求值问题 例二、已知定义域为

的函数f(x)，同时满足下列条件：①1)2(=f ，5

1

)6(=

f ；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f(3)，f(9)的值。

注：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。

变式训练3：已知R x f 是定义在)(上的函数，且R x f ∈=对任意的,1)1(都有下列两式成立：)6(,1)()(.1)()1(;5)()5(g x x f x g x f x f x f x f 则若-+=+≤++≥+的值为

变式训练4:设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,2

1

)1(f x f x f f +=+=则=)5(f _____

变式训练5：已知)(),(x g x f 都是定义在R 上的函数，对任意y x ,满足

)()()()()(y f x g y g x f y x f ⋅-⋅=- ，且0)1()2(≠=-f f ，则)1()1(-+g g =_________

三、值域问题:

例三、设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

变式6：若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域。

变式7：函数f(x)的定义域为(0,)+∞，对 任意正实数y x ,都有)()()(y f x f xy f +=且

2)4(=f ，则f =——————

变式8：已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，

f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。

四、解析式问题

例四、设函数)(x f 满足x x

x f x f +=-+1)1

(

)(……①)10(≠≠x x 且，求)(x f 。 评析：如果把x 和x

x 1+分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题

关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

变式9：已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1

()1

g x x =-， 求()f x ,()g x .

五、单调性问题

单调性的证明两种常用变换：

])[()(1121x x x f x f +-=（差变换）；)()(1

2

12x x x f x f ⋅

=（商变换） 例五、设)(x f y =是定义在[-1，1]上的奇函数，且对于任意的]1,1[,-∈b a ，当0≠+b a 时，都有：0)

()(>++b

a b f a f 。若b a >，试比较)(a f 与)(b f 的大小。

变式10：已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＋2＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>2，f (3)＝ 5，求不等式3)22(2

<--a a f 的解.

变式11：设f(x)定义于实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，且对于任意实数y x ,，有

)()()(y f x f y x f =+，求证：)(x f 在R 上为增函数。

变式12:定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；

（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2

)>1，求x 的取值范围。

变式13：已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，

f x ()>1，求证：（1）x >0时，01<

变式14：已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足

f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。

变式15：函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对

任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1

()13

f >.

(1)求(0)f 的值;

(2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数;

六、奇偶性问题

例六、 已知函数)0,)((≠∈x R x x f 对任意不等于零的实数21,x x 都有

)()()(2121x f x f x x f =⋅，试判断函数f(x)的奇偶性。

变式16：已知)(x f y =是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的R b a ∈,，都满足：

)()()(a bf b af b a f +=⋅。判断)(x f y =的奇偶性，并证明你的结论。

变式17：已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x f y f x y +=+，且当0x >时，()0f x <，又2(1)3

f =-

。 (1)求证：()f x 为奇函数；(2)求证：()f x 为R 上的减函数；