新教材苏教版高中数学必修第二册教学备课资料-两平面平行

13.2.4平面与平面的位置关系

第1课时两平面平行

学习目标核心素养

1.了解平面与平面的两种位置关系，了

解两个平面间的距离的概念．(重点)

2．理解空间中面面平行的判定定理和

性质定理，并能灵活应用．(重点、难

点)

1.通过对平面和平面平行的判定定理和

性质定理的推导和应用，培养学生逻辑

推理素养．

2．通过利用平面和平面平行的判定定理

和性质定理进行相关的计算，培养学生

数学运算素养.

空间两条直线从公共点来看可以分为相交直线和不相交的两条直线，不相交的两条直线又分为平行直线和异面直线．利用手中的两本书作为两个平面(不重合)，通过移动和反转，先思考它们公共点的个数，再探究两个平面的可能的位置关系．

工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的，你能解释其中的奥秘吗？

1．平面与平面之间的位置关系

位置关系平面α与平面β相交平面α与平面β平行

公共点有一条公共直线没有公共点

符号表示α∩β＝a α∥β

图形表示

自然语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个

平面平行

符号语言a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β图形语言

3.平面与平面平行的性质定理

自然语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行

符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

图形语言

提示：(1)已知两个平面平行，显然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．

(2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．

4．两个平行平面间的距离

(1)公垂线与公垂线段

与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段．

(2)两个平行平面间的距离

两个平行平面的公垂线段都相等．公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行．()

(2)若平面α内的两条不平行的直线分别与平面β平行，则α与β平行．

()

(3)若平面α内有一条直线平行于平面β，平面β内也有一条直线平行于α，则α与β平行．()

(4)若平面α内的任何直线都与平面β平行，则α与β平行．()

[答案](1)×(2)√(3)×(4)√

2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列平面的位置关系是：

(1)平面AB1与平面D1C________；

(2)若E，F，G，H分别为

DD1，CC1，AA1，B1B的中点，则平面ABFE与平面BC1________；平面D1C1HG 与平面ABFE________.

[答案](1)平行(2)相交平行

3．平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则下列四种情况：

①a⊥b；②a∥b；③a与b异面；④a与b相交．

其中可能出现的情况有________种．

3[只有a，b相交不可能．]

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G，H分别为P A，PB，PC，PD的中点，P A⊥平面AC，若P A＝2，则平面EFGH与平面ABCD的距离为________．

1[∵E，F，G，H为P A，PB，PC，PD的中点，

∴平面EFGH∥平面ABCD，

∵P A⊥平面AC，

∴P A⊥平面EG，

∴AE为平面AC与平面EG的公垂线段，

AE ＝1

2P A ＝1.]

面面平行判定定理的应用

【例1】 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，E ，F ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1A 1的中点．

求证：(1)E ，F ，B ，D 四点共面； (2)平面MAN ∥平面EFDB ．

[思路点拨] 解答本题第(1)问，只需证BD ∥EF 即可．第(2)问，只需证MN ∥平面EFDB ，AM ∥平面EFDB 即可．

[证明] (1)连接B 1D 1.

∵E ，F 分别是边B 1C 1，C 1D 1的中点， ∴EF ∥B 1D 1.

而BD ∥B 1D 1，∴BD ∥EF . ∴E ，F ，B ，D 四点共面． (2)易知MN ∥B 1D 1，B 1D 1∥BD ， ∴MN ∥BD ．

又MN ⊄平面EFDB ，BD ⊂平面EFDB ， ∴MN ∥平面EFDB ．连接MF . ∵M ，F 分别是A 1B 1，C 1D 1的中点， ∴MF ∥A 1D 1，MF ＝A 1D 1.

∴MF∥AD，MF＝AD．

∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.

又AM⊄平面EFDB，DF⊂平面EFDB，∴AM∥平面EFDB．

又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB．

证明两平面平行的主要方法是用判定定理，即将“面面平行”转化为“线面平行”再转化为“线线平行”，具体操作就是在其中一个面内寻找出两条相交直线，均平行于另一个平面，而寻找这两条相交直线时，应结合条件，常用到中位线定理、平行四边形的性质、比例线段等平面几何知识．

[跟进训练]

1．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q 分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．

[证明]∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，

∴MQ∥AD，NQ∥BP.

∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，

∴NQ∥平面PBC．

又底面ABCD为平行四边形，

∴BC∥AD，∴MQ∥BC，

∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，

∴MQ∥平面PBC．

又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC．

面面平行性质定理的应

用