[学习]概率论与数理统计浙大四版第二章3讲

[学习]概率论与数理统计浙 大四版第二章3讲
• 连续型随机变量X所有可能取值充 满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不 能象离散型随机变量那样, 以指定它取每 个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而 是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
• 下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法.
1. 连续型r.v及其密度函数的定义
• 它的实际背景是： r.v X 取值在区间 •(a, b) 上，并且取值在(a, b)中任意小区间 •内的概率与这个小区间的长度成正比. •则 X 具有(a,b)上的均匀分布.
•分布函数
•均匀分布常见于下列情形：
• 如在数值计算中，由于四舍五 入，小 数点后某一位小数引入的误差；
• 公交线路上两辆公共汽车前后通过某 汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.
•称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
•例1 •解
•3、连续型 r.v的分布函数 •若 X 是连续型r.v， X•～～ f (x) , 则
•F(x) = P(X x) =
•即分布函数是密度函数的可变上限的 •定积分.
•由上式可得，在 f (x)的连续点，
•下面我们来求一个连续型 r.v 的分布函数. •例2 设r.v X 的密度函数为 f (x) •求 F(x).
• 严格地说，计算机中产生的U (0,1) 随 机数并非完全随机，但很接近随机，故常 称为伪随机数.
• 如取n足够大，独立产生n个U(0,1) 随机数，则从用这 n 个数字画出的频率 直方图就可看出，它很接近于( 0, 1)上的 均匀分布U(0,1).
•2. 指数分布
•分布函数
•应用与背景 • 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的 寿命等都服从指数分布.
• 例4 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟 来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻 •有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候 车 ••解时：间•以少7于:050为分起钟点的0概，率以.分为单位
•依题意， X ～ U ( 0, 30 )
•2 o
•概率密度函数的充要条件.
• f (x)
•面积为1
•o
•x
•3. 对 f(x)的进一步理解: • 若x是 f(x)的连续点，则：
•=f(x)
• 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好
是
•X落的极限. 这里，如果把概率理解为质量
， f (x)相当于线密度.
•例6 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 •θ=2000的指数分布(单位:小时). •(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以 •上的概率. •(2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 •上,求还能使用1000小时以上的概率.
•例3 设r.vX的分布函数为 •(1) 求X取值在区间 (0.3,0.7)的概率； • (2) 求X的概率密度
•解: (1) P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3•)=.0.72-0.32=0.4
• (2) f(x)=
•注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数
在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在
定义：若对于随机变量X的分布函数F(x),存 在非负实函数f(x),使得对任意的实数x,都有
则称X为连续型随机变量，f(x)称为随机变 量X的概率密度函数（Probability Density Function）。
•2. 概率密度函数的性质
•1 o
•这两条性质是判定一个 •函数 f(x)是否为某r.vX的
•作用相类似.
•需要指出的是:
•连续型r.v取任一指定值的概率为0.
•即：
•a为任一指定值
•这是因为
•由此得， •1) 对连续型 r.v X,有
•2) 由P(X=a)=0 可推知
•而 {X=a} 并非不可能事件 •并非必然事件
•可见，•由P(A)=0, 不能推出 •由P(B)=1, 不能推出 B=S
• f (x)
•o
•x
• 要注意的是，密度函数 f (x)在某点处 a的高度，并不反映X取值的概率. 但是， 这个高度越大，则X取a附近的值的概率就 越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度 反映了概率集中在该点附近的程度.
•若不计高阶无穷小，有：
• 它表示随机变量 X 取值于
的
概率近似等于
.
•在连续型r.v理论中所起的作用与 •在离散型r.v理论中所起的
•解： •F(x) = P(X x) =
•解： 对x < -1，F(x) = 0 •对
•求 F(x).
•对 x>1， F (x) = 1
•即
•大家一起来作下面的练习. •设
•求 F(x).
•由于f(x)是分段 •表达的，求F(x)时
•注意分段求.
•0 •F(x)•=
•1
•即
•对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导 也可求出 f (x)，请看下例.
•
没意义的点处，任意规定
的值.
• 由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确 •定. 所以，若已知密度函数，该连续型 r.v •的概率规律就得到了全面描述.
• f (x)
•o
•x
•下面给出几个常用连续型r.v的例子.
•（1）若 r.vX的概率密度为：
•则称X服从区间( a, b)上的均匀分布，记作： •X ～ U(a, b)
•设 A 表示“ X 的观测值大于 3”, •即 A={ X >3 }.
•设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, •则 •因而有
• 区间( 0, 1)上的均匀分布U(0,1)在计 算机模拟中起着重要的作用.
• 实用中，用计算机程序可以在短时 间内产生大量服从 ( 0, 1)上均匀分布的随 机数. 它是由一种迭代过程产生的.
•从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00 ，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，
• 为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须 在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间 到达车站.
•所求概率为：
•即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.
•例5 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 •对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 •大于3 的概率. •解• X 的分布密度函数为