偏微分方程数值解法答案
偏微分方程数值解期末试题及标准答案
偏微分方程数值解试题(０6B ）参考答案与评分标准信息与计算科学专业一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, （3分)0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分)反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分）评分标准：)(λϕ的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分二（10分）、 对于两点边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v E ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdu p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22，则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u E ∈,使)(m in )(1*u J u J EH u ∈= （4分) 评分标准:空间描述与积分步骤３分，变分方程3分，极小函数及其变分问题４分,三(20分)、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y u x u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 (１)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式),推导截断误差的阶。
偏微分方程数值解法试题与答案
一．填空（1553=⨯分）1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lmR ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{})(,,),()(21Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x关于内积=1),(g f _____________________是Hilbert 空间；3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________；5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。
二．（13分）设有椭圆型方程边值问题用1.0=h 作正方形网格剖分 。
（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题xut u ∂∂=∂∂ ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。
试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。
1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值：四．（12分）试讨论差分方程()ha h a r u u r u u k l k l k l k l ττ+-=-+=++++11,1111逼近微分方程0=∂∂+∂∂xu a t u 的截断误差阶R 。
思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。
思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。
计算物理学(刘金远)课后习题答案第6章：偏微分方程数值解法
第6章：偏微分方程数值解法6.1对流方程【6.1.1】考虑边值问题, 01,0(0,)0,(1,)1(,0)t x x u au x t u t u t u x x=<<>ìï==íï=î如果取：2/7x D =，(0.5),1,2,3j x j x j =-D =，8/49t D =，k t k t=D 求出111123,,u u u 【解】采用Crank-Nicolson 方法()11111111211222k k k k k k k k j j j j j j j j u u u u u u u u t x ++++-+-+éù-=-++-+ëûD D 11111113k k k k k kj j j j j j u u u u u u +++-+-+-+-=-+由边界条件：(0,)0x u t =，取100k ku u x-=D ，10,0,1,k ku u k ==L (1,)1u t =，41ku =-1 1 0 0 - (1+2s) -s 0 0 -s (1+2s) -s 0 -s (1+2s) -s 0 s L L L L 101210 0 0 0 (1-2s) s 0 0 s (1-2s) s 0 s ( 1 k n n u u s u u u +-éùéùêúêúêúêúêúêú=êúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëûL L L L L 01211-2s) s 0 1 1kn u u u u -éùéùêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëûL 由初始条件：021(72j j u x j ==-，1,2,3j =，212()t s x D ==D -1 1 0 0 0-1 3 -1 0 0 0 -1 3 -1 0 -1 3 -1 0 1012340 0 0 0 01 -1 1 0 00 1 -1 1 0 1 -1 1 1 u u u u u éùéùêúêúêúêúêúêú=êúêúêúêúêúêúëûëû00123 0 1 1u u u u éùéùêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëû000117u u ==，0237u =，0357u =1112327u u -=，111000123123337u u u u u u -+-=-+=，11100234235317u u u u u -+-=-+=114591u =125191u =，136991u =6.2抛物形方程【6.2.1】分别用下面方法求定解问题22(,0)4(1)(0,)(1,)0u u t x u x x x u t u t 춶=ﶶïï=-íï==ïïî01,0x t <<>（1）取0.2x D =，1/6l =用显式格式计算1i u ；(2)取0.2,0.01x t D =D =用隐式格式计算两个时间步。
偏微分方程教程答案
偏微分方程教程答案【篇一：偏微分方程数值解习题解答案】class=txt>3页13页【篇二：3.1 常微分方程课后答案】方程dy=x+y2通过点(0,0)的第三次近似解； dx解：取?0(x)?0 12x 002xx11152x ?2(x)?y0??[x??1(x)]dx??[x?(x2)2]dx?x2?002220x1152x)]dx ?3(x)?y0??[x?(x2?0220115181x?x?x11= x2?2201604400dy 2 求方程=x-y2通过点(1,0)的第三次近似解；dx ?1(x)?y0??(x?y0)dx??xdx?x2x解：令?0(x)?012x 002xx12212152?(x)?y?[x??(x)]dx?[x?(x)]dx?x?x201?0?02220x1152x)]dx?3(x)?y0??[x?(x2?0220115181x?x?x11 =x2?2201604400则?1(x)?y0??(x?y0)dx??xdx?x2x3 题求初值问题：?dy??x2r：x??1，y?1 ?dx??y(?1)?0的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；b1解：因为 m=max{x2?y2}=4 则h=min(a,)= m41则解的存在区间为x?x0=x?(?1)=x?1? 4令 ?0(x)=0 ;11?1(x)=y0+?(x2?0)dx=x3+; 33x0x?2(x) 13xx4x7111312=y0+?[x?(x?)]dx=x---+ 3942186333?12x又 ?f(x,y)?2=l ?ym*l2311则：误差估计为：?2(x)??(x)?h= 24(2?1)2dy334 题讨论方程：?y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， dx21并求通过点（0，0）的一切解；?f(x,y)13解：因为=y在y?0上存在且连续； ?y2?23 而y3在y???0上连续 2dy33由 ?y有：y=（x+c）2 dx2131又因为y(0)=0 所以：y=x另外 y=0也是方程的解；?3?2故方程的解为：y=?x??0x?0 x?032或 y=0;6题证明格朗瓦耳不等式：设k为非负整数，f(t)和g(t)为区间??t??上的连续非负函数，且满足不等式：tf(t)?k+?f(s)g(s)ds,??t???t则有：f(t)?kexp(?g(s)ds),??t???t证明：令r（t）=?f(s)g(s)ds,则r(t)=f(?r(t)-r(t)g(t)= f(t)g(t)- r(t)g(t)?kg(t)r(t)- r(t)g(t)?kg(t);t两边同乘以exp(-?g(s)ds)则有：?tt r(t) exp(-?g(s)ds)-r(t)g(t) exp(-?g(s)ds)??t? kg(t) exp(-?g(s)ds)?两边从?到t积分：tttr(t) exp(-?g(s)ds)?-?kg(s)dsexp(-?g(r)dr)ds???tt即 r(t) ??kg(s)ds exp(-?g(r)dr)ds?stt又 f(t) ?1?k+r(t) ?k+k?g(s)exp(-?g(r)dr)ds?sts?k(1-1+ exp(-?g(r)dr)=k exp(?g(r)dr)stt即 f(t) ?k?g(r)dr;?7题假设函数f(x,y)于（x0,y0）的领域内是y的不增函数，试证方程dy= f(x,y)满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧最多只有一个解；dx证明：假设满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧有两个?(x),?(x)则满足：x?(x)= y0+?f(x,?(x))dxx0x?(x)= y0+?f(x,?(x))dxx0不妨假设?(x)??(x)，则?(x)- ?(x)?0xx而?(x)- ?(x)= ?f(x,?(x))dx-?f(x,?(x))dxx0x0x=?[f(x,?(x))?f(x,?(x))dxx0又因为 f(x,y)在（x0,y0）的领域内是y的增函数，则：f(x, ?(x))-f(x, ?(x))?0x则?(x)- ?(x)= ?[f(x,?(x))?f(x,?(x))dx?0x0则?(x)- ?(x)?0所以 ?(x)- ?(x)=0，即 ?(x)= ?(x) 则原命题方程满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧最多只有一个解；【篇三：同济第五版高数习题答案】试说出下列各微分方程的阶数:(1)x(y′)?2yy′+x=0;解一阶.(2)xy′?xy′+y=0;解一阶.(3)xy′′′+2y′+xy=0;解三阶.(4)(7x?6y)dx+(x+y)dy=0;解一阶.(5)解二阶.;222(6) .解一阶.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:(1)xy′=2y, y=5x;解y′=10x.22 因为xy′=10x=2(5x)=2y, 所以y=5x是所给微分方程的解.(2)y′+y=0, y=3sin x?4cos x;解y′=3cos x+4sin x.因为y′+y=3cos x+4sin x+3sin x?4cos x=7sin x?cos x≠0,所以y=3sin x?4cos x不是所给微分方程的解.(3)y′′?2y′+y=0, y=xe;x2xxxx2x22 解y′=2xe+xe, y′′=2e+2xe+2xe+xe=2e+4xe+xe . 因为y′′?2y′+y=2e+4xe+xe?2(2xe+xe)+xe=2e≠0,所以y=xe不是所给微分方程的解.12122x2xx2x2xxxx2xxx2x解 , .因为=0,所以是所给微分方程的解.3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:(1)(x?2y)y′=2x?y, x?xy+y=c;解将x?xy+y=c的两边对x求导得2x?y?xy′+2y y′=0,即(x?2y)y′=2x?y,所以由x?xy+y=c所确定的函数是所给微分方程的解.(2)(xy?x)y′′+xy′+yy′?2y′=0, y=ln(xy).解将y=ln(xy)的两边对x求导得再次求导得, 即 .2222222.注意到由可得 , 所以从而(xy?x)y′′+xy′+yy′?2y′=0,即由y=ln(xy)所确定的函数是所给微分方程的解.4. 在下列各题中, 确定函数关系式中所含的参数, 使函数满足所给的初始条件:(1)x?y=c, y|=5;x=0222 ,解由y|=0得0?5=c, c=?25, 故x?y=?25.x=012222 (2)y=(c+cx)e, y|=0, y′|=1;解y′=ce+2(c+cx)e. 21222xx=02x x=02x由y|=0, y′|=1得 x=0x=0,解y′=ccos(x?c).12, 即,解之得c=1, 1, 故 , 即y=?cos x .5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1)曲线在点(x, y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方; 解设曲线为y=y(x), 则曲线上点(x, y)处的切线斜率为y′, 由条件y′=x, 这便是所求微分方程.(2)曲线上点p(x, y)处的法线与x轴的交点为q, 且线段pq被y轴平分.解设曲线为y=y(x), 则曲线上点p(x, y)处的法线斜率为 , 由条件第pq中点的横坐标为0, 所以q点的坐标为(?x, 0), 从而有, 即yy′+2x=0.6. 用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压p对于温度t的变化率与气压成正比, 所温度的平方成反比.解, 其中k为比例系数.习题12?111. 试用幂级数求下列各微分方程的解:(1)y′?xy?x=1;解设方程的解为, 代入方程得,即 .可见a?1=0, 2a?a?1=0, (n+2)a1202n+2?a=0(n=1, 2, ? ? ?),n 于是,,, , , ? ? ?. , ? ? ? ,所以,即原方程的通解为 .(2)y′′+xy′+y=0;解设方程的解为, 代入方程得,即 ,于是, , ??, , , ? ? ?.所以,即原方程的通解为.(3)xy′′?(x+m)y′+my=0(m为自然数);解设方程的解为, 代入方程得,?即 .可见(a?a)m=0, (n?m)[(n+1)a01 n+1?a]=0 (n≠m),n于是a=a, , .01所以,即原方程的通解为(其中c1, c2为任意常数).(4)(1?x)y′=x2?y;解设方程的解为, 代入方程得,即可见a1+a0=0, 2a2=0, 3a3?a2?1=0, (n+1)an+1?(n?1)a n=0(n≥3),于是a1=?a0, a2=0, , (n≥4).因此原方程的通解为(c=a(5)(x+1)y′=x20为任意常数). . ?2x+y..。
2024年考研数学偏微分方程题目详解与答案
2024年考研数学偏微分方程题目详解与答案在2024年的考研数学试卷中，偏微分方程题目一直是考生们关注和备考的重点。
本文将详细解析2024年考研数学偏微分方程题目，并提供详细的解答和答案。
一、第一题题目描述：给定二阶常系数线性偏微分方程 $\frac{{\delta^2u}}{{\delta x^2}} + c\frac{{\delta u}}{{\delta t}} + ku = f(x, t)$，其中 $u = u(x, t)$ 为未知函数，$c, k$ 为常数，$f(x, t)$ 为已知连续函数。
要求求解此偏微分方程。
解析：根据题目所给的偏微分方程可知，我们需要求解二阶常系数线性偏微分方程。
此类方程的典型特点是对时间 $t$ 的导数项和对空间$x$ 的二阶导数项。
我们可以采用特征线法来求解此类方程。
首先，我们设方程的通解形式为 $u(x, t) = X(x)T(t)$，其中$X(x)$ 和 $T(t)$ 分别是 $x$ 和 $t$ 的函数。
将通解带入方程中得到：$\frac{{X''}}{{X}} + c\frac{{T'}}{{T}} + k = \frac{{f(x, t)}}{{XT}}$由于方程的左侧只与 $x$ 有关，右侧只与 $t$ 有关，故两侧等于某个常数 $-\lambda$。
得到两个常微分方程：$X'' + \lambda X = 0$ 和 $T' + \left(c -\lambda\right) T = 0$对于方程 $X'' + \lambda X = 0$，根据 $\lambda$ 的值分为三种情况讨论：1. 当 $\lambda > 0$ 时，方程的通解为 $X(x) = A\cos(\sqrt{\lambda}x) + B\sin(\sqrt{\lambda}x)$。
2. 当 $\lambda = 0$ 时，方程的通解为 $X(x) = Ax + B$。
偏微分方程的数值求解方法
偏微分方程的数值求解方法偏微分方程是描述自然现象的重要工具，例如描述热传导、电磁波传播、流体运动等。
然而大多数情况下，这些方程很难通过解析方式求解，因此需要数值求解方法。
本文将介绍偏微分方程的数值求解方法及其应用。
一、有限差分法有限差分法是一种常见的偏微分方程数值求解方法。
它将原本连续的区域离散化，将偏微分方程转化为差分方程。
例如对于一维热传导方程：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$其中 $u(x, t)$ 是温度，$\alpha$ 是热扩散系数。
我们可以选择将空间分成 $N$ 个网格，时间分成 $M$ 个步骤。
则有：$$u_i^{m+1} = u_i^m + \frac{\alpha\Delta t}{\Deltax^2}(u_{i+1}^m - 2u_i^m + u_{i-1}^m)$$其中 $u_i^m$ 表示在位置 $i\Delta x$，时间 $m\Delta t$ 时的温度值。
这是一个显式求解方程，可以直接按照时间步骤迭代计算。
不过由于它的误差可能会增长，因此需要小心选择时间步长和空间步长，以保证误差不会过大。
二、有限元法有限元法是一种更加通用的偏微分方程数值求解方法。
它将连续区域离散化成一些小段，称为单元。
然后针对每个单元，将其上的偏微分方程转化为局部插值函数的方程求解。
例如对于一维波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$我们可以选择将空间分成 $N$ 个网格，用有限元方法将每个网格分成若干个单元。
则对于每个单元 $i$，我们可以得到一个局部插值函数 $u^i(x, t)$ 来近似解该单元上的偏微分方程。
这里不再赘述该函数的形式。
另外，我们还需要满足界面上的连续性和斜率匹配条件，以保证整体解是连续的。
偏微分方程数值解期末试题及参考答案
《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准专业班级信息与计算科学开课系室考试日期 2006.4.14命题教师王子亭偏微分方程数值解试题(06A)参考答案与评分标准信息与计算科学专业一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使 )(min )(0x J x J nRx ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax =解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、 对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()(b u a u b a x f qu dxdu p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)()(),,(|{110==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du pv u a b a ba ==+=⎰⎰,),(10b a H v ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(10*b a H u ∈,使)(min )(1*u J u J H u ∈= (4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0|)1,0()1,0(),(,12222G u G y x yux u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
偏微分方程数值习题解答
李微分方程数值解习题解答 1-1 如果0)0('=ϕ，则称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解证明:由)(λϕ的定义与内积的性线性性质,得),()),((21)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλϕ+-++=+=),(2),()(200x Ax x b Ax x J λλ+-+=),(),()(0'x Ax x b Ax λλϕ+-=必要性:由0)0('=ϕ,得,对于任何n R x ∈,有0),(0=-x b Ax ,由线性代数结论知,b Ax b Ax ==-00,0充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,0|),(),()0(00'=+-==λλϕx Ax x b Ax即0x 是)(x J 的驻点. §1-2补充: 证明)(x f 的不同的广义导数几乎处处相等.证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意)()(0I C x ∞∈ϕ,有⎰⎰-=ba ba dx x x f dx x x g )()()()('1ϕϕ ⎰⎰-=ba ba dx x x f dx x x g )()()()('2ϕϕ 两式相减,得到)(0)()(021I C x g g ba ∞∈∀=-⎰ϕϕ 由变分基本引理,21g g -几乎处处为零,即21,g g 几乎处处相等.补充:证明),(v u a 的连续性条件证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式||||.||||||||.|||||)(||),(|'''''v u M v u M dx quv v pu v u a ba +≤+=⎰11*||||.||||2v u M ≤,其中},max{'*M M M =习题:1 设)('x f 为)(x f 的一阶广义导数,试用类似的方法定义)(x f 的k 阶导数,...2,1(=k ) 解:一阶广义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义:对于)()(2I L x f ∈,若有)()(2I L x g ∈,使得对于任意的)(0I C ∞∈ϕ,有 ⎰⎰-=bak kba dx x x f dx x x g )()()1()()()(ϕϕ则称)(x f 有k 阶广义导数,)(x g 称为)(x f 的k 阶广义导数,并记kk dxfd x g =)(注:高阶广义导数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数.2.利用)(2I L 的完全性证明))()((1I H I H m 是Hilbert 空间.证明:只证)(1I H 的完全性.设}{n f 为)(1I H 的基本列,即0||||||||||||0''01→-+-=-m n m n m n f f f f f f因此知}{},{'n n f f 都是)(2I L 中的基本列(按)(2I L 的范数).由)(2I L 的完全性,存在)(,2I L g f ∈,使0||||,0||||0'0→-→-g f f f n n ,以下证明0||||1→-f f n (关键证明dxdfg =)由Schwarz 不等式,有00||||.|||||)())()((|ϕϕf f x x f x f n ba n -≤-⎰00'''|||||||||)())()((|ϕϕf f dx x x g x f n ba n -≤-⎰对于任意的)()(0I C x ∞∈ϕ,成立⎰⎰=∞→ba ba n n dx x x f dx x x f )()()()(lim ϕϕ⎰⎰=∞→ba b a nn dx x x g dx x x f )()()()(lim 'ϕϕ由⎰⎰-=b a nba ndxxxfdxxxf)()()()(''ϕϕ取极限得到dxxxfdxxxg baba⎰⎰-=)()()()('ϕϕ即')(fxg=,即)(1IHf∈,且||||||||||||''1→-+-=-ffffffnnn故)(1IH中的基本列是收敛的,)(1IH是完全的.3.证明非齐次两点边值问题证明:边界条件齐次化令)()(axxu-+=βα,则0uuw-=满足齐次边界条件.w满足的方程为LufLuLuLw-=-=,即w对应的边值问题为⎩⎨⎧==-=0)(,0)('b w a w Lu f Lw (P) 由定理知,问题P 与下列变分问题等价求)(min )(,**12*1w J w J H C w EHw E ∈=∈ 其中),(),(21)(0*w Lu f w w a w J --=.而Cu u a u Lu u J u u Lu f u u u u a w J +-+=-----=),(),()(~),(),(21)(000000*而200)()(),(),(C b u b p u u a u Lu +-=-β从而**)()()(~)(C b u b p u Jw J +-=β 则关于w 的变分问题P 等价于:求α=∈)(,12*a u H C u使得)(min )()(*1u J u J a u H u α=∈=其中)()(),(),(21)(b u b p u f u u a u J β--=4就边值问题（）建立虚功原理 解:令)(0a x u -+=βα,0u u w -=,则w 满足)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw等价于:1E H v ∈∀0),(),(0=--v Lu f v Lw应用分部积分,⎰⎰+-=-=-b a b a b a dx dxdv dx dw p v dx dw p vdx dx du p dx d v dx dw p dx d |)()),(( 还原u ,)()(),(),(),(),(),(),(),(),(000b v b p v f v u a v u a v Lu v f v u a v Lu f v w a β--=-+-=--于是,边值问题等价于:求α=∈)(,1a u H u ,使得1E H v ∈∀,成立0)()(),(),(=--b v b p v f v u a β注:形式上与用v 去乘方程两端,应用分部积分得到的相同. 5试建立与边值问题等价的变分问题.解:取解函数空间为)(20I H ,对于任意)(20I H v ∈ 用v 乘方程两端,应用分部积分,得到0),(),(44=-+=-v f u dx ud v f Lu而⎰⎰-==b a b a b a dx dxdvdx u d v dx u d vdx dx u d v dx u d .|),(33334444 dx dxv d dx u d dx dx vd dx u d dx dv dx u d b a b a b a ⎰⎰=+-=2222222222| 上式为),(][2222v f dx uv dxvd dx u d b a =+⎰定义dx uv dxvd dx u d v u a ba ][),(2222+=⎰,为双线性形式.变分问题为:求)(20I H u ∈,)(20I H v ∈∀),(),(v f v u a =1-41.用Galerkin Ritz -方法求边值问题⎩⎨⎧==<<=+-1)1(,0)0(102"u u x x u u 的第n 次近似)(x u n ,基函数n i x i x i ,...,2,1),sin()(==πϕ解:(1)边界条件齐次化:令x u =0,0u u w -=,则w 满足齐次边界条件,且)1(,0)0(20==-=-=w w x x Lu Lu Lw第n 次近似n w 取为∑==n i i i n c w 1ϕ,其中),...2,1(n i c i =满足的Galerkin Ritz -方程为n j x x c a j ni i j i ,...,2,1),(),(21=-=∑=ϕϕϕ 又xd jx ix ij dx x j x i dxx j x i ij dx a j i jij i ⎰⎰⎰⎰-=+=+=ππππππππϕϕϕϕϕϕ)cos()cos(2)sin()sin()cos()cos()(),(1010210''⎰-+πππjx ix sin sin 21由三角函数的正交性,得到⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=j i j i i a j i ,0,212),(22πϕϕ而]1)1[()(2)sin()1(),(3102--=-=-⎰jj j dx x j x x x x ππϕ 于是得到⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=为偶数为奇数j j j j a x x c j j j j 0)1()(8),(),(2232ππϕϕϕ最后得到∑+=-+---+=]21[1233])12(1[)12(])12sin[(8)(n k n k k x k x x u ππ 2.在题1中,用0)1(=u 代替右边值条件,)(x u n 是用Galerkin Ritz -方法求解相应问题的第n 次近似,证明)(x u n 按)1,0(2L 收敛到)(x u ,并估计误差. 证明:n u 对应的级数绝对收敛,由}{sin x i π的完全性知极限就是解)(x u ,其误差估计为338nR n π≤3.就边值问题和基函数),...,2,1()()(n i a x x i i =-=ϕ,写出Galerkin Ritz -方程解:边界条件齐次化,取)(0a x u -+=βα,0u u w -=, w 对应的微分方程为)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw对应的变分方程为0),(),(0=--v Lu f v w a)]([)(000a x q dx dpqu dx du p dx d Lu -++-=+-=βαβ⎰⎰+-=-ba b a dx x pv b v b p v dxdp )()()(' 变分方程为dx v qu x pv b v b p v f v w a ba ⎰--+=])([)()(),(),(0'ββ取n i a x x i i ,...,2,1,)()(=-=ϕ,则Galerkin -Ritz 方程为⎰⎰∑-++--+=-=ba i ba i i nj j jidxa x x q dx a x i x pb b p fc a )]()[()()()()(),(),(11βαβϕβϕϕϕ⎰+=ba j i j i j i dx q p a ][),(''ϕϕϕϕϕϕ取1,0,1===f q p ,具体计算1=n , )(1),(11a b dx a ba -==⎰ϕϕ221)(21)()()(21a b a b a b a b d -=---+-=ββ,)(211a b c -=,即解)(2101a x u u -+= 2=n :22111)()(2),(),(),(a b dx a x a a b a ba -=-=-=⎰ϕϕϕϕ3222)(34)(4),(a b dx a x a ba -=-=⎰ϕϕ3223222)(31)()()(31)(2)()(a b a b a b a b dxa x ab dx a x d ba b a -=---+-=---+-=⎰⎰ββββ 得到方程组为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛----3221322)(31)(21c )(34)()(a b a b c a b a b a b a b特别取1,0==b a ,有⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31213411121c c求解得到1,21,6131122=-=-=c c c其解为202)(21)(a x a x u u ---+=C h2 椭圆与抛物型方程有限元法§ 用线性元求下列边值问题的数值解:10,2sin242"<<=+-x x y y ππ0)1(,0)0('==y y此题改为4/1,0)1()0(,1"====+-h y y y y解: 取2/1=h ,)2,1,0(==j jh x j ,21,y y 为未知数.Galerkin 形式的变分方程为),(),(v f v Lu =,其中⎰⎰+-=10210"4),(uvdx vdx u v Lu π,⎰=1)(2sin 2),(dx x xv v f π又dx v u dx v u v u vdx u ⎰⎰⎰=+-=-10''10''10'10"|因此dx uv v u v u a )4(),(12''⎰+=π在单元],[1i i i x x I -=中,应用仿射变换(局部坐标)hx x i 1--=ξ节点基函数为)3,2,1(,0,,,1)(111=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-=≤≤-=-=--+i other x x x h x x x x x h x x x i i i i i i i ξξξξϕ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=++=⎰⎰⎰⎰1022210222222'111)1(41]41[]4[),(1021ξξπξξπϕπϕϕϕd h d hh dxa x x x x取2/1=h ,则计算得124),(211πϕϕ+=a122)1(41[),(210221πξξξπϕϕ+-=-+-=⎰d h h a⎰⎰-+++=10101)1)(2121(2sin )0(2sin [2),(ξξξπξξξπϕd d h h f ⎰⎰-++=1010)1(4)1(sin 2sin ξξξπξξξπd d hξξξπϕd h f ⎰+=102)2121(2sin 2),(代数方程组为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(),(),(),(),(),(212122212111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕf f y y a a a a 代如求值.取4/1=h ,未知节点值为4321,,,u u u u ,方程为4,3,2,1),(),(41==∑=j f ua j i ijiϕϕϕ应用局部坐标ξ表示,⎰⎰-+++=10221022])1(41[)41(),(ξξπξξπϕϕd hh d h h a j j248]88[21022πξξπ+=+=⎰dξξξπϕϕd hh a j j ])1(41[),(1021⎰-+-=++964)1(164212πξξξπ+-=-+-=⎰d 964),(21πϕϕ+-=-j j a系数矩阵为}964,248,964{222πππ+-++-=diag A取1=f ,41)1(),(1010=-+=⎰⎰ξξξξϕd h d h f j⎰⎰-+++=+10110)1)]((2sin[2)](2sin[2),(ξξξπξξξπϕd h x h d h x h f j j j ⎰⎰-++++=1010)1)](441(2sin[21)]44(2sin[42ξξξπξξξπd j d j⎰⎰++⨯=+++++-+=100110|)]8)1([cos(821]8)1(sin[21]8)1(sin[]8)(sin[21ξππξξπξξξπξπj d j d j j+2.就非齐次第三边值条件22'11')()(,)()(βαβα=+=+b u b u a u a u导出有限元方程.解:设方程为f qu pu Lu =+-='')( 则由),()]()[()()]()[()(),(|),)((''1122'''''v pu a u a v a p b u b v b p v pu v pu v pu b a----=-=αβαβ变分形式为:),(1b a H v ∈∀)()()()(),()()()()()()(),(),(1212''a v a p b v b p v f a v a u a p b v b u b p v qu v pu ββαα-+=-++)(),(0b u u a u u N ==记)()()()(),()()()()()()()(),(),(),(1212''a v a p b v b p v f v F a v a u a p b v b u b p v qu v pu v u A ββαα-+=-++=则上述变分形式可表示为)(),(v F v u A =设节点基函数为),...,2,1,0)((N j x j =ϕ 则有限元方程为),...,1,0()(),(0N j F u A j Ni i j i ==∑=ϕϕϕ具体计算使用标准坐标ξ.。
偏微分课后习题答案终极版
∂u t sΔxΔt ∂t
cρ
∂u ∂ 2u s Δ x Δ t = k t ∂t ∂x 2
x sΔxΔt
−
4k1 (u − u1 )sΔxΔt l
消去 sΔxΔt ，再令 Δx → 0 ， Δt → 0 得精确的关系：
cρ
∂ 2 u 4k ∂u = k 2 − 1 (u − u1 ) l ∂t ∂x
πl 2
4
为 S 。由假设，在任意时刻 t 到 t + Δt 内流入截面坐标为 x 到 x + Δx 一小段细杆的热量为
dQ1 = k
∂u ∂x
x + Δx sΔt − k
∂u ∂x
x sΔt = k
∂ 2u ∂x 2
x sΔxΔt
杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻 t 到 t + Δt 在 截面为 x 到 x + Δx 一小段中产生的热量为
2
代入化简即得 (3) 因
x 2uηη = 0 uηη = 0 ( x ≠ 0)
u xx − 2 cos xu xy − (3 + sin 2 x)u yy − yu y = 0
Δ = cos 2 x + (3 + sin 2 x) = 4 > 0 为双曲型.特征方程为 dy dy ( ) 2 + 2 cos x − (3 + sin 2 x) = 0 dx dx
于是得运动方程
ρ ( x) s( x) ⋅ Δx ⋅ utt ( x, t ) = ESu x ( x + Δx) | x + Δx − ESu x ( x) | x ρ ( x) s( x)u tt =
(完整word版)偏微分方程数值解法答案
1. 课本2p 有证明2. 课本812,p p 有说明3. 课本1520,p p 有说明4. Rit2法，设n u 是u 的n 维子空间，12,...n ϕϕϕ是n u 的一组基底，n u 中的任一元素n u 可表为1nn i i i u c ϕ==∑，则,1111()(,)(,)(,)(,)22j nnn n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ϕϕϕ===-=-∑∑是12,...n c c c 的二次函数，(,)(,)i j j i a a ϕϕϕϕ=，令()0n jJ u c ∂=∂，从而得到12,...n c c c 满足1(,)(,),1,2...niji j i a c f j n ϕϕϕ===∑，通过解线性方程组，求的i c ，代入1nn i i i u c ϕ==∑，从而得到近似解n u 的过程称为Rit2法简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，1nn i ii u c ϕ==∑，利用,1111()(,)(,)(,)(,)22j nnn n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ϕϕϕ===-=-∑∑确定i c ，求得近似解n u 的过程Galerkin 法：为求得1nn i ii u c ϕ==∑形式的近似解，在系数i c 使n u 关于n V u ∈，满足(,)(,)n a u V f V =，对任意nV u ∈或（取,1j V j nϕ=≤≤）1(,)(,),1,2...nijij i a cf j n ϕϕϕ===∑的情况下确定i c ，从而得到近似解1nn i i i u c ϕ==∑的过程称Galerkin 法为 Rit2-Galerkin 法方程：1(,)(,)nijij i a cf ϕϕϕ==∑5. 有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。
偏微分方程数值解例题答案
yyy[y例11110.1[1(101)]0.9,10.1[0.9(10.10.9)]0.9019,1(0.90.9019)0.900952p c y y y ì=-´´+´=ïï=-´´+´=íïï=+=î20.900950.1[0.90095(10.10.90095)]0.80274,0.900950.1[0.80274(10.20.80274)]0.80779,1(0.802740.80779)0.805262p c y y yì=-´´+´=ïï=-´´+´=íïï=+=î 这样继续计算下去，其结果列于表9.1. 表9.1 Euler 方法方法改进的Euler 方法方法准确值准确值n xn yny)(n x y0.1 0.9000000 0.9009500 0.9006235 0.2 0.8019000 0.8052632 0.8046311 0.3 0.7088491 0.7153279 0.7144298 0.4 0.6228902 0.6325651 0.6314529 0.5 0.5450815 0.5576153 0.5563460 0.6 0.4757177 0.4905510 0.4891800 0.7 0.4145675 0.4310681 0.4296445 0.8 0.3610801 0.3786397 0.3772045 0.9 0.3145418 0.3326278 0.3312129 1.0 0.2741833 0.2923593 0.2909884 从表9.1可以看出,Euler 方法的计算结果只有2位有效数字,而改进的Euler 方法确有3位有效数字,这表明改进的Euler 方法的精度比Euler 方法高. 例2 试用Euler 方法、改进的Euler 方法及四阶经典R-K 方法在不同步长下计算初值问题ïîïíì=££+-=1)0(,10),1(d d y x xy y xy 在0.2、0.4、0.8、1.0处的近似值，并比较它们的数值结果. 解 对上述三种方法,每执行一步所需计算)1(),(xy y y x f +-=的次数分别为1、2、4。
经典偏微分方程课后习题答案
第四章 抛物型微分方程有限差分法1设已知初边值问题22, 01, 0<(,0)sin , 01(0,)(1,)0, 0 u ux t t x u x x x u t u t t T π⎧∂∂=<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩T ≤, 试用最简显格式求上述问题的数值解。
取h=0.1,r=0.1.0 1/10 2/10 … 1 T 2τ τt解: 1.矩形网格剖分区域. 取空间步长1, 时间2510h =0.00τ=以及0.01τ=的矩形网格剖分区域, 用节点)表示坐标点(,j k (,)(,)j k x t jh k τ=, 0,1,...1/; 0,1,...,/j h k T τ==, 如图所示.显然, 我们需要求解这(1/1)(/1)h T τ+×+个点对应的函数值. 事实上由已知初边界条件蓝标附近的点可直接得到, 所以只要确定微分方程的解在其它点上的取值即可. 沿用记号[]k(,)j j k u x t =。
u 2. 建立差分格式, 对于11,...1; 0,1,...,1Tj k hτ=−=−, 用向前差商代替关于时间的一阶偏导数, 用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数, 则可定义最简显格式:1122k k k k k1jj j j u u u u u h ++−+=. 变形j τ−−有:1112(12) (k k k kj j j j u ru r u ru r h τ+−+=+−+=(4.1)用向后差商代替关于时间的一阶偏导数, 用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数, 则可定义最简显格式最简隐格式:111122k k k k k j jj j j u u u u u h τ++++−−+=11+−1kj +,变形有:1111(12) k k k j j j ru r u ru u ++−−−++−= (4.2)(4.1)*0.5+(4.2)*0.5得CN 格式为:111112222k k k k k k k k j jj j j j j j u u u u u u u u h τ+++−+−−++−+=111++−1kj +x x变形有:111111(22)(22) k k k k k j j j j j ru r u ru ru r u ru ++−−+−−++−=+−+ (4.3)3 初边界点差分格式处理.对于初始条件u x (,0)sin , 01=π≤≤h 离散为(4.4)0sin 0,1,...1/j u jh j π==对于边界条件离散为(0,)(1,)0, 0 u t u t t T ==≤≤00 0,1,.../k k N u u k T τ===(4.5)总结: 联立方程(4.1)(4.4)(4.5)得到已知问题的最简显格式差分方程组:11100(12)1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k j j j j jk k N u ru r u ru T j k h u jh j h u u k T τπτ+−+⎧=+−+⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩ 联立方程(4.2)( 4.4)( 4.5)得到已知问题的最简隐格式差分方程组:1111100(12) 1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k j j j j jk k N ru r u ru u T j k h u jh j h u u k T τπτ++−−+⎧−++−=⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩ 联立方程(4.3)( 4.4)( 4.5)得到已知问题的CN 格式差分方程组:11111100(22)(22) 1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k k j j j j j jk k N ru r u ru ru r u ru T j k h u jh j h u u k T τπτ++−−+−⎧−++−=+−+⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩1k j + 4 求解并显示结果利用软件计算(Matlab)如上最简显格式差分方程组.h=1/10;tau=0.0025;T=0.5; r=tau/h^2;M=1/h+1;N=T/tau+1; u=zeros(M,N);for m=1:Mu(m,1)=sin((m-1)*h*pi); endu(1,1:N)=0;u(M,1:N)=0;for n=1:N-1for m=2:M-1u(m,n+1)=r*(u(m+1,n)+u(m-1,n))+(1-2*r)*u(m,n); end end u=u’ 这样我们就计算出不同时刻不同位置k t j x 对应的函数值(,)j k u x t 取tau=0.0025, 即r=0.25绘图, 取tau=0.01, r=1再绘图,如图()图4.2 习题1数值解图示(左r=0.25, 右r=1)2.试构造初边值问题 ()()()()(), 0.51, 0,,0, 0.51,0.5,0, 1,0.51,, 0u u x x x T t x x u x x x u ⎪∂u t t u t t T x ϕ⎧∂∂∂⎛⎞=<<<≤⎜⎟⎪∂∂∂⎝⎠⎪⎪=≤≤⎨⎪==−≤≤⎪∂⎩的显格式，并给出其按最大范数稳定的充分条件。
最新偏微分方程数值解试题参考答案
偏微分方程数值解一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使)(min )(0x J x J n Rx ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax = 解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()(b u a u b a x f qu dxdu p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)()(),,(|{11==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u ∈,使)(m in )(10*u J u J H u ∈= (4分) 评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0|)1,0()1,0(),(,12222G u G y x yux u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
偏微分方程的数值解
偏微分方程的数值解当然，请查看以下试题示例：1. 什么是偏微分方程的数值解？- A. 用数值方法求解偏微分方程的方法。
- B. 用解析方法求解偏微分方程的方法。
- C. 用近似方法求解偏微分方程的方法。
- D. 用几何方法求解偏微分方程的方法。
2. 数值解法在解偏微分方程中的作用是什么？- 空格填写：______________。
3. 常见的偏微分方程数值解方法包括哪些？- A. 有限差分法。
- B. 蒙特卡罗法。
- C. 拉格朗日法。
- D. 傅里叶法。
4. 有限差分法（FDM）适用于解决什么类型的偏微分方程？- A. 抛物型。
- B. 椭圆型。
- C. 双曲型。
- D. 超越型。
5. 解偏微分方程的数值方法通常需要进行什么样的数值计算？- 空格填写：______________。
6. 数值解方法的稳定性和收敛性为解偏微分方程的数值解带来什么保证？- 空格填写：______________。
7. 在有限元方法（FEM）中，什么是“元”？- 空格填写：______________。
8. 数值解法中常用的时间步长（time step）是用来控制什么的？- A. 精度。
- B. 稳定性。
- C. 收敛性。
- D. 平滑性。
9. 请列举两种常见的偏微分方程数值解法。
10. 数值解法中常用的空间离散化方法有哪些？11. 解偏微分方程的数值方法中，误差分析如何进行？12. 请简要描述有限元方法（FEM）在解偏微分方程中的应用。
13. 有限差分法和有限元法在解决偏微分方程中有何异同？14. 数值解法如何处理非线性偏微分方程？15. 为什么说数值解法对大规模偏微分方程问题有优势？16. 数值解法的计算效率受哪些因素影响？17. 有限体积法在解偏微分方程中有何特点？18. 数值解法中如何选择合适的网格？19. 如何评估数值解法的稳定性？20. 解偏微分方程的数值方法中，收敛性是如何定义和验证的？希望这些题目能够满足你的需求！。
偏微分方程数值解_Riemann问题
x L u j 0.5 u n j sj 2 其中 ； u R u n s x j 0.5 j 1 j 1 2
最后根据 u jn1 u jn fˆj 0.5 fˆj 0.5 逐个求出下一时刻的 u jn 1 。
当 u j 0.5
当 u j 0.5
③ 在 x j 0.5 , x j 0.5 tn , tn1 上积分 将 x 0.5 u x, tn1 dx x 0.5 u x, tn dx t f u x j 0.5 , t dt t f u x j 0.5 , t dt 0
xi 0 , x j 0 x0
lim
t*
1 1 1 ， x0 1 时，有 t *min ，故在 t * 时，解开始出现间断。 cos x0
（2）数值解与精确解比较
du dt 0, u |t 0 sin x 0.5 原微分方程写成特征形式为 dx u, x | x t 0 0 dt
1
1
u(t=0.4)
0.5
u(t=0.5)
0 0.5 1 1.5 2
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
0
0.5
1
1.5
2
x
x
图 2 t=0~0.5 数值解与精确解的对比
n
， max | a | 1
j
1 2 2 u n 3 un j t f x j t a O t 2 x x j
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1. 课本2p 有证明2. 课本812,p p 有说明3. 课本1520,p p 有说明4. Rit2法，设n u 是u 的n 维子空间，12,...n ϕϕϕ是n u 的一组基底，n u 中的任一元素n u 可表为1nn i i i u c ϕ==∑，则,1111()(,)(,)(,)(,)22j nnn n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ϕϕϕ===-=-∑∑是12,...n c c c 的二次函数，(,)(,)i j j i a a ϕϕϕϕ=，令()0n jJ u c ∂=∂，从而得到12,...n c c c 满足1(,)(,),1,2...nijij i a cf j n ϕϕϕ===∑，通过解线性方程组，求的i c ，代入1nn i i i u c ϕ==∑，从而得到近似解n u 的过程称为Rit2法简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，1nn i ii u c ϕ==∑，利用,1111()(,)(,)(,)(,)22j nnn n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ϕϕϕ===-=-∑∑确定i c ，求得近似解n u 的过程Galerkin 法：为求得1nn i ii u c ϕ==∑形式的近似解，在系数i c 使n u 关于n V u ∈，满足(,)(,)n a u V f V =，对任意nV u ∈或（取,1j V j nϕ=≤≤）1(,)(,),1,2...nijij i a cf j n ϕϕϕ===∑的情况下确定i c ，从而得到近似解1nn i i i u c ϕ==∑的过程称Galerkin 法为 Rit2-Galerkin 法方程：1(,)(,)nijij i a cf ϕϕϕ==∑5. 有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。
6. 解：对求解区间进行网格剖分，节点01......i n a x x x x b =<<<<=得到相邻节点1,i ix x -之间的小区间1[,]i i i I x x -=，1i i i h x x -=-，由节点上的一组值0120,,...l u u u u =，按线性插值公式11()i i n i i i ix x x x u x u u h h ----=+○1 ,1,2...i x I i n ∈=确定试探空间n u ，令1()i i ix x F x h ξ--==○2 把iI 变到ξ轴上的参考但愿[0,1]令01()1,()N N ξξξξ=-=则：011()()()n i iU x N u N u ξξ-=+，i x I ∈○3将○1带入该函数221()(2)2b a J u pu qu fu dx '=+-⎰得到：22221111()(2)()22i i n nb n nn n a I I i i J u pu qu fu dx pu qu dx fu dx ==''=+-=+-∑∑⎰⎰⎰带入○2可得 21211101101()1()[()()(()())2n i i n i i i i i i i i iu u J u p x h h q x h N u N u d h ξξξξξ----=-=++++∑⎰1101101()(()())ni i i i i i h f x h N u N u d ξξξξ--=-++∑⎰○4 令1,11,1()0n j j j jj j j j j j jJ u a u a u a u b u --++∂=++-=∂○5 其中111,110111,111011112,11111100[()]()(1)][()]()(1)][()]()][()]()(1)]j j jj j j j jj j j j j i j j j j j j j j j j j j j j i j j a h p x h h q x h d a h p x h h q x h d a h p x h h q x h d h p x h h q x h d b ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ-----++++----++++=-+++-=-+++-=-++++-+++-=⎰⎰⎰⎰1111100()()(1)j j jj j j h f x h d h f x h d ξξξξξξ-++⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪+++-⎩⎰⎰从而得到12,,...,nu u u 的线性方程组！7.矩形剖分假定区域C1可以分割成为有限个互不重叠的矩形的和，且每个小矩形的边和坐标轴平行，任意两个矩形或者不相交或者有公共的边和公共的顶点，成如此的分割为矩形剖分基函数的取法(1)(1),(,)0,()i iij ij x x y y x y R x yothers ϕ⎧----∈⎪=∆∆⎨⎪⎩其中ij R 是以(,)i j x y 为顶点的矩形单元 ,0x y ∆∆>为ij R 的底和商的长度。
8. 何为三角剖分，基函数怎样取？三角剖分：设G 是多边形域（否则可用多边形域逼近它），将G 分割成有限个三角形之和，使不同三角形无重叠的部，且任一三角形的顶点不属于其他三角形的部，这样就把G 分割成三角形网，称为G 的三角剖分。
基函数的取法：通过构造Lagrange 型插值公式可以得到基函数的取法。
不妨以1(,)P x y 是一次多项式为例，得到1112233(,)P x y L L L μμμ=++，其中L 1是相应于节点1的基函数在△上的限制（具体的过程，可参考课本：P 57 P 58）9.题，参考课后习题P92的第一题，具体过程可参考积分插值的推导过程10，11题不会。
在此将14题推导过程介绍如下：12. 对Possion 方程(,)f x y μ-∆=，建立五点差分格式，并估计截断误差。
取定沿x 轴和y 轴方向的步长h 1和h 2，沿x,y 方向分别用二阶中心差商代替，则1,,1,,1,,1221222[]i j i j i ji j i j i j h ij ij f h h μμμμμμμ+-+--+-+-∆=-+= （五点差分格式）式中,i j μ表示节点(i,j)上的网函数。
令(,)n i j ij x y μμ= (,)(,)n i j ij i j f x y f f x y == 利用Taylor 展式有2462411611122461(,)2(,)(,)(,)(,)(,)()12360i j i j i j i j i j i j x y x y x y x y x y x y h h h h x x xμμμμμμο+--+∂∂∂=+++∂∂∂2462411622222462(,)2(,)(,)(,)(,)(,)()12360i j i j i j i j i j i j x y x y x y x y x y x y h h h hy y yμμμμμμο+--+∂∂∂=+++∂∂∂截断误差为44224212441()(,)(,)()()()12ij i j n i j ijR x y x y h h h h x yμμμμμοο∂∂=∆-∆=-+++∂∂13. 对possion 方程建立，极坐标形式的差分格式poission 方程的极坐标形式为22211[()](,)f γθγγμμμγγθγγθ∂∂∂-∆=-+=∂∂∂ ----- ①其中γ=tan yxθ=0γ≤≤∞ 02θπ≤≤ 利用中心差商公式11,11,11,2222(,)2()11[()]i j i j i j i ji i i i ih γθγγγγμγγμγμμγγγ+-++---++∂∂≈∂∂ ----- ②2,1,,1(,)2222211[]i j i j i j i j i h γθθμμμμγθγ+--+∂≈∂ ----- ③ 将② ③两式代入①式得11,11,11,,1,,12222222()211[](,)i j i j i ji i i i i j i j i j i j i i f h h γθγμγγμγμμμμγθγγ+-++--+--++-+-+= 即poission 方程极坐标形式的差分方程。
14. 解：将1111,,,k k k k j j j j u u u u +-+-按照Taylor 在k j u 处展开整理得到其截断误差为在Richardson 格式（4.1.10）中以111()2n n n j j j μμμ+-=-代入，便得DuFort Frankel 格式： 1111112()()2n n n n n nj j j j j j ah μμμμμμτ+-+-+---++=23412341234111(,)2624n n jjj n x t t t t t μμμμμμττττθ+∂∂∂∂=++++∂∂∂∂ ----- ①23412342234111(,)2624n njjj n x t t t t tμμμμμμττττθ-∂∂∂∂=-+-+∂∂∂∂ ----- ② ①-② 得 11323126n n j jt tμμμμττ+--∂∂=+∂∂ （省去了2τ的商阶无穷小） 从而得到了微分方程左边的误差32316t μτ∂∂同理可得微分方程右边的误差：244242424422422242442241()()12121212a h ah a h a h t t t t t h t h t μμμμμτμτμττ∂∂∂∂∂∂∂+++=++∂∂∂∂∂∂∂从而得到 2422224()()()e a h h t hτμτοτο∂=+++∂ 15.用Fourier 方法讨论向前差分格式的稳定性。
解：向前差分格式111(12)k k k k jj j j u ru r u ru ++-=+-+。
以exp()k kj u v i jh a =代入得1exp()exp((1))(12)exp()exp((1))k v i jh r i j h r i jh r i j h vk a a a a +=++-+-消去exp()i jh a 则知增长因子21(,)(12)(exp()exp())12(1cos )14sin 2p hC x r r i h i h r h r a t a a a ==-++-=--=-由于()2h ph la p =在[0，π]中分布稠密，(随0h ®)为使1(,)p C x t 满足von Neu-Mann 条件，必须且只须网比12r £所以向前差分格式的稳定性条件是12r £16. 用Fourier 方法讨论向后差分格式的稳定性。