非齐次泊松过程与复合泊松过程 共47页
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泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用 了这一过程。
辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发 展了它。
4
二、齐次泊松过程
1.齐次泊松过程的定义：
称计数过程{X(t)≥0}为具有参数λ>0的泊松过程， 若它满足下列条件：
⑴X(0)=0;
⑵X(t)是独立、平稳增量过程;
⑶在任意长度为t的区间内，事件A发生的次数服 从参数λ>0的泊松分布，
即对任意s ,t≥0，有
P{X(t+s) -X(s)=n}= e - t
( t)n
,n=0,1,2…
n!
5
二、齐次泊松过程
解释： 独立增量过程：是指在每一个时间段内事件A发生的次数
强度为λ，因此，在（s ，t＋s）内，其均值为λt。
在非齐次泊松过程中，由于非齐次性，即强度函数的为λ（t），因
此：
在（0 ，s）内，均值为Λ（x）=
s
(t )d t
0
在（0 ，t＋s）内，均值为：Λ（t＋x）=
t＋ s
(t)dt
0
因此，在（s ，t＋s）内，均值为Λ（t＋x）-Λ（x）=
P{X(t+h) –X(t)≥2}=o(h). 在这里，定义与齐次泊松过程相比，出现了微小的变
化。
10
三、非齐次泊松过程
首先，X(t)不再是平稳增量过程。也就是说， 计数过程N(t)在(t,t+s)内(s>0)，事件A发生的次
数N(t+s)﹣N(t)不仅与时间差有关，而且还与
时间段的起始时间有关。
6
二、齐次泊松过程
齐次泊松过程的解释：
称计数过程{X(t)，t≥0}为具有参数λ＞0的泊松过程，若它
满足下列条件： ⑴X(0)=0; ⑵X(t)是独立、平稳增量过程; ⑶X(t)满足下列两式：
P{X(t+h) -X(t)=1}=λh＋o(h), P{X(t+h) -X(t)=2}=o(h). 以上定义说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件 发生，而不能有两个或两个以上的事件同时发生。也就是 说，要么事件发生一次，要么事件不发生。这是泊松过程 的核心概念。
用s除上式两端，并令s→0得
p0(h h,t)-(th)p0(h,t)
4.1
由非齐次泊松过程的定义知，以上偏微分方程满
足下列初始条件 p0(0,t) 1
4.2
15
三、非齐次泊松过程
利用初始条件（4.2）式，对（4.1）积分得
p 0(h ,t)e-tth(x)d xe-[ (t h)- (t)] 4.3
8
三、非齐次泊松过程
从这个例子可以看出，它符合泊松过程，即符合独立 增量过程，且在充分小的时间间隔内，最多只有一个 事件发生，而不能有两个或两个以上的事件同时发生。 但是，和齐次泊松过程比有一个条件变了，λ不再是 常数了。
在齐次泊松过程的讨论中，由于对齐次过程做了时齐 的假设，其均值函数
E（Xt）=λt
t＋ s
(t)dt
s
12
三、非齐次泊松过程
在齐次泊松过程中，事件A在(s ，t＋s)内发生n
次的概率P为： P{X(t+s) –X(s)=n}=
e -t
( t)n
n ! ,n=0,1,2…
其中，t为数学期望，即均值。
因此，可以想象，在非齐次泊松过程中，事件
A在(x ，t＋x)内发生n次的概率P为：
p ( X t h - X t 0 ) p ( X t h s - X t h 0 )
p 0 (h ,t)[1 -(t h )s-o (s)]
14
三、非齐次泊松过程
于是
p 0 ( h s ,t ) - p 0 ( h ,t ) - p 0 ( h ,t ) [( t h ) s - o ( s ) ]
与t成正比，但是现实生活中不可能所有的事情都按齐 次泊松过程发生，因此引入了非齐次泊松过程。
9
三、非齐次泊松过程
非齐次泊松过程的定义：
称计数过程{X(t)，t≥0}为具有强度函数λ(t)非齐次
泊松过程，若它满足下列条件： ⑴X(0)=0 ⑵X(t)是独立增量过程; ⑶X(t)满足下列两式：
P{X(t+h) –X(t)=1}=λ(t)h＋o(h),
非齐次泊松过程 复合泊松过程
主讲人：崔东旭 制作人：崔东旭 高旭 刘涛
2019.11.02
1
一、泊松过程的定义 二、齐次泊松过程
三、非齐次泊松过程 四、复合泊松过程
2
一、泊松过程的定义
泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离 散的随机过程。
一种累计随机事件发生次数的最基本的独立 增量过程。
3
一、泊松过程的定义
其次，定义公式里不再是泊松过程的强度λ，
也就是说数学期望不再是E[ X(t)]= λt，而出现
了λ(t)，叫做强度函数。
因此，引入累积强度函数的概念:(x)
t
(t)dt
0
11
三、非齐次泊松过程
下面我们将从均值函数的层面解释非齐次泊松过程与齐次泊松过程 的不同之处：
在齐次泊松过程中，由于齐次性，即它的平稳增量过程，过程的
7
三、非齐次泊松过程
例: 设电话总机在早晨8时接到的电话呼叫数为20 个；8时至11时接到的电话呼叫数线性增加，接 到的电话呼叫数为50个;11时至15 时保持平均到 呼叫数不变; 15时到18时接到的电话呼叫数线性 下降,到18时为20个。接到的呼叫在不相重叠时 间间隔内是相互独立的,求9时至11时有30个呼 叫数的概率
是相互独立的。 平稳增量过程：是指计数过程N(t)在(t,t+s) 内(s>0)，事件A
发生的次数N(t+s)-N(t) 仅与时间差有关，而与时间段的起 始时间无关。
因此，齐次泊松过程是平稳增量过程且E [X(t)]= λt。
由于λ= E[ X（t t）单] 位时间内事A发生的平均个数，
故称为此过程的速率或强度。
P=
( （t＋ x ）- （x ）)ne-[ （t＋ x ）- （x ）]
n !
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三、非齐次泊松过程
证明：对t≥0,h﹥0及非负整数n，
定义 p n(h ,t)p (X th-X tn ) 则由独立增量性和和非齐次泊松过程的定义知，
对任意s﹥0，有ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p 0(h s,t)p (X t h s-X t 0 )
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用 了这一过程。
辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发 展了它。
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二、齐次泊松过程
1.齐次泊松过程的定义：
称计数过程{X(t)≥0}为具有参数λ>0的泊松过程， 若它满足下列条件：
⑴X(0)=0;
⑵X(t)是独立、平稳增量过程;
⑶在任意长度为t的区间内，事件A发生的次数服 从参数λ>0的泊松分布，
即对任意s ,t≥0，有
P{X(t+s) -X(s)=n}= e - t
( t)n
,n=0,1,2…
n!
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二、齐次泊松过程
解释： 独立增量过程：是指在每一个时间段内事件A发生的次数
强度为λ，因此，在（s ，t＋s）内，其均值为λt。
在非齐次泊松过程中，由于非齐次性，即强度函数的为λ（t），因
此：
在（0 ，s）内，均值为Λ（x）=
s
(t )d t
0
在（0 ，t＋s）内，均值为：Λ（t＋x）=
t＋ s
(t)dt
0
因此，在（s ，t＋s）内，均值为Λ（t＋x）-Λ（x）=
P{X(t+h) –X(t)≥2}=o(h). 在这里，定义与齐次泊松过程相比，出现了微小的变
化。
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三、非齐次泊松过程
首先，X(t)不再是平稳增量过程。也就是说， 计数过程N(t)在(t,t+s)内(s>0)，事件A发生的次
数N(t+s)﹣N(t)不仅与时间差有关，而且还与
时间段的起始时间有关。
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二、齐次泊松过程
齐次泊松过程的解释：
称计数过程{X(t)，t≥0}为具有参数λ＞0的泊松过程，若它
满足下列条件： ⑴X(0)=0; ⑵X(t)是独立、平稳增量过程; ⑶X(t)满足下列两式：
P{X(t+h) -X(t)=1}=λh＋o(h), P{X(t+h) -X(t)=2}=o(h). 以上定义说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件 发生，而不能有两个或两个以上的事件同时发生。也就是 说，要么事件发生一次，要么事件不发生。这是泊松过程 的核心概念。
用s除上式两端，并令s→0得
p0(h h,t)-(th)p0(h,t)
4.1
由非齐次泊松过程的定义知，以上偏微分方程满
足下列初始条件 p0(0,t) 1
4.2
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三、非齐次泊松过程
利用初始条件（4.2）式，对（4.1）积分得
p 0(h ,t)e-tth(x)d xe-[ (t h)- (t)] 4.3
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三、非齐次泊松过程
从这个例子可以看出，它符合泊松过程，即符合独立 增量过程，且在充分小的时间间隔内，最多只有一个 事件发生，而不能有两个或两个以上的事件同时发生。 但是，和齐次泊松过程比有一个条件变了，λ不再是 常数了。
在齐次泊松过程的讨论中，由于对齐次过程做了时齐 的假设，其均值函数
E（Xt）=λt
t＋ s
(t)dt
s
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三、非齐次泊松过程
在齐次泊松过程中，事件A在(s ，t＋s)内发生n
次的概率P为： P{X(t+s) –X(s)=n}=
e -t
( t)n
n ! ,n=0,1,2…
其中，t为数学期望，即均值。
因此，可以想象，在非齐次泊松过程中，事件
A在(x ，t＋x)内发生n次的概率P为：
p ( X t h - X t 0 ) p ( X t h s - X t h 0 )
p 0 (h ,t)[1 -(t h )s-o (s)]
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三、非齐次泊松过程
于是
p 0 ( h s ,t ) - p 0 ( h ,t ) - p 0 ( h ,t ) [( t h ) s - o ( s ) ]
与t成正比，但是现实生活中不可能所有的事情都按齐 次泊松过程发生，因此引入了非齐次泊松过程。
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三、非齐次泊松过程
非齐次泊松过程的定义：
称计数过程{X(t)，t≥0}为具有强度函数λ(t)非齐次
泊松过程，若它满足下列条件： ⑴X(0)=0 ⑵X(t)是独立增量过程; ⑶X(t)满足下列两式：
P{X(t+h) –X(t)=1}=λ(t)h＋o(h),
非齐次泊松过程 复合泊松过程
主讲人：崔东旭 制作人：崔东旭 高旭 刘涛
2019.11.02
1
一、泊松过程的定义 二、齐次泊松过程
三、非齐次泊松过程 四、复合泊松过程
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一、泊松过程的定义
泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离 散的随机过程。
一种累计随机事件发生次数的最基本的独立 增量过程。
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一、泊松过程的定义
其次，定义公式里不再是泊松过程的强度λ，
也就是说数学期望不再是E[ X(t)]= λt，而出现
了λ(t)，叫做强度函数。
因此，引入累积强度函数的概念:(x)
t
(t)dt
0
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三、非齐次泊松过程
下面我们将从均值函数的层面解释非齐次泊松过程与齐次泊松过程 的不同之处：
在齐次泊松过程中，由于齐次性，即它的平稳增量过程，过程的
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三、非齐次泊松过程
例: 设电话总机在早晨8时接到的电话呼叫数为20 个；8时至11时接到的电话呼叫数线性增加，接 到的电话呼叫数为50个;11时至15 时保持平均到 呼叫数不变; 15时到18时接到的电话呼叫数线性 下降,到18时为20个。接到的呼叫在不相重叠时 间间隔内是相互独立的,求9时至11时有30个呼 叫数的概率
是相互独立的。 平稳增量过程：是指计数过程N(t)在(t,t+s) 内(s>0)，事件A
发生的次数N(t+s)-N(t) 仅与时间差有关，而与时间段的起 始时间无关。
因此，齐次泊松过程是平稳增量过程且E [X(t)]= λt。
由于λ= E[ X（t t）单] 位时间内事A发生的平均个数，
故称为此过程的速率或强度。
P=
( （t＋ x ）- （x ）)ne-[ （t＋ x ）- （x ）]
n !
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三、非齐次泊松过程
证明：对t≥0,h﹥0及非负整数n，
定义 p n(h ,t)p (X th-X tn ) 则由独立增量性和和非齐次泊松过程的定义知，
对任意s﹥0，有ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p 0(h s,t)p (X t h s-X t 0 )