导数在数列求和中的应用

导数在数列求和中的应用

发表时间：2019-06-24T14:44:49.247Z 来源：《成功》2019年第1期作者：殷绍昌

[导读] 导数进入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入了新的生机与活力，怎样利用导数这个工具重新认识原中学课程中求函数的极值和判断函数的单调性的问题，并为其研究提供新的途径和方法，是当今中学数学中的新的课题之一，纵观目前各类刊物，对导数的研究多数停留在函数，解析几何等内容上，而对其他方面关注较少，本文则从一个侧面介绍导数在一类数列求和问题中的应用，以开阔学生视野，拓宽解决这类问题的方法。

保山市施甸县第一完全中学云南保山 678200

导数进入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入了新的生机与活力，怎样利用导数这个工具重新认识原中学课程中求函数的极值和判断函数的单调性的问题，并为其研究提供新的途径和方法，是当今中学数学中的新的课题之一，纵观目前各类刊物，对导数的研究多数停留在函数，解析几何等内容上，而对其他方面关注较少，本文则从一个侧面介绍导数在一类数列求和问题中的应用，以开阔学生视野，拓宽解决这类问题的方法。

高中数学教材必修5有一个习题：

求1+2x+3x2+…+nx(n-1)的和Sn。编者的本意是分三种情况进行求和：

①x=0；②x=1；③x≠0且x≠1。其中第③种情况要用错位相减的方法求。

现在就用导数的方法进行求解。

因为,(xn)’=nxn-1,而且x+x2+x3+…+xn=x(1-xn)/1-x (1)

对（1）式两边进行求导数运算，就有：

Sn=1+2x+3x2+…+nx(n-1)=(x+x2+x3+…+xn)’=[x(1-xn)/1-x]’

=1/(1-x)2[1-(n+1)xn+nxn+1]所以，用上面的方法就可以求通项为(xn+y)qn-1(x、y、q、为常数，其中q≠0且 q≠1，x≠0，y≠0)的数列的前n项的和Sn。

因为,(xn+y)qn-1=xnqn-1+yqn-1；所以只需分别求数列{xnqn-1}与{yqn-1}的和，再相加就可以得Sn。而数列{yq(n-1)}为等比数列，用公式求即可。

设数列{xnqn-1}与{yqn-1}的前n项的和分别为Tn和Dn，则Sn=Tn+Dn，其中Dn=y(1-qn)/1-q。

现在就形如{xnqn-1}的数列用导数运算的方法求其前项的n和Tn。

Tn=x(q0+2q1+3q2+4q3+…nqn-1)=x(q1+q2+q3+…qn)’=x[q(1-qn)/1-q]’

=x/(1-q)2[1-(n+1)qn+nqn+1]。

所以Sn=x/(1-q)2[1-(n+1)qn+nqn+1]+y(1-qn)/1-q （2）

下面就三个具体的数列进行求和运用。

1、an=2(3n-1)×1/3n；

2、bn=n×2(n+1)；

3、cn=(1-3n)×2n-2。

1、把数列{an}的通项变为an=(2n-2/3)×1/3n-1，取x=2,y=-2/3,q=1/3代入（2）式得：Sn=7/2-1/2(6n+7)×1/3n。

2、把数列{bn}的通项变为bn=4n×2n-1取x=4,y=0,q=2代入（2）式得Sn=4[1+(n-1)×2n]。

3、把数列{cn}的通项变为cn=(-3/2n+1/2)×2n-1取x=3/2，y=1/2，q=2代入（2）式得Sn=-2+(3n+4)×2n-1-3n×2n。由上面的求法得出，求和的关键是通项的形式中q的指数必须是(n-1)，这样就避免了用错位相减的方法的复杂计算。